18 ВАРИАНТ. Основы теории управления

18 ВАРИАНТ - Методичка - файл в демо файле, задание находится на странице 63, вариант 18.

_

ПОЛНОЕ ЗАДАНИЕ В ДЕМО ФАЙЛЕ,

ЧАСТЬ ДЛЯ ПОИСКА ДУБЛИРУЮ НИЖЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ» (ТУСУР)

Кафедра промышленной электроники (ПрЭ)

Лебедев Ю.М.

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Учебное методическое пособие для студентов заочного факультета направления 11.03.04

Томск - 2017

2

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

1. Введение …………………………………………………...…… 4

2. Список рекомендуемой литературы …………………...……... 4

3. Контрольная работа …………………………………………… 5

3.1. Общие требования по выполнению контрольной

работы …………………………………………………….. 5

3.2. Задание на выполнение контрольной работы …………... 6

4. Методические указания по выполнению контрольной

работы ……………………………………………………...….... 7

4.1. Определение типовых звеньев САУ …………………..…. 7

4.2. Определение передаточных функций САУ ……………... 7

4.3. Определение устойчивости САУ по критериям

Михайлова и Найквиста …………………………......…… 9

4.4. Расчёт граничного коэффициента передачи и

построение области устойчивости замкнутой САУ по

параметрам x1 и x2 с помощью критерия Гурвица ..… 12

4.5. Построение точной и асимптотической ЛАЧХ,

точной ЛФЧХ САУ при заданном запасе

устойчивости …………………………………………..… 14

4.6. Расчёт и построение амплитудной частотной

характеристики (АЧХ) замкнутой САУ, оценка

времени переходного процесса ……………………….… 17

4.7. Расчёт и построение переходных характеристик

САУ. Определение показателей качества

регулирования ………………………………………...…. 19

4.8. Расчёт и построение статических характеристик САУ.

Оценка статической точности ……………….………….. 24

5. Лабораторные работы …………………………………...…… 26

5.1. Общая характеристика лабораторного цикла ………..… 26

5.2. Краткое описание системы моделирования

электронных схем «ASIMEC» ………………………… 26

5.3. Основы электронного моделирования ……………….… 35

5.4. Лабораторная работа № 1. Моделирование и

исследование характеристик типовых

динамических звеньев САУ ……………………….…… 37

3

5.5. Лабораторная работа № 2. Исследование

статических и астатических САУ …………………...… 44

6. Рекомендации по подготовке к экзамену …………………..

Приложение. Исходные данные для контрольной

работы ………………………………………………...… 53

1. ВВЕДЕНИЕ

4

Теория автоматического управления (ТАУ) является одной из наиболее важных общетехнических дисциплин, и ее изучение опирается на ряд фундаментальных общеобразовательных и общетехнических дисциплин – высшей математики, информа-тики, основ теории цепей и так далее. Без знания этих наук бу-дет весьма сложно освоить курс ТАУ.

Основная задача настоящих методических указаний - на конкретных примерах и задачах научить студента практическо-му применению приемов и методов, применяемых при анализе и синтезе систем автоматического управления (САУ). Приобрете-ние этих навыков необходимо при использовании полученных знаний при изучении ряда специальных дисциплин, таких как «Электронные цепи и микросхемотехника», «Методы анализа и расчета электронных схем», «Преобразовательная техника» и так далее.

При изучении настоящих методических указаний необхо-димо изучить и проработать конспект лекций по ТАУ, а также (по возможности) и предлагаемые ниже литературные источни-ки.

2. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коновалов Б.И, Лебедев Ю.М. Теория автоматического управления: Учебное пособие с грифом УМО. 3-е изд., доп. и перераб. – CПб, 2010. – 205 с. – ISBN 978-5-8114-1034-7. – [Электронный ресурс http://e.lanbook.com/reader/book/538#1, доступ свободный].

2. Бессекерский В. А. и др. Сборник задач по теории авто-матического регулирования и управления. - М: Наука, 1978 - 512 с.

3. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный мате-риал). – Изд. 2-е, дол. и перераб. – М.: Машиностроение, 1982. – 504 с.

4. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. – М.: Наука, 1989. – 304 с.

5

5. Математические основы теории автоматического регу-

лирования./ Под ред. проф. Чемоданова Б.К. / Том 1, Том 2. - М:

Высшая школа, 1977.

6. Теория автоматического управления. Ч.1. Теория ли-

нейных систем автоматического управления/ Н.А. Бабаков и

др.; Под ред. А.А. Воронова. - М.: Высшая школа, 1986. - 367 с.

7. Юревич Е.И. Теория автоматического управления. - М.:

Энергия, 1975. – 416 с.

3. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

3.1. Общие требования по выполнению

контрольной работы

Учебный план предусматривает выполнение одной кон-

трольной работы. Для её выполнения всем студентам выдается

одинаковая структурная схема САУ, приведенная на рис. 3.1.

Здесь g и f – задающее и возмущающее воздействия соответ-

ственно, а y – выходная величина. Передаточные функции зве-

ньев W1( p) - W5( p) и другие параметры САУ выдаются студен-

там в индивидуальном порядке и приведены в таблице П1 при-

ложения 1.

Рис. 3.1. Структурная схема заданной САУ

W1(p) W2(p) W3( p)

W4(p)

Woc( p)

y

f

g

6

3.2 Задание на выполнение контрольной работы

3.2.1 Указать, из каких типовых звеньев состоит САУ.

3.2.2 Определить передаточные функции разомкнутой и

замкнутой САУ.

3.2.3 По критерию устойчивости Михайлова (для нечёт-

ных вариантов задания) и Найквиста (для чётных вариантов за-

дания) определить устойчивость замкнутой САУ.

3.2.4 Пользуясь критерием устойчивости Гурвица, по-

строить область устойчивости замкнутой САУ по параметрам

x1 и x2 . Сравнить результаты расчета с результатом, получен-

ным в п. 3.2.3.

3.2.5 Задавая запас устойчивости по амплитуде G = 10

дБ, рассчитать значение коэффициента передачи звена, соответ-

ствующего варьируемому параметру x2 , и построить для разо-

мкнутой цепи САУ асимптотическую ЛАЧХ и точную ЛФЧХ.

Определить запас устойчивости по фазе.

3.2.6 Для замкнутой САУ рассчитать и построить ампли-

тудную частотную характеристику, определить по ней частоту и

период собственных колебаний переходных характеристик, по-

казатель колебательности и оценить время переходного процес-

са по задающему воздействию.

3.2.7 Рассчитать и построить переходные характеристики

по задающему и возмущающему воздействиям, определить по-

казатели качества регулирования (перерегулирование, время

переходного процесса, период собственных колебаний) и срав-

нить их с результатами выполнения п. 3.2.6.

3.2.8 Для замкнутой САУ, имеющей запас устойчивости

G = 10 дБ, построить регулировочную ( )|

0



f

y F g и внеш-

нюю ( )|

const



g

y F f статические характеристики.

Выполнение всех необходимых расчетов проводится с ис-

пользованием системы MathCAD.

7

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО

ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Рассмотрим выполнение контрольной работы на конкрет-

ном примере. Пусть для САУ, структурная схема которой при-

ведена на рис. 3.1, заданы следующие передаточные функции:

  1 1

1

1

1

( )

1

k p

W p

T p

 





; 2

2

2

( )

1

k

W p

T p





;

  3 3

3

1

( )

k p

W p

p

 

 ;

W4(p)  k4 ; Woc( p)  koc .

k1 10 , k2  2 , 1

3 k 5 c  , k4  4 , koc  0,5 ,

1 T  0,35 c , 2 T  0,1 c 1   0,05 c , 3   0,01 c .

Варьируемые параметры: 1 1 2 1 x  T ; x  k .

Максимальные значения задающего g и возмущающего

f воздействий равны 10 m g  , 20 m f  .

4.1. Определение типовых звеньев САУ

Заданная САУ содержит следующие типовые звенья:

  1 1

1

1

1

( )

1

k p

W p

T p

 





– инерционное форсирующее звено;

2

2

2

( )

1

k

W p

T p





– инерционное звено;

  3 3

3

1

( )

k p

W p

p

 

 а – изодромное звено;

W4(p)  k4 и Woc( p)  koc –пропорциональные (безынерци-

онные) звенья.

4.2. Определение передаточных функций САУ

В соответствии с определениями для передаточных функ-

ций САУ, приведенных в [1 – 4, 6, 7], выведем следующие пе-

редаточные функции:

8

- передаточная функция разомкнутой системы по задаю-

щему воздействию:

  

 

1 2 3 1 3

pg 1 2 3

1 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( 1) 1

k k k p p

W p W p W p W p

p T p T p

    

   

 

;

- передаточная функция разомкнутой системы по

возмущающему воздействию:

  3 4 3

pf 3 4

1

( ) ( ) ( )

k k p

W p W p W p

p

 

   ;

- передаточная функция разомкнутой цепи системы:

  

 

  

 

1 2 3 oc 1 3

рц pg oc

1 2

p 1 3

1 2

1 1

( ) ( ) ( )

( 1) 1

1 1

,

( 1) 1

k k k k p p

W p W p W p

p T p T p

K p p

p T p T p

 

 

  

   

 

  



 

(4.1)

где p 1 2 3 oc K  k k k k – коэффициент передачи разомкнутой цепи

САУ;

- передаточная функция замкнутой системы по зада-

ющему воздействию:

  

 

  

 

  

    

1 2 3 1 3

pg 1 2

зg

pц 1 2 3 oc 1 3

1 2

p

1 3

oc

1 2 р 1 3

1 1

( ) ( 1) 1

( )

1 ( ) 1 1

1

( 1) 1

1 1

;

( 1) 1 1 1

k k k p p

W p p T p T p

W p

W p k k k k p p

p T p T p

K

p p

k

p T p T p K p p

 

 

 

 

 

 

  

  



 

 



    

(4.2)

- передаточная функция замкнутой системы по воз-

мущающему воздействию:

9

 

  

 

  

    

3 4 3

pf

зf

pц 1 2 3 oc 1 3

1 2

3 4 1 2 3

1 2 p 1 3

1

( )

( )

1 ( ) 1 1

1

( 1) 1

( 1) 1 1

.

( 1) 1 1 1

k k p

W p p

W p

W p k k k k p p

p T p T p

k k T p T p p

p T p T p K p p



 



 



  

  



 

  



    

(4.3)

Знаменатель передаточных функций замкнутой системы

является ее характеристическим полиномом, который в нашем

случае будет иметь вид:

     1 2 p 1 3

3 2

3 2 1 0

( ) ( 1) 1 1 1

,

A p p T p T p K p p

a p a p a p a

        

   

(4.4)

причем коэффициенты этого полинома будут равны:

  0 p 1 p 1 3 2 1 2 p 1 3 3 1 2 a  K ; a 1 K   ; a  T T  K   ; a  TT ,

где 1

p 1 2 3 oc K k k k k 50 c   .

