ВАРИАНТ 6. Контрольная по Математике (теория вероятностей и статистика)

ВАРИАНТ 6. Контрольная по Математике (теория вероятностей и статистика)

_

ПОЛНОЕ ЗАДАНИЕ В ДЕМО ФАЙЛЕ,

ЧАСТЬ ДЛЯ ПОИСКА ДУБЛИРУЮ НИЖЕ

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика: Методические указания и контрольные задания по математике для студентов инженерных специально-стей.

Указания содержат контрольную работу по теории вероятностей и мате-матической статистике для студентов инженерных специальностей, справочный материал к заданиям, рекомендации к выполнению заданий, алгоритмы и де-тально разобранные примеры решения типовых задач, список рекомендуемой литературы и таблицы, необходимые для расчетов. Указания предназначены для организации самостоятельной работы студентов.

2

Содержание

Предисловие…………………………………………………………………………5

Раздел 1. Элементы теории вероятностей

Глава 1. Случайные события

1.1. Испытание, события, вероятность …….…………………………….………...6

1.2. Элементы комбинаторики….……………………………………...…………...7

1.3. Алгоритм решения задачи на определение вероятности ……………………8

1.4 Алгебра событий…….………………………………………………..………...11

1.5. Алгоритм решения задачи на алгебру событий…...…………………..……..11

1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса…..………………………...14

1.7. Схема испытаний Бернулли..…………………………………………………16

1.8. Приближенные формулы в схеме Бернулли………..………………………..19

1.9. Алгоритм решения задачи на схему Бернулли..……………………………..21

Глава 2. Случайные величины

2.1. Основные понятия……………………………………………………………..22

2.2. Числовые характеристики случайной величины…………………………….24

2.3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины…………...29

Раздел 2. Элементы математической статистики

Глава 3. Выборочный метод и статистическое оценивание

3.1. Предмет и основные задачи математической статистики…………….…….31

3.2. Статистический ряд……………………………………………………………31

3.3. Статистические оценки параметров распределения………………………...34

3

3.4. Статистическая проверка статистических гипотез………………………….37

3.5. Алгоритм проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной

совокупности………………………………………………………………………..38

Глава 4. Элементы корреляционного и регрессионного анализа

4.1. Линейная корреляционная зависимость……………………………………...41

4.3. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента

корреляции …………………………………………………………………………44

Контрольная работа № 4………..…………………………………………………48

Учебно-методическое обеспечение дисциплины………………………………...74

Приложение 1 Таблица значений функции Гаусса  

2

2 1

2

x

 x e





 ……………...75

Приложение 2 Таблица значений функции Лапласа  

2

2

0

1

2

x t

x e dt





   ………...76

Приложение 3 Таблица значений коэффициентов Стьюдента t t  ;n    ……..78

Приложение 4 Критические точки распределения 2  ;k ……………………..79

Приложение 5 Критические точки распределения Стьюдента………………….80

4

Предисловие

В настоящей методической разработке содержатся базовые понятия, ос-новной теоретический материал, алгоритмы решения типовых задач по разделу математики "Теория вероятностей и математическая статистика". Здесь пред-ставлены следующие главы: "Случайные события", "Случайные величины", "Выборочный метод и статистическое оценивание", "Элементы корреляционно-го и регрессионного анализа". Последовательность изложения соответствует учебному плану данной дисциплины. Детально разобранные примеры решения задач имеют целью помочь студентам глубже освоить теоретический материал и применять его к практическим задачам. Самостоятельное выполнение приве-денной контрольной работы обеспечит успешную подготовку к экзаменацион-ной сессии.

Студенты, справившиеся с контрольной работой, допускаются к сдаче зкзамена.

В случае затруднений при выполнении заданий студент может обратиться к ведущему преподавателю во время консультаций.

Консультации проводятся согласно расписанию.

5

РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономер-ности массовых случайных явлений. Цель теории вероятностей – осуществле-ние прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, их контроль, ограничение сферы действия случайности.

