Производная, и ее применение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть x — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности точки x0 (окрестность точки x0 — это интервал (a; b), где x0 принадлежит (a; b)).

Разность x - x0 называется приращением аргумента: delta x = x - x0. Отсюда x = x0 + delta x.

Разность f(x) - f(x0) называется приращением функции: delta f = f(x) - f(x0) или delta f = f(x0 + delta x) - f(x0). Отсюда f(x0 + delta x) = f(x0) + delta f.

Геометрический смысл Приращения delta x и delta f определяют наклон секущей к графику функции.

Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции delta f к приращению аргумента delta x, при условии, что delta x стремится к нулю. Обозначается f'(x0). Читается: «эф штрих в точке икс нулевое».

Формула: f'(x0) = lim (delta f / delta x) при delta x -> 0.

Если функция y = f(x) имеет производную в точке x0, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Нахождение производной называется дифференцированием.

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1. Производная суммы: Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то производная их суммы равна сумме производных: (u + v)' = u' + v'.
2. Производная произведения: Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то производная их произведения вычисляется по формуле: (u * v)' = u'v + uv'.

Литература:

1. "Справочник по математике", И. Бронштейн, К. Семендяев, 1948 г. (стр. 309)
2. "Математика", Р. Л. Вейцман, Л. Р. Вейцман, 2000 г. (стр. 42-48, 82)
3. "Алгебра начала анализа 10-11", А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд, 1993 г. (стр. 95-97)