4.3. Определение устойчивости САУ по критериям

Михайлова и Найквиста

Для исследования устойчивости по критерию Михайлова

по характеристическому полиному (4.4) при p  j на ком-

плексной плоскости строится кривая A j (годограф Михай-

лова).

Ниже приведён фрагмент расчётного файла в среде

MathCAD. Т.к. годограф Михайлова при  → ∞ последователь-

но походит три квадранта комплексной плоскости, то САУ

устойчива.

10

Исходные данные

k1  10 k2  2 k3  5 с-

1

k4  4 koc  0.5

T1  0.35 с T2  0.1 с 1  0.05 с 3  0.01 с

Варьируемые параметры: x1 T1 x2 k1

Внешние воздейс твия g  10 fm  20

Анализ устойчивости по критерию Михайлова

Коэффициент передачи разомкнутой цепи САУ (с-1)

Kp  k1k2k3koc Kp  50

Характеристический полином САУ и его коэффициенты

A(p)  p(T1p  1) (T2p  1)  Kp1p  13p  1

a0  Kp a1  1  1  3Kp a2  T1  T2  Kp13

a3  T1T2

Годограф Михайлова (шаг расчёта и его окончан ие

подбираются экспериментально)

  0  0.1  12

20 0 20 40 60

20

20

ImAi

ReAi

11

При анализе устойчивости САУ по критерию Найквиста в

передаточной функции разомкнутой цепи (4.1) при p  j пу-

тём изменения частоты от 0 или 1 (если в этой передаточной

функции присутствует интегрирующее звено) до какого-либо

большого числа (подбирается экспериментально) строится ам-

плитудно-фазовая частотная характеристика (Годограф Найкви-

ста). Ниже этот годограф построен в полярной системе коорди-

нат (Polar Plot), при этом по вертикали откладывается модуль

частотной передаточной функции разомкнутой цепи, а по гори-

зонтальной оси – её аргумент. Верхний предел изменения по

вертикали ограничен цифрой 1,5, а маркером показана окруж-

ность единичного радиуса. Поскольку годограф Найквиста не

охватывает точку с координатами 1; j0, то система устойчи-

ва.

Анализ устойчивости по критерию Найквиста

Передаточная функция раз омкнутой цепи САУ

Wpc (p)

Kp1p  13p  1

p(T1p  1) (T2p  1)



Годограф Найквиста

  1  50

0

90

180

270

1.5

1

0.5

Wpci

argWpci

12

4.4. Расчёт граничного коэффициента передачи и по-

строение области устойчивости замкнутой САУ по пара-

метрам x1 и x2 с помощью критерия Гурвица

Согласно критерию Гурвица, для системы третьего поряд-

ка на границе устойчивости должно выполняться условие:

1 2 0 3 a a  a a  0 , (4.5)

где 0 1 3 a , a , ... a – коэффициенты характеристического полино-

ма A(p) .

Введём ещё один варьируемый параметр 3 p,гр x  K , тогда

для параметра 3

2 1,гр

2 3 ос

x

x k

k k k

  , а коэффициенты характери-

стического полинома и условие (4.5) при 3 p,гр x  K , 1 1 x  T при-

мут вид:

       

 

0 3 3 1 3 3 1 3 2 1 3 1 2 3 1 3

3 1 1 2

; 1 ; , ;

,

a x x a x x a x x x T x

a x x T

         



        1 3 2 1 3 0 3 0 3 1

a x a x , x  a x a x  0,

или

    3 1 3 1 2 3 1 3 3 1 2 1 x    x T  x   x xT  0. (4.6)

Разрешая (4.6) относительно параметра 3 x , получим сле-

дующее квадратное уравнение:

     2

1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2     x       x T  xT  x  x T  0, (4.7)

решение которого имеет вид:

 

2

1 1 0 2

3 1

2

( 1) ( 1) 4 ( 1)

,

2

b x b x b x b

x x

b

  

 (4.8)

где

         0 1 1 2 1 1 1 3 1 3 1 2 1 2 2 1 3 1 3 b x  x T , b x      x T  x T , b      .

13

Ниже приведён фрагмент расчётного файла в среде

MathCAD, в котором реализованы решения уравнений (4.5) –

(4.7) через (4.8). Получены два положительных граничных ко-

эффициента передачи. Это означает, что в области, расположен-

ной ниже синей границы устойчивости (см. рис. 4.1), система

абсолютно устойчива, а выше красной кривой она устойчива

условно. В области внутри этих кривых она неустойчива.

Расчёт граничного коэффициента передачи и

построение области устойчивости в плоскости

варьируемых параметров x1=T1 и x2=k1

b2  1  313 b1(x1)  13  1  3(x1  T2)  x1T2

b0(x1)  x1  T2

x31(x1)

1

2b2

b1(x1) b1(x1)

2

    4b2b0(x1) 

x32(x1)

1

2b2

b1(x1) b1(x1)

2

    4b2b0(x1) 

Граничные коэффициенты передачи САУ

Kgr1  x31(T1) Kgr1  150 с-1

Kgr2  x32(T1) Kgr2  100 с-1

Раcчёт варьируемого параметра x1

x21(x1)

x31(x1)

k2k3koc

 x22(x1)

x32(x1)

k2k3koc



k1gr1  x21(T1) k1gr1  30 k1gr2  x22(T1) k1gr2  20

Построение гран иц устойчивости САУ

14

x1  0.3  0.301  0.5

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0

20

40

60

80

100

k1gr2

k1gr1

x21(x1)

x22(x1)

k1

T1

x1

Рис. 4.1. Границы устойчивости САУ

4.5. Построение точной и асимптотической ЛАЧХ,

точной ЛФЧХ САУ при заданном запасе

устойчивости

Дальнейший расчёт характеристик САУ будем проводить

для области её абсолютной устойчивости, т.е. при ãð2 K  K , то-

гда

Задание граничн ого коэффициента передачи САУ, расчёт

нового значения Kp и уточнение коэффициента передачи k1

Kgr  Kgr2 Kgr  100 с-1 G  10 дБ

Kp

Kgr

10

G

20

 Kp  31.623 с-1 k1

Kp

k2k3koc

 k1  6.325

15

Логарифмические частотные характеристики строятся по

передаточной функции разомкнутой цепи для нового значения

ð K и замене оператора Лапласа p на переменную j . При этом

точная ЛАЧХ вычисляется как G()  20lgWрц ( j)  , асимпто-

тическая ЛАЧХ   а G  представляет собой сумму асимптотиче-

ских ЛАЧХ звеньев САУ (для этого в среде MathCAD применя-

ется условный оператор if). ЛФЧХ F   рассчитывается как

сумма аргументов (функция arg), причём значения каждого из

аргументов должно находиться внутри области  ;   . Если

значение хотя бы одного из аргументов будет меньше  , то

фаза претерпит скачок до уровня  , чего не может быть. Сле-

дует также учитывать, что фаза интегрирующего звена

  и 2

F



   при любом значении частоты. Запас устойчивости

по фазе (в градусах) рассчитывается по формуле

  ср

180

F  F 



     

  , где частота среза ср  находится с по-

мощью функции Find.

Передаточная функция разомкнутой цепи

Wpc (p)

Kp1p  13p  1

p(T1p  1) (T2p  1)



Точная ЛАЧХ САУ G  20log Wpc i 

Построение аси мптотической ЛАЧХ

G0  20log(Kp) - ЛАЧХ пропорционального звена

G1  20log - ЛАЧХ интегрирующего звена

G2 if 

1

T1

  0  20logT1  

 - ЛАЧХ 1-го

инерционного звена

16

G3 if 

1

T2

  0  20logT2 



 - ЛАЧХ 2-го

инерционного звена

- ЛАЧХ 1-го

форсирующего звена

G4 if 

1

1

  0  20log1 





- ЛАЧХ 2-го

форсирующего звена

G5 if 

1

3

  0  20log3 





Асимптотическая ЛАЧХ САУ

Ga  G0  G1  G2  G3  G4  G5

ЛФЧХ

F arg

1i  13i  1

T1i  1 T2i  1







2

 

Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ

  1  300

1 10 100 110

100 3

50

0

50

G

Ga



17

1 10 100 110

3.5 3

3

2.5

2

1.5

 

F



Частота среза (рад/с)

  8 Given G 0 cp  Find cp  8.44

Запас устойчив ости по фазе (градусов)

F   Fcp 180



  F  6.241

Полученное значение запаса устойчивости по фазе не-

большое по величине, поэтому следует ожидать длительных пе-

реходных процессов со значительным перерегулированием.

4.6. Расчёт и построение амплитудной частотной

характеристики (АЧХ) замкнутой САУ, оценка

времени переходного процесса

Для расчёта и построения АЧХ замкнутой САУ использу-

ется её передаточная функция по задающему воздействию (4.2)

и при p  j берётся модуль от неё. Как правило, АЧХ имеет

ярко выраженный максимум и частота, соответствующая этому

максимуму, является частотой собственных колебаний ê  пере-

ходных характеристик САУ. Зная эту частоту, значение которой

может быть найдено с помощью функции Find при решении

уравнения   0

d

A

d





 , и период собственных колебаний ê T

можно рассчитать показатель колебательности M , он примерно

18

равен количеству колебаний переходной характеристики за вре-

мя переходного процесса и оценить ожидаемое время переход-

ного процесса как к M T .

Следует отметить, что при использовании функции Find

для задания начального приближения удобно использовать ин-

струмент Zoom, имеющийся в контекстном графическом меню.

После его активации на графике выделяется нужная область и

определяется нужное приближение.

Передаточная функция замкнутой САУ по задающему

воздействию

Wzg(p)

Kp

koc

1p  13p  1

p(T1p  1) (T2p  1)  Kp1p  13p  1



Амлитудная частотная характеристика (АЧХ) замкнутой

САУ

A  Wzgi

АЧХ САУ

  0  0.1  20

0 5 10 15 20

0

10

20

A



Частота (рад/с) и собственных колебаний переходных

характеристик САУ

  8.5 Given



A d

d

0 k  Find k  8.486

19

Период (с) собственных колебаний переходных

характеристик САУ

Tk

2

k

 Tk  0.74

Показатель колебательности и ожидаемое время

переходного процесса (с) по задающему воздей ствию

M

Ak

A(0)

 M  9.239 tppz  MTk tppz  6.841

4.7. Расчёт и построение переходных характеристик

САУ. Определение показателей качества

регулирования

Для расчёта и построения переходных характеристик САУ

необходимо осуществить обратное преобразование Лапласа для

изображения выходной величины, которое, согласно уравнению

динамики, будет иметь вид

зg зf

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

m m

m m

g f B p C p

Y p W p W p g f

p p pA p pA p

    ,

где B(p), C(p) а – числители передаточных функций замкну-

той САУ по задающему и возмущающему воздействиям (см.