ГЛАВА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. ИСПЫТАНИЕ, СОБЫТИЯ, ВЕРОЯТНОСТЬ

Испытанием (опытом, экспериментом) называют определенную совокуп-ность условий, удовлетворяющую двум требованиям: 1) его можно повторить достаточно большое ( неограниченное) число раз; 2) результаты испытания при его повторении могут меняться, и их нельзя однозначно предсказать.

Случайными событиями ( или просто событиями) называются всевозмож-ные результаты испытания. События обозначаются заглавными буквами латин-ского алфавита: A, B, C, … .

Случайное событие может состоять из нескольких более мелких событий. Если событие не подразделяется на более мелкие, то оно называется элемен-тарным событием или элементарным исходом испытания.

Элементарный исход, при котором событие А наступает, называют благо-приятствующим этому событию.

Несколько событий в данном испытании называют равновозможными, ес-ли ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие.

Два события называют несовместными, если появление одного из них ис-ключает появление другого в одном и том же испытании, и совместными – в противном случае.

Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несов-местны и в результате испытания происходит одно и только одно из них.

6

Два события А и A называются противоположными, если они образуют

полную группу.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не

изменяет вероятности появления другого, и зависимыми - в противном случае.

Если события A и B независимы, то независимы также A и B; A и B ; A и

B .

При классическом определении вероятностью события А называется от-

ношение числа m благоприятствующих этому событию равновозможных исхо-

дов к общему числу n всех равновозможных элементарных исходов испытания.

  .

m

P A

n

 .

Условной вероятностью события А при условии В называется вероятность

события А, найденная при условии, что событие В произошло. Обозначается:

Р(А/В).

Если события А и В независимы, то условная вероятность события А равна

его безусловной вероятности, т.е. Р(А/В) = Р(А).

1.2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Комбинаторика – это раздел математики, исследующий приемы нахожде-

ния числа возможных выборок при тех или иных условиях из строго опреде-

ленного конечного множества.

Основные правила комбинаторики

Правило суммы. Если некоторый объект а можно выбрать из множества

А m способами и после каждого такого выбора объект b из множества B можно

выбрать n способами, то выбрать объект а или b можно m + n способами.

Правило произведения. Если некоторый объект а можно выбрать из

множества А m способами и после каждого такого выбора объект b из множе-

7

ства B можно выбрать n способами, то пару объектов (а;b) можно выбрать m·n

способами.

Размещения из n элементов по m – это такие выборки, которые имея по

m элементов, выбранных из числа данных n элементов, отличаются одна от

другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из m элементов по n:

!

( )!

m

n

n

n m A 



Перестановки из n элементов – это выборки, имеющие n элементов и от-

личающиеся одна от другой только порядком расположения элементов.

Число перестановок из n элементов: n P = n !

Сочетания из n элементов по m – это выборки, которые имея по m эле-

ментов, выбранных из числа данных n элементов, отличаются одна от другой

хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m:

m

n C =

 

!

! !

n

m n m

Выборки с повторениями – это выборки, содержащие одинаковые элементы.

Число размещений с повторениями:

m

n A =

m

n

Число перестановок с повторениями:

n P ( 1, 2

n n ,…,

k n ) =

1 2 ...

!

! ! ! k

n

n n n

,

где i n - число одинаковых элементов i-го рода, причем 1 2 ... . k n  n   n  n

Число сочетаний с повторениями 1

m m

n n m

C C  

 .

1.3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ВЕРОЯТНОСТИ

1) Внимательно прочитать ( и возможно не один раз ) условие задачи,

определить и записать, в чем заключается испытание.

8

2) Записать формулировку события, вероятность которого требуется вы-

числить.

3) Определить число m исходов, благоприятствующих в данном испытании

рассматриваемому событию, используя при необходимости сведения из комби-

наторики.

4) Определить общее число n равновозможных исходов данного испыта-

ния.

5) Вычислить вероятность по формуле .

m

P

n



6) Записать ответ.

Примеры решения задач.

Задача №1. Жюри конкурса определило десять претендентов, одинаково

достойных первой премии. Среди них оказалось пять научных сотрудников, два

студента и трое рабочих. Найти вероятность того, что в результате жеребьевки

премия будет выдана ученому или рабочему.

