курсовая по геометрии. Тема: Касающиеся окружности

курсовая по геометрии.  Тема: Касающиеся окружности

Окружности – фигуры, которые человек знает давно и широко применяет в практической жизни. Изображение окружности встречается в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах.

Тема «окружность и касающиеся окружности» является одной из самых сложных в курсе школьной геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени. Однако, геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы. Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и опыт в решении геометрических задач. Решая задачи обучения, учитель вынужден внедрять новые методы обучения, разрабатывать эффективную методику обучения.

Все выше сказанное, говорит об актуальности выбранной темы.

Объектом исследования служит тема «окружность» в планиметрии.

Предмет исследования – теория касающихся окружностей и примеры решения задач на различные виды касания.

Целью данной работы является теоретически рассмотреть понятие касающиеся окружности, описать различные виды касания и рассмотреть решение задач по различным видам касания окружностей.

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) изучить и проанализировать основные теоретические положения по теме касающихся окружностей, в частности, понятие «касающиеся окружности» и различные виды касания;

2) описать решение задач на различные виды касания окружностей.

Решение данных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:

1) анализ научной и учебной литературы, пособий и справочников по планиметрии;

Содержание

ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................... 3

1. ТЕОРИЯ КАСАЮЩИХСЯ ОКРУЖНОСТЕЙ............................................. 5

1.1 Понятие «касающиеся окружности».......................................................... 5

1.2 Виды касания окружностей........................................................................ 9

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ..................................................................................... 13

2.1 Ключевые задачи на взаимное расположение двух окружностей............ 13

2.2 Внешнее касание окружностей................................................................. 15

2.3 Внутреннее касание окружностей............................................................ 17

2.4 Задачи на два вида касания....................................................................... 22

2.5 Задачи на построение................................................................................ 25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................................................................................. 26

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ........................................ 27

ПРИЛОЖЕНИЯ.............................................................................................. 30

1.                Акопян А. В. Геометрия в картинках / А. В. Акопян. – М.: МЦНМО, 2011. – 130 с.

2.                Александров А. Д. Геометрия для 8 – 9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / А. Д. Александров , А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – М.: Просвещение, 1991. – 415 с.

3.                Аракелян А. Г. Бесконечные последовательности взаимно касающихся окружностей / А. Г. Аракелян // Геометрия и графика. – 2016. – Т. 4, № 3. – С. 29-35.

4.                Атанасян Л. С. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. В. Кадомцев и др. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2023. – 335 с.

5.                Блинков А. Д. Основы решения геометрических задач на построение / А. Д. Блинков // Школьные технологии. – 2014. – № 5. – С. 137-143.

6.                Гордин Р. К. ЕГЭ 2018. Математика. Геометрия. Планиметрия. Задача 16 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. - М.: МЦНМО, 2018. - 240 с.

7.                Гордин Р. К. Избранные задачи школьной геометрии. Базовый и профильный уровни. М.: МЦНМО, 2018. - 120 с.

8.                Дурдыгулыев Н. С. Связь между элементами треугольника и радиусами окружностей, соприкасающихся с внешней стороной треугольника / Н. С. Дурдыгулыев, У. Сулейманова, А. Нурягдыева // Символ науки: международный научный журнал. – 2024. – Т. 2, № 3-1. – С. 13-17.

9.                Кожевников П. А. Полувписанная окружность (9-10) / П. А. Кожевников / C. 125-130. // Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под ред. А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. - М.: МЦНМО, 2009. - 488 с. – [Электронный ресурс] - https://old.mccme.ru/free-books/olymp/matprob.pdf (дата обращения 05.04.2025)

10.           Кондрушенко, Е. М. Ох, уж эти окружности!: учебно-методическое пособие / Е. М. Кондрушенко, А. Д. Крет. – Великий Новгород: МАУ МООД «ИОМКР», 2021. – 30 с.

11.           Некипелова Т. И. Решение геометрических задач методом вспомогательной окружности / Т. И. Некипелова, Е. А. Пурэвдорж // Геометрия многообразии и ее приложения : Материалы Пятой научной конференции с международным участием, посвященной 100-летию профессора Р. Н. Щербакова, Улан-Удэ, 03–06 июля 2018 года / Отв. ред. В.Б. Цыренова. – Улан-Удэ: Бурятский государственный университет, 2018. – С. 247-254.

12.           Покровский В. Г. Геометрические построения на плоскости : курс лекций / В. Г. Покровский. – Москва : Московский городской педагогический университет, 2022. – 80 с.

13. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. М.: МЦНМО, 2001. - 584 с.

14. Протасов В. Касающиеся окружности: от Тебо до Фейербаха // Квант 2008, № 4, C. 10–15.

15.           Серегин Г. М. Основные виды задач на взаимное расположение окружностей (к итоговой аттестации по математике) / Г. М. Серегин. – Новосибирск : Новосибирский государственный педагогический университет, 2023. – 108 с.

16.           Сонкина М. Б Окружности, вписанные в сегменты, и касательные / М. Б. Сонкина // Конференция Турнира городов, 1999 г. – 130 с.

17.           Черепанов, К. П. Исследование в задачах на построение циркулем и линейкой / К. П. Черепанов // Юный ученый. – 2020. – № 3(33). – С. 46-51.

18. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. М.: Наука,  Наука, 1984. - 159 с. - (Библиотечка «Квант». Вып. 31).

19.           Шарыгин И.Д. «Сборник задач по математике с решениями: Учебное пособие для 5 - 11 кл. общеобразовательных учреждений», М.2012

20.           Шибасов Л. П. Цепочки касающихся окружностей и сфер / Л. П. Шибасов // Вестник Московского государственного областного социально-гуманитарного института. – 2014. – № 1(16). – С. 35-43.