формулы (4.2), (4.3)).

Поскольку полюсы передаточных функций, как правило,

простые, то наиболее удобно обратное преобразование осу-

ществлять посредством применения теорем разложения. Так для

n простых полюсов и одного нулевого полюса применительно к

передаточной функции по задающему воздействию теорема раз-

ложения выглядит так:

 

 

1

(0) ( )exp

( )

(0)

n

k k

m m

k k

k

B B p p t

y t g g

A p A p



 

  , (4.9)

где

( ) k B p ,   k A p – числитель и производная от характери-

стического полинома, вычисленные при k-ом простом полюсе;

20

n – общее количество простых полюсов (порядок систе-

мы).

Применительно к среде MathCAD использование формулы

(4.9) имеет свою специфику. Во-первых, полюсы перебираются

от 0 до n 1, во-вторых, в связи со спецификой работы графиче-

ского процессора MathCAD, от второго слагаемого в (4.9) нужно

учитывать только вещественную часть, т.е. использовать функ-

цию Re.

Ниже приведён фрагмент файла, в котором рассчитаны и

построены переходные характеристики САУ, а также определе-

ны основные показатели качества регулирования (перерегули-

рование и время переходного процесса) для каждого из воздей-

ствий. Для вычисления простых полюсов передаточных функ-

ций (корней уравнения A( p)  0) применена функция polyroots(

a), где a – вектор коэффициентов характеристического

полинома. Для определения начальных приближений при ис-

пользовании функции Find также, как разделе 4.6, использован

инструмент Zoom.

Характеристический полином САУ, производн ая от него,

вектор коэффиц иентов полинома

A(p)  p(T1p  1) (T2p  1)  Kp1p  13p  1

D(p)

p

A(p)

d

d



a

Kp

1  3Kp  1

T1  T2  Kp13

T1T2



















21

Вектор корней характеристического уравнения

p  polyroots (a) p

12.478

0.416  8.499i

0.416  8.499i















Числители передаточных функций САУ по задающему и

возмущающему воздействиям

B(p)

Kp

koc

 1p  13p  1

C(p)  k3k4(T1p  1) (T2p  1) 3p  1

Установившееся значение выходной величины при f = 0

yg0 gm

B(0)

A(0)

  yg0  20

Переходная фун кция САУ по задающему воздей ствию

yg( t) yg0 gm Re

0

2

k

Bpk exppkt

pkDpk

















  

Переходная характеристика САУ по задающему воздействию

t  0  0.001  8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

20

40

yg(t)

0.95yg0

1.05yg0

0.384 6.725

t

22

Показатели качества регулирования по задающему

воздействию

Время, соответствующее первому и второму максимумам

переходной характеристики (c)

t  0.5 Given

t

yg( t)

d

d

0 tm1  Find( t) tm1  0.384

t  1.2 Given

t

yg( t)

d

d

0 tm2  Find( t) tm2  1.123

Период (с) и частота (рад/с) собственных колебаний

переходной характеристики

Tk  tm2  tm1 Tk  0.739 k

2

Tk

 k  8.502

Перегулировани е по задающему воздействию (%)

z

yg( tm1)  yg0

yg0

 100 z  76.829

Время переходн ого процесса по задающему воздействию (с)

t  6.8 Given yg( t) 0.95yg0 tppz  Find( t) tppz  6.725

Момент подачи возмущающего воздействия (с)

t0  0.1

Устновишееся зн ачение выходной водичины после

подачи возмущающего воздействия

yf0 yg0 fm

C(0)

A(0)

   yf0  7.351

Переходная функция САУ по возмущающему воздействию

yf ( t) if t  t0  yg0 yf0 fm Re

0

2

k

C pk   exp pk t t0  ( )  





pkDpk

















  











23

t  0  0.001  10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

40

20

0

20

40

60

yf(t)

0.95yf0

1.05yf0

0.384

t

Показатели качества регулирования по возмущающему

воздействию

Время, соответствующее первому максимуму переходной

характеристики (c)

t  0.2 Given

t

yf ( t)

d

d

0 tm  Find( t) tm  0.296

Перегулировани е по возмущающему воздействи ю (%)

z

yf0  yf ( tm)

yf0

 100 z  528.153

Участок переходной характеристики САУ по

возмущающему воздействию при больших значениях t

t  10  10.001  14

10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14

6.5

7

7.5

8

yf(t)

0.95yf0

1.05yf0

11.423

t

24

Время переходн ого процесса по возмущающему

воздействию (с)

t  11.4 Given yf ( t) 0.95yf0 tpp  Find( t) tpp  11.423

tppv  tpp  t0 tppv  11.323

4.8. Расчёт и построение статических

характеристик САУ. Оценка статической

точности

Статические характеристики САУ рассчитываются путём

замены в передаточных функциях замкнутой системы (4.2), (4.3)

путём замены в них оператора Лапласа p на 0. Для этого также

можно воспользоваться результатами, полученными в разделе

4.7.

Расчёт показал, что заданная система характеризуется

крайне низкой точностью (много более 5 %). Это связано, с од-

ной стороны большими значениями коэффициентов передачи

3 4 k , k , а с другой – достаточно большой величиной возмущаю-

щего воздействия m f .

Расчёт и построение статических характеристи к САУ.

Регулировочная статическая характеристика

y(g) g

B(0)

A(0)

 

g  0  0.1  15

0 5 10 15

20

40

y(g) yg0

gm

g

25

Внешняя статическая характеристика

y( f) yg0 f

C(0)

A(0)

  

f  0  25

0 5 10 15 20 25

10

20

y(fm)

y(f)

fm

f

Оценка статической точности

Статическая ошибка y  yg0  y( fm) y  12.649

Статизм внешн ей статической характеристики (%)

S

y

yg0

 100 S  63.246

П р и м е ч а н и е . При работе в среде MathCAD не реко-

мендуется использовать кириллицу, а также индексы или их

имитацию в наименовании скалярных переменных. Индек-

сы используются только в элементах массивов.

26

5. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

5.1. Общая характеристика лабораторного цикла

В соответствии с программой обучения по курсу «Теория автоматического управления» для студентов заочной формы обучения лабораторный цикл предусматривает выполнение двух лабораторных работ.

Целью лабораторного цикла является углубление знаний по различным разделам курса ТАУ, овладение практическими навыками исследования, обработки полученных результатов и формулирование выводов по результатам исследования.

Первая лабораторная работа посвящена исследованию ха-рактеристик типовых звеньев САУ, вторая – исследованию ха-рактеристик статических и астатических САУ.

Инструментальным средством для выполнения лаборатор-ных работ является комплекс программ (пакет) ASIMEC.

5.2. Краткое описание системы моделирования

электронных схем ASIMEC

5.2.1. Назначение и состав системы ASIMEC

Программный пакет ASIMEC представляет собой систему автоматизированного моделирования электронных схем во вре-менной и частотной областях.

Основное окно системы ASIMEC показано на рис. 5.1. Оно содержит наборное поле, на котором изображается схема моде-лируемого устройства, главное меню, которое позволяет органи-зовывать, считывать и запоминать файлы, панель управления моделированием, панель управления параметрами среды, «ящи-ки» с компонентами электронных схем и инспектор объектов. Краткие подсказки по элементам управления можно получить во всплывающих окнах, если на некоторое время поместить на них курсор мыши.

27

Рис. 5.1. Основное окно ASIMEC

На рис. 5.2 показана панель управления процессом моде-лирования. Сначала, путем нажатия соответствующей кнопки, выбирается вариант анализа (временной или частотный) и далее нажимается кнопка запуска моделирования. Процесс моделиро-вания можно остановить (приостановить) путем нажатия соот-ветствующей кнопки. При нажатии кнопки Показать инстру-мент появляется экран осциллографа и плоттера Боде (см. ни-же). Задание параметров моделирования (метода интегрирова-ния системы дифференциальных уравнений, шага интегрирова-ния и т.д.) задается путем нажатия кнопки Свойства схемы

.

В Инспекторе объектов отражаются параметры элемен-тов моделей, параметры моделирования, анализа и т.д.

Более подробно с основными правилами моделирования, изображения схем, проведения измерений можно ознакомиться в п. главного меню Помощь.

Главное меню

Панель управления моделированием

Панель управления параметрами сре-ды

Компоненты схем

Инспектор объектов

Наборное поле

28

Рис. 5.2. Панель управления процессом моделирования в

ASIMEC

5.2.2. Проведение измерений при временном анализе

Основным прибором, позволяющим проводить измерения

во временной области, является осциллограф, условное графи-

ческое изображение которого показано на рис. 5.3. Он имеет два

канала А и В, заземленных одним из своих зажимов и подклю-

чаемых к источникам сигналов.

Рис. 5.3. Осциллограф

Перед проведением временного анализа нужно нажать

кнопку Свойства схемы и установить параметры Мас-

штаб времени (Time ratio в General) и tstop (конечное время

расчета в секундах). Поскольку моделирование проводится в

реальном времени, масштаб времени (Time ratio) принимается

Остановить

моделирование

Временной

анализ

Запустить

моделирование Частотный

анализ

Показать

инструмент

Приостановить/

запустить

моделирование

29

равным 1 (цифра, большая единицы, соответствует ускорению

процесса моделирования в указанное число раз, а цифра, мень-

шая единицы – его замедлению). Параметр tstop устанавливает-

ся таким, чтобы переходный процесс закончился (на практике

его удобно принимать равным нескольким секундам). Фиксация

введенных параметров производится нажатием клавиши Enter.

Далее, путем последовательного нажатия клавиш и

, запускается процесс моделирования. При этом на экране

появляется окно, в котором изображена лицевая панель вирту-

ального осциллографа. В ее верхней горизонтальной части рас-

положены кнопки (включение маркеров), (копирование

осциллограммы в виде растрового рисунка, например, в тексто-

вый файл), а также кнопки прерывания моделирования .

В верхних вертикальных частях для каждого из каналов (А и В)

имеются кнопки с соответствующими окнами управления мас-

штабом вертикальной развертки луча и его смещения по верти-

кали, а также кнопка Автомасштаб (пользоваться не рекомен-

дуется). В нижней горизонтальной части панели расположены

кнопки управления горизонтальной разверткой лучей с соответ-

ствующим окном и движок перемещения осциллограмм по го-

ризонтальной оси.