Решение. Испытание: выбор по жребию одного претендента из десяти

возможных.

Событие А – из десяти претендентов выбран ученый или рабочий.

Т.к. по условию задачи число научных сотрудников равно пяти и число ра-

бочих равно трем, то по правилу суммы число благоприятствующих событию А

исходов равно: m=5+3=8. Общее число всех возможных элементарных исходов

по условию равно десяти: n=10. Согласно классическому определению вероят-

ности:  

8

0,8.

10

m

P A

n

  

Ответ: 0,8.

9

Задача №2. Группа туристов из 15 юношей и 5 девушек выбирает по жре-

бию хозяйственную команду в составе четырех человек. Какова вероятность

того, что в числе выбранных окажутся двое юношей и две девушки?

Решение. Испытание: выбор по жребию четырех человек из двадцати.

Событие А – в числе выбранных двое юношей и две девушки.

Составим схему выбора:

Всего юношей девушек

20 = 15 + 5

  

4 = 2 + 2

Имеем выборки без повторений, которые отличаются одна от другой толь-

ко составом и не являются упорядоченными. Это сочетания. Значит, двух юно-

шей из пятнадцати возможно выбрать 2

15 C способами, и двух девушек из пяти -

2

5 C способами. Тогда по правилу произведения событию А благоприятствует

2 2

m  C15 C5 исходов испытания.

Аналогично подсчитаем общее число равновозможных исходов в данном ис-

пытании: 4

20n  C .

Вероятность события А вычислим по определению:   ,

m

P A

n



т.е.  

2 2

15 5

4

20

.

C C

P A

C





Выразим каждое число сочетаний: 2 2 4

15 5 20

15! 5! 20!

; ; .

2! 13! 2! 3! 4! 16!

C  C  C 

  

Подставим в выражение Р(А) и произведем вычисления:

 

15! 5! 4! 16! 14 15 4 5 1 2 3 4

2! 13! 2! 3! 20! 1 2 1 2 17 18 19 20

P A

         

  

          

14 15 14 5 70

0,2167.

17 3 19 17 19 323

 

  

  

Ответ: 0,22.

10

1.4. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ

Суммой A+B двух событий A и B называется третье событие С, состоящее

в появлении хотя бы одного из них, т.е. A или B, или обоих вместе. Пишут: С =

А+В.

Произведением АВ двух событий А и В называется третье событие С, со-

стоящее в совместном наступлении обоих событий. Пишут: С = АВ.

Сумма и произведение событий обладают переместительным, сочетатель-

ным и распределительным свойствами.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий равна

сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).

В частности, для несовместных событий имеем: P(A+B) = P(A) + P(B).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух собы-

тий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность

другого при условии, что первое событие произошло.

Р(АВ) = Р(А)  Р(В/А) или Р(АВ) = Р(В)  Р(А/В).

В частности, для независимых событий имеем: Р(АВ) = Р(А)  Р(В).

Для большего числа событий в общем случае теоремы и соответствую-

щие формулы более сложны.

Формулы Моргана:

1 1

k k

i i

i i

A A

 

  ;

1 1

k k

i i

i i

A A

 

  .

1.5. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА АЛГЕБРУ СОБЫТИЙ

1) Определить по условию задачи испытание и элементарные исходы с за-

данными или легко вычисляемыми вероятностями. Указать эти вероятно-

сти.

2) Составить алгебру искомого сложного события.

11

3) Проанализировать составляющие сложного события на совместность и

зависимость.

4) Определить соответствующую формулу для искомой вероятности.

5) Произвести вычисления.

6) Записать ответ.

Заметим, что в случае суммы совместных или произведения зависимых со-

бытий проще вычислить вероятность противоположного события, алгебру ко-

торого легко написать, воспользовавшись соответствующей формулой Морга-

на.

Пример решения задачи.

Задача №3. Рабочий обслуживает три станка-автомата, работающих неза-

висимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потре-

бует внимания рабочего, равна 0,9; второй – 0,8; третий – 0,75. Найти вероят-

ность того, что за смену потребует внимания:

а) только третий станок;

б) только один станок;

в) хотя бы один станок.