Измерения производятся с помощью маркеров, активизи-

руемых нажатием кнопки . При этом возникают две пары

горизонтальных маркеров, служащих для измерения двух уров-

ней каждого из сигналов (по каналам А и В) и пара вертикаль-

ных маркеров, предназначенных для измерения временных ин-

тервалов. Уровни сигналов и их разность (в вольтах) отражают-

ся в окнах Y1, Y2, Y1 – Y2, а моменты времени и соответству-

ющий им временной интервал – в окнах X1, X2, X2 – X1.

После завершения процесса моделирования окно с лицевой

панелью осциллографа нужно развернуть на весь экран монито-

ра, с помощью движка сдвинуть влево (к началу отсчета) осцил-

лограмму и с помощью клавиш вертикальной и горизонтальной

развертки развернуть ее на весь экран, это обеспечит повышен-

ную точность измерений.

30

При измерении уровня сигнала выбирается один из гори-

зонтальных маркеров (например, верхний) и подводится к

участку осциллограммы, интересующему наблюдателя. Резуль-

тат измерения считывается в соответствующем окне (Y1 для

верхнего маркера).

На рис. 5.4 показан процесс измерения величины первого и

второго максимумов при колебательном характере переходного

процесса. Здесь уровень первого максимума Umax1  7,867 В

(окно Y1), уровень второго максимума Umax 2  6,086 В (окно

Y2), разность уровней U Umax1 Umax 2 1,781 В (окно Y1 –

Y2). Полученная информация позволяет оценить степень зату-

хания и колебательность переходного процесса.

Измерение временных интервалов производится аналогич-

но вертикальными маркерами. В этом случае левый маркер под-

водится к началу временного интервала, интересующего наблю-

дателя, правый маркер – к его концу. Результаты измерения – в

окнах X1, X2, X2 – X1.

На рис. 5.5 показан процесс измерения времени переход-

ного процесса при его колебательном характере и установив-

шемся значении Uуст  5 В. Здесь с помощью горизонтальных

маркеров выделена зона 5 % от установившегося значения

Uуст (уровни, приблизительно равные 5,25 и 4,75 В в окнах Y1

и Y2). Левый вертикальный маркер располагается в начале ко-

ординатной сетки, а правый маркер – в точке пересечения уров-

ня 5,25 В и участка осциллограммы, после которого переходный

процесс считается закончившимся (переходная характеристика

располагается внутри зоны 5 % от установившегося значе-

ния). В соответствии с этим время переходного процесса, счи-

танное в окне X2 – X1 равно 652 миллисекунды или 0,652 с.

Для измерения установившегося значения измеряемой ве-

личины может быть применен вольтметр, проградуированный

по среднему значению.

31

Рис. 5.4. Измерения с помощью горизонтальных маркеров

Рис. 5.5. Измерения с помощью вертикальных маркеров

32

5.2.3. Проведение измерений при частотном анализе

Основным прибором применяющимся при исследовании в

частотной области, является плоттер Боде. Его условное графи-

ческое изображение, принятое в ASIMEC, приведено на рис. 5.6.

Клеммы Т0 объединяются и подключаются к общей шине (за-

землению), входная клемма (IN) подключается ко входу иссле-

дуемого объекта, а выходная клемма (OUT) – к его выходу.

Рис. 5.6. Плоттер Боде

Перед проведением частотного анализа нужно нажать

кнопку Свойства схемы и установить параметры nd = 100

(количество точек на декаде), tstart  0.1 (начальная частота,

Гц) и tstop 1000 (конечное частота, Гц). Фиксация введенных

параметров производится нажатием клавиши Enter. Далее, пу-

тем последовательного нажатия клавиш и запускается

процесс моделирования. При этом на экране появляется окно, в

котором изображена лицевая панель плоттера Боде. В ее верх-

ней горизонтальной части расположены кнопки (включение

лупы), (перемещение), (включение маркеров), (ко-

пирование диаграмм Боде в виде растрового рисунка, например,

в текстовый файл). Нажатие или отключение кнопок и

приводит к воспроизведению диаграмм в виде точек или линий.

При нажатии кнопок и включается логарифмическая

33

шкала по оси частот и амплитуд. Кнопка позволяет полу-

чить дискретный спектр для периодического сигнала.

Измерения производятся с помощью маркеров, активизи-

руемых нажатием кнопки . При этом маркеры имеют вид

пересекающихся горизонтальной и вертикальной линий. При

движении их перекрестия вдоль какой-либо частотной характе-

ристики рядом возникают две цифры, первая из которых соот-

ветствует измеряемой частоте (в Гц), а вторая – измеряемой ам-

плитуде (в дБ) или фазе (в градусах).

На рис. 5.7 показан процесс измерения частот среза, пере-

ворота фазы и запасов устойчивости. При совмещении маркера

на ЛАЧХ (верхний график на рис. 5.7а с нулевым значением

амплитуды измеряется частота среза fcp  3,82 Гц

(ωcp  2fcp  24 рад/с). Маркер ЛАЧХ совмещается по верти-

кали с маркером ЛФЧХ (нижний график на рис. 5.7,а) и измеря-

ется фаза на частоте среза



cp  160,7 , тогда запас устойчиво-

сти по фазе



 180 cp 19,3 . Затем маркер ЛФЧХ, пере-

мещаясь по характеристике, совмещается со значением



  180 (см. правую цифру на нижнем графике рис. 5.7б) и

измеряется частота переворота фазы fπ  5,526 (левая цифра на

нижнем графике рис. 5.7б, соответствующая угловой частоте

ωπ  2fπ  34,7 рад/с). Далее маркер ЛАЧХ совмещается по

вертикали с маркером ЛФЧХ и измеряется амплитуда

G(ωπ )  6,82 дБ (правая цифра на верхнем графике рис. 5.7б),

тогда запас устойчивости по амплитуде G  G(ωπ )  6,82 дБ.

34

а

б

Рис. 5.7. Измерение частоты среза, фазы на частоте среза (а),

частоты переворота фазы и фазы на этой частоте (б)

35

5.3. Основы электронного моделирования

Базовым элементом для построения электронных моделей

типовых динамических звеньев и систем автоматического

управления является идеальный операционный усилитель (он

находится в «ящике» Активные компоненты). Это усилитель

постоянного тока в микросхемном исполнении, имеет два входа

– инвертирующий (обозначен окружностью) и неинвертирую-

щий и характеризуется очень большими коэффициентом усиле-

ния и входным сопротивлением.

В табл. 5.1 приведены схемы моделей различных звеньев

первого порядка и соотношения для определения их параметров.

Таблица 5.1

N Тип звена Электронная модель Передаточная

функция и ее

параметры

1 2 3 4

1

Пропорцио-

нальное

W( p)  k;

.

1

2

R

R

k 

2

Инерционное

;

1

( )



 

Tp

k

W p

, 2 .

1

2 T R C

R

R

k  

3

Форсирую-

щее

W( p)  kp 1;

.

,

1

1

2

R C

R

R

k

  



R2

R1

C

R2

R1

C R2

R1

36

1 2 3 4

4а

Инерционное

форсирую-

щее

  T 

 

;

1

1

( )



  



Tp

k p

W p

τ   .

, ,

2 3

2

1

3

R R C

T R C

R

R

k

 

 

4б

Инерционное

форсирую-

щее

  T 

 

;

1

1

( )



  



Tp

k p

W p

  .

, ,

2 3

2

1

3

T R R C

R C

R

R

k

 

  

5

Идеальное

дифференци-

рующее

W(p)  kp;

k  RC.

6

Инерционное

(реальное)

дифференци-

рующее

;

1

( )







Tp

kp

W p

.

,

1

2

T R C

k R C





7

Идеальное

интегрирую-

щее

p

k

W( p)   ;

RC

k

1

 .

C R2 R3

R1

C R2

R3

R1

R

C

R2

R1 C

C

R

37

1 2 3 4

8

Изодром-

ное

p

p

W p k

1

( )

 

  ;

.

1

,

1

2

R C

k

R C



 

5.4. Лабораторная работа № 1. Моделирование и

исследование характеристик типовых

динамических звеньев систем автоматического

управления

Цель работы

Целью лабораторной работы является получение навыков

разработки электронных моделей типовых динамических звень-

ев САУ, исследование их частотных и переходных характери-

стик на этих моделях. Такими звеньями, в частности, являются

инерционное, инерционное форсирующее, а также звенья второ-

го порядка (колебательное и апериодическое).

Методика проведения экспериментальных исследований

Экспериментальные исследования характеристик типовых

звеньев САУ проводятся в среде ASIMEC. Электронные модели

звеньев выполняются на основе операционных усилителей (см.

табл. 3.1).

Некоторые особенности схем электронных моделей опре-

деляются использованием инвертирующего входа операцион-

ных усилителей. Если в модели между входом и выходом со-

держится нечетное количество усилителей, то выходной сигнал

дополнительно сдвигается на -180 относительно сигнала объек-

та, подлежащего исследованию. Поэтому схемы моделей в пря-

мой цепи между входом и выходом обязательно должны содер-

C R2

R1

38

жать четное количество усилителей, то есть при проведении

экспериментальных исследований с моделями, приведенными в

табл. 3.1, необходимо последовательно включать еще одну схе-

му пропорционального звена с единичным коэффициентом пе-

редачи (инвертор напряжения).

На рис. 4.1 приведена схема подключения приборов и ис-

точников напряжения к электронной модели какого-либо из ука-

занных выше типовых звеньев (условно назовем ее лаборатор-

ной установкой). Вход этой установки через ключ S1 (он нахо-

дится в «ящике» Устройства коммутации) подключен к поло-

жительному полюсу источника постоянного напряжения E1, а

через ключ S2 – ко входу плоттера Боде. Для удобства измере-

ния выходного напряжения Uвых электронной модели величина

напряжения источника устанавливается, исходя из соотношения

1

1

E

k

 , где k – коэффициент передачи звена, тогда в устано-

вившемся режиме Uâû õ 1 В.

Рис. 5.8. Схема лабораторной установки

Управление режимами работы лабораторной установки

осуществляется с помощью ключей S1 и S2 . При исследовании

S2

Вход

E1

Электронная

модель

Осциллограф

A

B

Плоттер

Боде

IN OUT

T0 T0

S1

Выход

39

переходных характеристик ключ S1 замкнут, а ключ S2 –

разомкнут и, наоборот, при исследовании частотных характери-

стик ключ S1 размыкается, а ключ S1 – замыкается. Ключи S1,

S2 по умолчанию имеют сопротивление 1 Ом замкнутом состо-

янии и 1 МОм – в разомкнутом. Этого явно недостаточно, если

на входе модели устанавливается сопротивление 100 кОм, по-

этому сопротивление ключа в разомкнутом состоянии следует

принять равным 1 ГОм. Кроме этого, в качестве параметра в

Инспекторе объектов нужно установить клавишу, которой бу-

дет коммутироваться ключ (для S1 и S2 они должны быть раз-

личными).

Основные приемы, применяемые при исследовании вре-

менных и частотных характеристик звеньев, изложены выше в

разделах 2.2 и 2.3 настоящего руководства.

Следует также отметить, что угловая частота, например,

среза, рассчитывается по соотношениюcp  2fcp .

Программа работы

5.4.1. Исследование инерционного звена

5.4.1.1. Собрать схему модели апериодического (инерци-

онного) звена (рис. 5.9), установить значения R1  R3 

R4 100 кОм. По формулам 2 1 1

2

,

T

R k R C

R

   рассчитать па-

раметры остальных элементов в соответствии с данными, при-

веденными в табл. 5.2 для индивидуального варианта.

Рис. 5.9. Модель инерционного звена

C1

Выход

Вход DA1

DA2

R2

R1

R3

R4

40

Таблица 5.2

Вари-

ант

k T, с Вари-

ант

k T, с Ва-

риант

k T, с

1 2 0,01 12 2 0,065 23 3 0,15

2 3 0,015 13 4 0,07 24 4 0,16

3 4 0,02 14 5 0,075 25 4 0,17

4 5 0,025 15 5 0,08 26 5 0,18

5 4 0,03 16 4 0,085 27 5 0,19

6 3 0,035 17 4 0,09 28 3 0,2

7 2 0,04 18 3 0,1 29 3 0,21

8 4 0,045 19 3 0,11 30 4 0,22

9 5 0,05 20 2 0,12 31 4 0.23

10 4 0,055 21 2 0,13 32 5 0,24

11 3 0,06 22 3 0,14

5.4.1.2. Получить переходную характеристику и опреде-

лить время переходного процесса tпп .

5.4.1.3. Получить экспериментальные ЛАЧХ и ЛФЧХ, за-

мерить частоту среза cp и значение фазы cp на этой частоте.

5.4.1.4. Увеличить значения постоянной времени Т звена в

два, три, и четыре раза и повторить выполнение заданий по п.п.

5.4.1.2 и 5.4.1.3.

5.4.1.5. Построить графики зависимостей tпп  f (T) ,

cp  f (T) и cp  f (T) .

5.4.1.6. Оценить влияние величины постоянной времени на

характеристики апериодического (инерционного) звена.

5.4.2. Исследование инерционного форсирующего звена

5.4.2.1. Собрать схему электронной модели инерционного

форсирующего звена (рис. 5.10). Принять R4  R5 100 кОм,

C1  1 мкФ. Для заданного варианта из табл. 5.2 выбрать значе-

ние постоянной времени T , принять постоянную времени

  0,1 T и коэффициент передачи звена k  2 . По формулам

41

1

2

C

R



 ,

1

3

C

T

R



 ,

k

R

R 3

1  рассчитать параметры остальных

элементов модели. Напряжение E источника питания элек-

тронной модели принять равным 0,5 В.

Рис. 5.10. Модель инерционного форсирующего звена

5.4.2.2. Снять переходную характеристику и определить

величину скачка U0 переходной характеристики при t  0 ,

установившееся значение U и время переходного процесса

tпп . Рассчитать параметр 100 %   0 

U

U

.

5.4.2.3. Получить экспериментальные ЛАЧХ и ЛФЧХ, за-

мерить частоту среза cp и значение фазы cp на этой частоте.

5.4.2.4. Установить соотношения значений постоянных

времени   0,2T ,   0,3T ,   0,4T и повторить выполнение

заданий п.п. 5.4.2.2 и 5.4.2.3, пересчитав параметры модели в

соответствии с п. 5.4.2.1.

5.4.2.5. Построить графики зависимостей   f () ,

пп , 





 



T

f t 



  

 

T

f c р , 





 

 

T

с р f и сравнить их с анало-

гичными зависимостями, полученными в п. 5.4.1.5.

5.4.2.6. Оценить влияние постоянной времени форсирую-

щего звена на характеристики инерционного форсирующего

звена.

Вход

DA1

R5

R4

C1 R2

R3

R1 DA2

Выход

42

5.4.3. Исследование звеньев второго порядка

5.4.3.1. Собрать схему модели звена второго порядка в со-

ответствии с рис. 5.11. Приняв R2  R5  R6 100 кОм,

C1  C2 1 мкФ,   0,7 и, выбрав значения постоянной време-

ни T и коэффициента передачи k из табл. 5.2 согласно индиви-

дуальному варианту, рассчитать значения остальных параметров

модели по формулам:

k

R

R 2

1  ,

2 1 2

2

4

R C C

T

R  ,





2

2 4

3

R R

R .

Рис. 5.11. Модель звеньев второго порядка

5.4.3.2. Установить напряжение питания модели, равное

1

U

k

 , снять переходную характеристику и определить время

переходного процесса tпп , фиксируя при этом осциллографом

максимальное Umax значение выходного напряжения.

5.4.3.3. Рассчитать перерегулирование

100%



 

уст

max уст

U

U U

,

DA2

R5

R6

R4

R3 C2

C1

R2

R1 DA1

Вход

DA3

Выход

43

где Uóñò 1 В. При правильном расчете параметров электрон-

ной модели колебательного звена перерегулирование не должно

превышать 5%.

5.4.3.4. Получить экспериментальные ЛАЧХ и ЛФЧХ, за-

мерить частоту среза cp , значение фазы cp на частоте среза и

определить запас устойчивости по фазе  .

5.4.3.5. Установить значения   0,5,   0,3,   0,1 , а

также  1,   2 ,   3 и повторить выполнение п.п. 5.4.3.2 –

5.4.3.4.

5.4.3.6. Построить графики зависимостей tпп  f (),

  f (), ср  f () , cp  f () и   f () .

5.4.3.7. Оценить влияние коэффициента демпфирования

на характеристики звеньев второго порядка.

5.5.4. Контрольные вопросы

- Как количественно величина постоянной времени свя-

зана с временем переходного процесса в инерционном

звене?

- Как изменятся характеристики инерционного форси-

рующего звена при   T и его реализация на элек-

тронной модели?

- В каком случае колебательное звено становится кон-

сервативным и как при этом изменятся его характери-

стики?

- Как нужно изменить схему, приведенную на рис. 5.11,

чтобы получить электронную модель консервативного

звена?

- Чему равен запас устойчивости по амплитуде в звеньях

второго порядка?

- Чем объяснить наличие точки перегиба на переходной

характеристике апериодического звена второго поряд-

ка?

44

5.5. Лабораторная работа № 2. Исследование

статических и астатических систем

автоматического управления

Цель работы

Целью лабораторной работы является исследование на

электронной модели характеристик статических и астатических

САУ в статических и динамических режимах работы.

Методика проведения экспериментальных исследований

Методика проведения экспериментальных исследований

На рис 5.12, а приведена структурная схема подлежащей

исследованию статической САУ, а на рис. 5.12, б – схема ее

электронной модели.

В схеме модели (рис. 5.12, б) звено с передаточной функ-

цией W1( p) реализовано на двух операционных усилителях

DA1 и DA2. Так сделано для удобства изменения коэффициен-

та передачи звена в процессе исследования САУ. В этом случае

4

5

1

3

1 11 12

R

R

R

R

k  k  k   . За счет этого при изменении коэффици-

ента передачи k1 изменяется только коэффициент передачи k11

усилителя DA1, т.е. значение сопротивления R3, в то время как

значения сопротивлений R1 и R2 (они устанавливаются равными

друг другу) и параметры элементов усилителя DA2 остаются

без изменения.

Исследования статической и астатической САУ проводят-

ся при условии постоянства коэффициента передачи по возму-

щающему воздействию k3 . При этом второе инерционное и ин-

тегрирующее звенья в астатической САУ меняются местами, т.е.

резистор R7 включается в цепь обратной связи усилителя DA4 .

Исследования статической и астатической САУ проводятся при

условии постоянства коэффициента передачи по возмущающе-

му воздействию k3 . При этом второе инерционное и интегри-

45

рующее звенья в астатической САУ меняются местами, т.е. ре-

зистор R7 включается в цепь обратной связи усилителя DA4 .

Граничное значение коэффициента передачи статической и

астатической САУ рассчитывается по выражению

1 2

1 2

T T

T T

K



гр  . (5.1)

Рис. 5.12. Структурная схема статической САУ (а) и её

модель (б)

1 1

1

T p 

k

2 1

2

T p 

k

p

k3

koc

W1(p) W2(p) W3(p)

Woc(p)

g

f

y

а

C2

DA5

DA4

DA2

R11

R8

R5 R7

R2

R1

Выход 1

Вход 1 Вход 2

Выход 2

R6

R4

R3

R9

R10

R12

R13

DA1

DA3

DA6

C1

C3

S1

б

46

При исследовании обеих систем на их электронных моде-

лях следует принимать номиналы сопротивлений

R1  R2  R4  R6  R8  R9  R10  R12  R13 100 кОм. Пара-

метры остальных элементов рассчитываются по формулам:

- для статической САУ

R5  R4  k12 , R7  R6  k2 , R11  R10  koc ,

5

1

1

R

T

C  ,

7

2

2

R

T

C  , 3

3 8

1

C

k R

 ;

- для астатической САУ:

R7  R9  k3 ,

2 6

2

1

k R

C  ,

7

2

3

R

T

C  .

Параметры остальных элементов принимаются такими же,

как у статической САУ.

В цепи обратной связи установлен ключ S1. Он замыкается

при исследовании временных характеристик САУ и размыкает-

ся при исследовании их логарифмических частотных характери-

стик разомкнутой системы.

На рис. 5.13, приведена схема лабораторной установки

для снятия характеристик САУ. На вход 1 через переключатель

S2 подается напряжение источника E1 (задающее воздей-

ствие), на вход 2 через переключатель S3 – напряжение источ-

ника E2 (возмущающее воздействие), изменяющееся от 0,1 до

0,4 В. Если E1  koc , то установившееся значение выходного

напряжения САУ Uóñò0 1 В. Все переключатели коммутиру-

ются независимо друг от друга. Это достигается назначением

различных клавиш. Величина выходного напряжения в статиче-

ском режиме измеряется осциллографом после полного оконча-

ния переходных процессов. При снятии частотных характери-

стик переключатели S2 и S3 размыкаются, замыкается пере-

ключатель S4 при разомкнутом переключателе S1 электронной

модели (рис. 5.12, б). Сопротивления ключей S1– S4 устанав-

ливаются равными 1 ГОм.

Измерение запаса устойчивости по амплитуде и фазе опи-

сано в разделе 5.2.3. Частотные характеристики снимаются

только для статической САУ.

47

Рис. 5.13. Схема лабораторной установки

Программа работы

5.5.1. Исследование статической САУ

5.5.1.1. В соответствии с вариантом исходных данных (см.

табл. 5.3) по формуле (5.1) рассчитать граничное значение ко-

эффициента передачи САУ и параметры элементов электронной

модели.

S4

Выход 1

Выход 2

Вход 1

E2

E1

Плоттер

Боде

IN

T0

OUT

T0

Электронная

модель САУ

Осциллограф

А

В

S2

S3

Вход 2

48

Таблица 5.3

Вариант T1 , с T2 , с k12 k2 koc -1 k3, c

1 0,005 0,01 4 5 0,5 30

2 0,01 0,02 5 2 0,5 20

3 0,02 0,02 5 3 0,5 35

4 0,03 0,01 2 2 0,8 30

5 0,04 0,005 2 3 0,6 20

6 0,05 0,02 1 2 0,5 25

7 0,015 0,01 3 2 0,5 10

8 0,03 0,005 1 10 0,6 25

9 0,004 0,008 10 10 0,5 50

10 0,06 0,02 1 4 0,7 40

11 0,05 0,03 2 3 1 30

12 0,07 0,01 5 5 0,5 25

13 0,08 0,02 4 3 0,6 20

14 0,09 0,03 3 2 0,6 35

15 0,1 0,02 2 1 0,5 30

16 0,09 0,01 2 2 0,7 40

17 0,08 0,05 3 4 1 25

18 0,07 0,02 4 4 0,5 30

19 0,05 0,005 5 4 0,6 25

20 0,04 0,02 5 4 0,7 20

21 0,03 0,03 1 5 0,8 30

22 0,02 0,04 2 4 1 40

23 0,01 0,05 3 3 0,5 45

24 0,005 0,005 2 2 0,8 50

25 0,05 0,01 3 4 0,6 20

26 0,1 0,01 4 2 0,5 25

27 0,08 0,02 3 1 0,4 30

28 0,12 0,005 4 5 0,5 35

29 0,1 0,002 3 5 0,6 20

30 0,15 0,07 4 1 0,7 25

31 0,08 0,05 5 5 0,8 20

32 0,05 0,02 10 5 0,5 30

49

5.5.1.2. Установить значение резистора

1

12 2 3 oc

гр

3 3,гр R

k k k k

K

R  R  , напряжение источника E1  koc , и,

замкнув ключ S2 при разомкнутом ключе S3, пронаблюдать

переходную характеристику САУ. Она должна иметь вид либо

незатухающих, либо медленно затухающих (медленно возрас-

тающих) гармонических колебаний. Если этого не происходит,

то необходимо заново рассчитать параметры модели.

5.5.1.3. Установить значение резистора R3 , обеспечиваю-

щее величину коэффициента передачи разомкнутой цепи

K  0,2Kгр , и, замкнув ключ S2 при разомкнутом ключе S3,

снять переходную характеристику САУ по задающему воздей-

ствию, измерив после окончания переходного процесса макси-

мальное Uмакс, з значение выходного напряжения и время пере-

ходного процесса tпп, з . При этом убедиться, что вольтметр

PV1 показывает установившееся значение выходного напряже-

ния Uуст0 1 В (при E2  0 ). Рассчитать перерегулирование

100

уст0

макс, з уст0

з 





U

U U

 % при подаче задающего воздействия.

5.5.1.4. Установить напряжение источника E2 , равное 0,1

В. Замкнуть ключ S3 при замкнутом ключе S2 , дождаться за-

вершения переходного процесса и снять переходную характери-

стику САУ по возмущающему воздействию. При этом осцилло-

графом вольтметром PV1 измерить установившееся Uуст, 1 и

минимальное Uмин, в значения выходного напряжения. Рассчи-

тать величины 0,95Uуст1, 1,05 Uуст1 и измерить время пере-

ходного процесса tпп,в . Рассчитать перерегулирование

100

уст1

уст 1 мин, в

в 





U

U U

 % при подаче на вход САУ возмуща-

ющего воздействия.

50

П р и м е ч а н и е . Если все изменения на переходной ха-

рактеристике происходят в области  5% от установившегося

значения напряжения Uуст1, то принять tпп,в  0 .

5.5.1.5. Установить E2  0,2 В, замкнуть переключатели

S2 и S3, включить установку и измерить осциллографом уста-

новившееся значение выходного напряжения Uуст2. Экспери-

мент повторить при E2  0.3 В и E2  0.4 В с получением

напряжений Uуст3 и Uуст4 .

5.5.1.6. Разомкнуть ключи S1 (см. рис. 5.12, б), S2 , S3

(см. рис. 5.13), замкнуть ключ S4 , включить клавишу «Частот-

ный анализ» и с помощью плоттера измерить запасы устойчиво-

сти по фазе  и амплитуде G .

5.51.7. Установить R3 , обеспечивающее K  0,3K‹р ,

K  0,5K‹р , K  0,8Kгр и повторить выполнение заданий п.п.

5.5.1.3 – 5.5.1.6.

5.5.1.8. По экспериментальным данным построить графики

семейства внешних характеристик САУ | const

вых ( 2)





K

U f E

(они должны получиться линейными и их должно быть четы-

ре), а также зависимостей tпп,з  f (K) , з  f (K) ,

tпп,в  f (K) , в  f (K) , G  f (K) и   f (K) . Рассчитать

статизм внешних характеристик САУ по формуле

100

уст1

уст1 уст2







U

U U

S %, где Uуст1 и Uуст2 – установившиеся

значения выходного напряжения САУ при E2  0,1 В и

E2  0,2 В соответственно, и построить график зависимости

S  f (K) .

5.5.1.9. Оценить влияние коэффициента передачи K на

статические и динамические характеристики статической САУ.

51

5.5.2. Исследование астатической САУ

5.5.2.1. Собрать схему астатической САУ, перенеся рези-

стор R7 в цепь обратной связи усилителя DA4 и включив его

параллельно конденсатору C3 , поменяв тем самым местами

инерционное и интегрирующее звенья. По формулам

R7  R9  k3 ,

2 6

2

1

k R

C  ,

7

2

3

R

T

C  произвести пересчет номина-

лов указанных элементов.

5.5.2.2. Установить R3  R3,гр , напряжение источника

E1  koc , замкнуть переключатель S2 при разомкнутых пере-

ключателях S3, S4 и убедиться, что на выходе САУ имеют ме-

сто установившиеся гармонические колебания.

5.5.2.3. Установить R3 , обеспечивающее значение

K  0,2Kгр , напряжение источника E2  0,1 В, замкнуть пере-

ключатель S2 , и замыкая переключатель S3, измерить величи-

ны Uвых,в и tпп,в . При этом следует убедиться, что выходное

напряжение САУ устанавливается на уровне Uóñò0 1 В. По

формуле 100

уст0

уст0 мин, в

в 





U

U U

 % рассчитать перерегулиро-

вание при приложении возмущающего воздействия.

5.5.2.4. Установить R3 , обеспечивающее K  0,3K‹р ,

K  0,5K‹р , K  0,8Kгр и повторить выполнение заданий п.

5.5.2.3.

5.5.2.5. По экспериментальным данным построить зависи-

мости ( 2)|

const

вых





K

U f U , в  f (K) , tпп,в  f (K) и срав-

нить их с аналогичными зависимостями для статической САУ.

5.5.2.6. Оценить влияние астатизма на статические и дина-

мические характеристики САУ по отношению к статической

САУ.

52

5.5.3. Контрольные вопросы

- Возможно ли получение в статической САУ нулевой

статической ошибки?

- Как связать частоту собственных колебаний пере-

ходной характеристики для САУ, работающей на

границе устойчивости с корнями характеристическо-

го уравнения?

- Почему внешние статические характеристики стати-

ческой САУ исходят из одной точки? Для любой

статической системы это свойство будет иметь ме-

сто?

- При каком коэффициенте передачи K переходная

характеристика статической САУ при подаче зада-

ющего воздействия будет апериодической?

- Почему в астатической САУ величина статической

ошибки равна нулю (ответ обосновать математиче-

ски)?

- Почему в астатической САУ перерегулирование при

подаче возмущающего воздействия больше, чем в

статической (ответ обосновать математически)?

6. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К

ЭКЗАМЕНУ

На экзамене студент должен ответить на два теоретиче-

ских вопроса и решить три задачи. Типовые задачи, предлагае-

мые на экзамене, и их решения приведены ниже.

З а д а ч а 1. По заданной передаточной функции разо-

мкнутой цепи W( p) построить её асимптотическую ЛАЧХ

2

1 2

2 2

1 1 2 3

( 1)( 1)

( )

( 2 1)( 1)( 1)

kp p p

W p

T p T p T p T p

 



 



   

,

где 2 k  0,05 c , 1 T  0,1 c,  1,5, 1   0,05 c , 2   0,01 c,

2 T  0,1 c , 3 T  0,005 c.

53

Р е ш е н и е . Передаточная функция содержит два диффе-

ренцирующих, два форсирующих и два инерционных звена, а

также звено второго порядка. Это звено является апериодиче-

ским, поскольку его коэффициент демпфирования  1 и может

быть представлена последовательным соединением двух инер-

ционных звеньев с постоянными времени 11 T и 12 T , т.е.

   2 2

1 1 11 12 T p  2T p 1 T p 1 T p 1 , где   2

11,12 1 T T    1 ,

т.е. 11 T  0,262 c , 12 T  0,038 c . Таким образом, передаточная

функция преобразуется к виду:

2

1 2

11 12 2 3

( 1)( 1)

( )

( 1)( 1)( 1)( 1)

kp p p

W p

T p T p T p T p

   



   

.

Начальный логарифмический коэффициент передачи

0 G  20lg k  26 дБ.

Частоты сопряжения на ЛАЧХ (пронумерованы в порядке

убывания постоянных времени):

1

11

1

lg 0,58 дек

T



 

   

 

, 2

2

1

lg 1 дек

T



 

   

 

,

3

1

1

 lg 1,3 дек



 

   

 

, 4

12

1

lg 1,42 дек

T



 

   

 

,

5

3

1

lg 2,3 дек

T



 

   

 

, 6

2

1

 lg 3 дек



 

   

 

На рис. 6.1 изображена асимптотическая ЛАЧХ, соответ-

ствующая заданной передаточной функции и её параметрам. Её

начальный наклон, равный 40 дБ/дек обусловлен двумя по-

следовательно соединёнными дифференцирующими звеньями,

ЛАЧХ каждого из которых на любой частоте имеет наклон

20 дБ/дек . Далее на частотах сопряжения 1  и 2  вступают в

действие инерционные звенья с постоянными времени 11 T , 2 T ,

каждое из которых после соответствующей частоты сопряжения

понижает наклон на 20 дБ/дек , поэтому при 1 2   

наклон понижается до 20 дБ/дек , а на интервале 2 3   

54

становится равным нулю. На частоте сопряжения 3  вступает в

действие форсирующее звено, поэтому на интервале 3  4

наклон увеличивается до 20 дБ/дек . При 4   и 5  

вступают в действие инерционные звенья с постоянными вре-

мени 12 T , 3 T , и наклон ЛАЧХ последовательно снижается до

нуля (при 4 5    ) и 20 дБ/дек (при 5 6    ). На ча-

стоте 6  «включается» форсирующее звено с постоянной вре-

мени 2  , наклон ЛАЧХ увеличивается на 20 дБ/дек и стано-

вится равным нулю.

Рис. 6.1. Асимптотическая ЛАЧХ для задачи 1

З а д а ч а 2. Определить устойчивость САУ, структурная

схема которой приведена на рис. 6.2 и значение граничного ко-

эффициента передачи Kгр , если 1

1

1

( )

1

k

W p

T p





,

1

( )

2

2

2





T p

k

W p ,

1

( )

3

3

3





T p

k

W p , Woc ( p)  koc ,

-20

0

0

+40

4 5 6

3

1 2

1 2 3

20

-20

0

-40

G0

+20

+20 0

lg

G()

55

где 1 k  5 , 2 k  8 , 3 k  3 , oc k  0,8 , 1 T  0,7 c , 2 T  0,1 c ,

3 T  0,01 c .

Рис. 6.2. Структурная схема САУ для задачи на исследования

её устойчивости

Р е ш е н и е . Передаточная функции разомкнутой цепи

САУ:

   

   

1 2 3 oc

рц 1 2 3 ос

1 2 oc

р

1 2 oc

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

,

1 1 1

k k k k

W p W p W p W p W p

T p T p T p

K

T p T p T p

  

  



  

где ð 1 2 3 oc K  k k k k  96.

Для оценки устойчивости САУ и определения её гранич-

ного коэффициента передачи удобнее всего пользоваться крите-

рием Гурвица, согласно которому для системы 3-го порядка

главный минор определителя Гурвица будет иметь вид:

2 0

1 1 2 3 0

3 1

,

n

a a

a a a a

a a      (6.1)

где 0 1 3 a , a , ..., a а – коэффициенты характеристического поли-

нома A(p) , который равен сумме знаменателя и числителя пе-

редаточной функции разомкнутой цепи САУ, т.е.

   

   

1 2 oc р

3 2

1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 р

( ) 1 1 1

1,

A p T p T p T p K

TT T p T T T T T p T T T p K

     

          

 

0 р 1 1 2 3

2 4 3

2 1 2 3 2 3 3 1 2 3

1 97, 0,81 c,

0,078 c =7 10 c .

a K a T T T

a T T T T T a TT T 

      

     

Согласно формуле (6.1)

g y

W1(p)

W2(p)

Woc ( p)

W3( p)

56

4 3

1 1 2 3 0 0,81 0,078 7 10 97 4,72 10 0 n a a a a  

             .

Т.к. 1 0 n   , то САУ неустойчива.

На границе устойчивости 1 0 n   , т.е.

     

1 1 2 3 0

1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 гр 1 0,

n a a a a

T T T T T T T T TT T K

    

         

отсюда граничный коэффициент передачи системы

  1 2

гр 1 2 3

3 1 2 3

1 1 1

1 89,297

a a

K T T T

a T T T

 

         

 

.

Поскольку гр р K  K  96, то неустойчивость заданной си-

стемы подтверждается.

З а д а ч а 3. Для системы, структурная схема которой при-

ведена на рис 6.3, расположенном ниже, рассчитать статизм ее

внешних характеристик для заданных значений задающего g и

возмущающего f воздействий и построить внешнюю статиче-

скую характеристику САУ.

Рис. 6.3. Структурная схема для статического расчёта САУ

Передаточные функции звеньев САУ:

f

g y

W1(p) W2(p)

Woc ( p)

W3( p)

W4(p)

57

1

1

1

( )

1

k

W p

T p





,

  2 2

1 2

2 2

1

( )

2 1

k p

W p

T p T p









 

, 3

1( )

k

W p

p

 ,

W4 ( p)  k4 , oc oc W ( p)  k .

Коэффициенты передачи и постоянные времени:

1 k  8 , 2 k  4 , 1

3 k 5 c  , 4 k  2 , oc k  0,8 , 1 T  0.1 c , 2 T  0.02 c ,

2   0.005 c,   0,7 .

Задающее воздействие g  20 В.

Возмущающее воздействие f 15 А.

Р е ш е н и е. Передаточная функция заданной замкнутой

САУ по задающему воздействию:

  

  

  

1 2 3

2

1 2 3 1 2 2

зg

1 2 3 oc 1 2 3 oc

2

1 2 2

р

oc

2

1 2 2 р

( ) ( ) ( ) 1 2 1

( )

1 ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2 1

,

1 2 1

k k k

W p W p W p T p T p T p p

W p

W p W p W p W p k k k k

T p T p T p p

K

k

T p T p T p p K







  

  





  



   

где 1

р 1 2 3 oc K k k k k 128 c   .

Передаточная функция заданной замкнутой САУ по воз-

мущающему воздействию:

  

  

  

1 2 3

2

1 2 3 1 2 2

зg

1 2 3 oc 1 2 3 oc

2

1 2 2

р

oc

2

1 2 2 р

( ) ( ) ( ) 1 2 1

( )

1 ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2 1

.

1 2 1

k k k

W p W p W p T p T p T p p

W p

W p W p W p W p k k k k

T p T p T p p

K

k

T p T p T p p K







  

  





  



   

58

Для исследования САУ в статическом режиме работы

нужно в этих передаточных функциях заменить оператор

Лапласа p на нуль, т.е.

р

oc 3 4

зg зf

р oc р

1

(0) , (0) .

K

k k k

W W

K k K

  

Установившееся значение выходной величины при отсут-

ствии возмущающего воздействия:

0 зg

oc

20

(0) 25 В

0,8

g

y gW

k

    .

Отклонение выходной величины под влиянием возмуща-

ющего воздействия:

3 4

зf

р

5 2

(0) 15 1,172 В

128

k k

y f W f

K



        .

Статизм внешней статической характеристики САУ (в

процентах) и сама характеристика:

0

1,172

100 100 4,688 %

25

y

S

y



     .

Рис. 6.4. Внешняя статическая характеристика САУ

y0

20

25

15

10

5

0 5 10 15

y(f )

f

59

ПРИЛОЖЕНИЕ. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Таблица П1

Вар.

Перед. функции и

воздействия

Параметры зве-

ньев

Варьир.

парам.

x1 x2

1 2 3 4 5

1

,

1

( )

1

1

1





T p

k

W p ( ) , 2

2

p

k

W p 

1

( )

3

3

3





T p

k

W p ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

12 m g  , 5 m f 

1 k  8 ,

10 2 k  с-1,

2 3 k  , 5 4 k  ,

 0,6 oc k ,

1 T  0,3 с,

0,01 3 T  с

1 T

1 k

2

1 1

1

1

( 1)

( ) ,

1

k p

W p

T p

 





,

1

( )

2

2

2





T p

k

W p

p

k

W p 3

3 ( )  ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k

30 m g  ,  5 m f

2 1 k  , 2 k  5 ,

10 3 k  с-1,

0,7 4 k  ,

oc k 1 ,

1 T  0,35 с,

2 T  0,1 с,

1   0,07 с

1 T

1 k

3

,

1

( )

1

1

1





T p

k

W p

,

1

( )

2

2

2





T p

k

W p

1

( )

3

3

3





T p

k

W p ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

23 m g  , 10 m f 

1 k 10 , 2 k  5 ,

3 k  3 , 2 4 k  ,

 0,5 oc k ,

0,8 1 T  с,

0,1 2 T  с,

3 T  0,015 с

1 T

1 k

60

1 2 3 4 5

4

,

1

( 1)

( )

1

1 1

1



 



T p

k p

W p

1

( )

2

2

2





T p

k

W p ,

1

( )

3

3

3





T p

k

W p ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

34 m g  , 4 m f 

5 1 k  , 2 2 k  ,

5 3 k  , 2 4 k  ,

 0,8 oc k ,

0,6 1 T  с,

0,2 2 T  с,

0,03 3 T  с,

0,005 1   с

2 T

2 k

5

,

1

( 1)

( )

1

1 1

1



 



T p

k p

W p

2 2

2

2

( 1)

( )

1

k p

W p

T p

 





,

1

( )

3

3

3





T p

k

W p ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

20 m g  , 2 m f 

5 1 k  , 2 k  4 ,

5 3 k  , 2 4 k  ,

 0,8 oc k ,

1 T  0,5 с,

0,2 2 T  с,

3 T  0,05 с,

1   0,02 с,

2   0,005 с

1 k

1 

6

1

1( )

k

W p

p

 , 2 2 W ( p)  k ,

2 1

( )

3

2 2

3

3

3

  



T p T p

k

W p ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

18 m g  , 3 m f 

1 k 10 с-1,

2 k 15 ,

2 3 k  , 5 4 k  ,

 0,6 oc k ,

0,01 3 T  с,

  0,5

3 T

2 k

7

1 1

1

( 1)

( )

k p

W p

p

 

 ,

2 2 W ( p)  k ,

2 1

( )

3

2 2

3

3

3

  



T p T p

k

W p ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

32 m g  , 10 m f 

1 k 10 с-1,

2 k  2 ,

4 3 k  , 3 4 k  ,

oc k  0,8 ,

1   0,12 с,

3 T  0,2 с,

  0,8

1 

1 k

61

1 2 3 4 5

8

1 1

1

( 1)

( )

k p

W p

p

 

 ,

W2 ( p)  k2 ,

  3 3

3 2 2

3 3

1

( )

2 1

k p

W p

T p T p









 

,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

30 m g  , 5 m f 

1 k 10 с-1,

2 k  5 ,

3 k  3 , 3 4 k  ,

oc k  0,5 ,

1   0,05 с,

3 T  0,1 с,

  0,7 ,

3   0,0035 с

3 T

2 k

9

1 1 W ( p)  k , ,

1

( )

2

2

2





T p

k

W p

2 1

( )

3

2 2

3

3

3

  



T p T p

k

W p ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

20 m g  , 3 m f 

1 k  5 , 5 2 k  ,

3 k  4 , 4 k  3 ,

oc k  0.8 ,

0,8 2 T  с,

3 T  0,01 с,

  0,8

2 T

2 k

10

1 1 W ( p)  k ,

  2 2

2

2

1

( ) ,

1

k p

W p

T p

 





2 1

( )

3

2 2

3

3

3

  



T p T p

k

W p ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

15 m g  , 5 m f 

1 k  5 , 5 2 k  ,

3 k  4 , 4 k  2 ,

oc k  0.5 ,

2 T  0,5 с,

2   0,005 с,

3 T  0,015 с,

  0,75

2 

2 k

11

  1 1 1 W ( p)  k  p 1 ,

  2 2

2

2

1

( ) ,

1

k p

W p

T p

 





2 1

( )

3

2 2

3

3

3

  



T p T p

k

W p ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

40 m g  , 10 m f 

1 k  8 , 5 2 k  ,

3 k  5 , 4 k  4 ,

oc k 1 ,

1   0,007 с,

2 T  0,8 с,

2   0,002 с,

3 T  0,03 с,

  0,9

1 

1 k

62

1 2 3 4 5

12

1

1

1

( ) ,

1

k

W p

T p



 W2 ( p)  k2 ,

3

3( )

k

W p

p

 , 4 4 W ( p)  k ,

oc

oc

oc

( )

1

k

W p

T p





,

20 m g  , 2 m f 

1 k 10 с-1,

2 k  5 ,

3 k  4 , 5 4 k  ,

oc k  0,5 ,

1 T  0,8 с,

oc T  0,015 с

1 T

1 k

13

1

1

1

( ) ,

1

k

W p

T p





2 2

2

( 1)

( ) ,

k p

W p

p

 



3

3

3

( )

1

k

W p

T p





, 4 4 W ( p)  k ,

oc oc W ( p)  k

10 m g  , 5 m f 

2 1 k  ,

2 k  20 с-1,

3 k  4 , 4 k  2 ,

oc k  0,5 ,

1 T  0,5 с,

2   0,005 с

3 T  0,015 с,

2 

2 k

14

1

1

1

( )

1

k

W p

T p





,

,

1

( )

2

2

2





T p

k

W p 3 3 W ( p)  k ,

4 4 W ( p)  k , oc

oc

oc

( )

1

k

W p

T p





,

50 m g  , 30 m f 

1 k  5 , 2 k  5 ,

3 k  4 , 2 4 k  ,

oc k 1 ,

1 T  0,7 с,

2 T  0,2 с,

oc T  0,015 с

oc T

oc k

15

1

1 2 2

1 1

( )

2 1

k

W p

T p T p



 

,

2 2 W ( p)  k , 3

3( )

k

W p

p

 ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

10 m g  , 3 m f 

1 k  5 ,

2 k  2 ,

3 k  20 с-1,

5 4 k  ,

oc k  0,4 ,

1 T  0,015 с,

  0,7

1 T

1 k

63

1 2 3 4 5

16

,

1

( )

1

1

1





T p

k

W p

,

1

( )

2

2

2





T p

k

W p

3 3 W ( p)  k , 4 4 W ( p)  k ,

oc oc

oc

oc

( 1)

( )

1

k p

W p

T p

 





,

10 m g ,  4 m f

1 k  8 , 5 2 k  ,

3 k  4 , 4 k  3 ,

oc k  0,5 ,

1 T  0,8 с,

2 T  0,4 с,

oc T  0,05 с,

oc   0,03 с

oc 

oc k

17

1

1

1

( ) ,

1

k

W p

T p





2 2

2

2

( 1)

( )

1

k p

W p

T p

 





,

3 3 3 W ( p)  k ( p 1) ,

4 4 W ( p)  k ,

oc

oc

oc

( )

1

k

W p

T p





,

 5 m g ,  3 m f

5 1 k  , 2 k  4 ,

3 k  7 , 2 4 k  ,

oc k 1 ,

1 T  0,6 с,

2 T  0,3 с,

oc T  0,07 с,

2   0,04 с,

3   0,002 с

2 T

2 k

18

1

1 2 2

1 1

( )

2 1

k

W p

T p T p



 

,

2 2 W ( p)  k , 3 3

3

( 1)

( ) ,

k p

W p

p

 



4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

10 m g  , 3 m f 

1 k  5 , 2 k  3 ,

3 k  20 с-1,

4 k  4 , oc k  0,5 ,

1 T  0,5 с,

  0,8,

3   0,3 с

1 T

1 k

19

1

1

1

( )

1

k

W p

T p





, 2 2 W ( p)  k ,

2 1

( )

3

2 2

3

3

3

  



T p T p

k

W p ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

30 m g  , 5 m f 

1 k  8 , 5 2 k  ,

3 k  4 , 4 k  2 ,

oc k 1 ,

1 T  0,5 с,

3 T  0,005 с,

  0,5

1 T

1 k

64

1 2 3 4 5

20

1

1 2 2

1 1

( )

2 1

k

W p

T p T p



 

,

  2 2 2 W ( p)  k  p 1 ,

3 3 W ( p)  k , 4 4 W ( p)  k ,

oc

oc

oc

( )

1

k

W p

T p





,

40 m g  , 10 m f 

1 k  3 , 2 k 10 ,

3 k  4 , 4 k  2 ,

oc k 1 ,

1 T  0,2 с,

  0,6 ,

2   0,007 с,

oc T  0,01 с

1 T

1 k

21

1 1 W ( p)  k ,

  2 2

2

2

1

( ) ,

1

k p

W p

T p

 





  3 3

3 2 2

3 3

1

( )

2 1

k p

W p

T p T p









 

,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

35 m g  , 10 m f 

1 k  5 , 2 k 10 ,

3 k  4 , 4 k  4 ,

oc k 1 ,

2   0,01 с,

2 T  0,5 с,

3   0,001 с,

3 T  0,03 с,

  0,9

2 T

2 k

22

1 1

1 2 2

1 1

( 1)

( )

2 1

k p

W p

T p T p









 

,

2 2 W ( p)  k ,

  3 3

3

1

( )

k p

W p

p

 

 ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

20 m g  , 10 m f 

1 k 10 с-1,

2 k  8 , 3 k  2,5 ,

3 4 k  , oc k  0,5 ,

1   0,04 с,

1 T  0,1 с,

  0,7 ,

3   0,008 с

1 

1 k

23

1 1 W ( p)  k , 2

2 ( ) ,

k

W p

p



3

3 2 2

3 3

( )

2 1

k

W p

T p T p



 

,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

25 m g  , 10 m f 

1 k  5 ,

2 k  20 с-1,

3 k  5 , 5 4 k  ,

oc k  0,5 ,

3 T  0,02 с,

 1

3 T

3 k

65

1 2 3 4 5

24

1 1 W ( p)  k ,

2

2 2 2

2 2

( )

2 1

k

W p

T p T p



 

,

3

3 ( ) ,

k

W p

p

 4 4 W ( p)  k ,

oc oc oc W ( p)  k ( p 1) ,

10 m g  , 5 m f 

1 k  5 , 2 k  5 ,

3 k 10 с-1,

4 k  4 , oc k  0,5 ,

2 T  0,4 с,

  0,9 ,

oc   0,24 с

2 T

2 k

25

1

1( )

k

W p

p

 ,

2 2

2 2 2

2 2

( 1)

( )

2 1

k p

W p

T p T p









 

  3 3 3 W ( p)  k  p 1 ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

15 m g  , 10 m f 

1 k 15 с-1,

2 k  5 , 3 k  2 ,

4 k  4 , oc k  0,5 ,

2   0,1 с,

2 T  0,2 с,

  0,75 ,

3   0,005 с

3 

2 k

26

1

1 2 2

1 1

( )

2 1

k

W p

T p T p



 

,

2 2 W ( p)  k ,

3 3 W ( p)  k , 4 4 W ( p)  k ,

  oc oc

oc

oc

1

( )

1

k p

W p

T p

 





,

40 m g  , 10 m f 

1 k  5 , 2 k  5 ,

3 k  4 , 4 k  2 ,

oc k  0,8 ,

1 T  0,5 с,

  0,7 ,

oc   0,005 с,

oc T  0,01 с

1 T

1 k

27

1

1

1

( )

1

k

W p

T p





,

2

2 2 2

2 2

( ) ,

2 1

k

W p

T p T p



 

3 3 W ( p)  k ,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

40 m g  , 10 m f 

1 k  4 , 5 2 k  ,

3 k  4 , 4 k  4 ,

oc k 1 ,

1 T  0,02 с,

2 T  0,8 с,

 1,2

1 T

1 k

66

1 2 3 4 5

28

  1 1

1

2

1

( ) ,

1

k p

W p

T p

 





  2 2

2 2 2

2 2

1

( )

2 1

k p

W p

T p T p









 

,

W3 ( p)  k3

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

40 m g  , 10 m f 

1 k  3 , 2 k  8 ,

3 k  4 , 4 k  4 ,

oc k  0,8 ,

1   0,015 с,

1 T  0,5 с,

2   0,003 с,

2 T  0,05 с,

  0,9

2 

2 k

29

,

1

( )

1

1

1





T p

k

W p

2 2

2

2

( 1)

( ) ,

1

k p

W p

T p

 





3 3 W ( p)  k , 4 4 W ( p)  k ,

oc

oc

oc

( )

1

k

W p

T p





,

40 m g  , 5 m f 

1 k 10 , 2 k  5 ,

3 k  4 , 4 k  2 ,

oc k  0,5 ,

1 T 1 с,

2 T  0,6 с,

2   0,02 с

oc T  0,04 с,

2 T

2 k

30

1

1

1

( ) ,

1

k

W p

T p





2 2

2

2

( 1)

( )

1

k p

W p

T p

 





,

3 3

3

3

( 1)

( )

1

k p

W p

T p

 





,

4 4 W ( p)  k , oc oc W ( p)  k ,

10 m g  , 5 m f 

5 1 k  , 2 k  4 ,

3 k  5 , 2 4 k  ,

oc k 1 ,

1 T  0,8 с,

2 T  0,5 с,

3 T  0,1 с,

2   0,05 с,

3   0,008 с

2 T

2 k