Решение. Испытание: обслуживание трех работающих станков автоматов в

течение смены.

Элементарные исходы: i A - потребует внимания i-й станок; i=1,2,3.

По условию имеем: p1  0,9; p2  0,8; p3  0,75. Значит, 1 2 3 q  0,1;q  0,2;q  0,25.

а) Сложное событие А – потребует внимания только третий станок –

имеет следующую алгебру: 1 2 3A  A  A  A .

По условию события 1 2 3 A , A , A - независимы, поэтому независимы и события

1 2 3 A , A , A .

Тогда по теореме умножения для независимых событий получим:

  1 2 3P A  q q  p ,

12

т.е. PA  0,10,20,75  0,015.

б) Сложное событие А – только один станок потребует внимания –

имеет следующую алгебру: 1 2 3 1 2 3 1 2 3A A  A  A  A  A  A  A  A  A .

Первое слагаемое представляет собой событие, несовместное ни с одним из

событий, записанным в виде второго или третьего слагаемых, т.к. первый ста-

нок не может одновременно требовать и не требовать внимания. Аналогично

доказывается несовместность второго и третьего слагаемых. Независимость

множителей в каждом слагаемом доказана выше.

Применяя теорему сложения для несовместных событий и теорему умно-

жения для независимых событий, получим:   1 2 3 1 2 3 1 2 3P A  p q q q  p q q q  p .

Подставим значения соответствующих вероятностей и произведем вычис-

ления:

PA  0,90,20,250,10,80,250,10,20,75  0,045 0,02  0,015  0,08.

в) Сложное событие А – хотя бы один станок потребует внимания –

имеет алгебру: 1 2 3A  A  A  A . Т.к. слагаемые являются совместными собы-

тиями, то возьмем противоположное событие A - ни один станок не потребует

внимания.

Алгебру события A можно написать, воспользовавшись формулой Моргана:

1 2 3 1 2 3A A  A  A  A  A  A .

В произведении все множители независимы, поэтому

  1 2 3 P A  q q q , и   1 2 3 P A 1q q q .

Подставим значения вероятностей и произведем расчет:

PA 10,10,20,25  0,995.

Ответ: а) 0,015; б) 0,08; в) 0,995.

13

1.6. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА.

Пусть событие А может произойти с одним и только одним из собы-

тий 1 2 , ,..., n H H H , образующих полную группу попарно несовместных событий,

тогда эти события называют гипотезами события А

.  P(H1)  P H2 ... PHn  1.

В таком случае вероятность события А вычисляется по формуле полной

вероятности:

Р(А) =

1

( ) ( / ).

n

i i

i

P H P A H



 

Вероятности гипотез ( )i P H называют априорными ( доопытными). Если в ре-

зультате испытания (опыта) событие А осуществилось, то в свете новой инфор-

мации вероятности гипотез заменяются на новые ( / ) i P H A - апостериорные……

( послеопытные), которые вычисляются по формуле Байеса:

( ) ( / )

( / ) ,

( )

i i

i

P H P A H

P H A

P A





где Р(А) – полная вероятность события А, i  1;n.

Примеры решения задач.

Задача №4. 45% отопительных батарей, имеющихся в магазине, изготов-

лены на первом заводе; 15% - на втором заводе; остальные – на третьем. Веро-

ятность того, что отопительные батареи, изготовленные на этих заводах, не по-

требуют ремонта в течение гарантийного срока, соответственно равны 0,96;

0,84; 0,90. Найти вероятность того, что купленная наудачу батарея выдержит

гарантийный срок работы.

Решение. Испытание: I. Выбор и покупка отопительной батареи в данном

магазине;

II. Работа купленной батареи в течение гарантийного срока.

14

Событие А – батарея выдержит гарантийный срок работы.

Гипотезы Hi PHi   /  i P A H    /  i i P H P A H

H1- батарея изготовлена на 1-м заводе 0,45 0,96 0,450,96  0,432

Н2- батарея изготовлена на 2-м заводе 0,15 0,84 0,150,84  0,126

Н3- батарея изготовлена на 3-м заводе 0,40 0,90 0,400,90  0,360

 1 - РА  0,918

Ответ: 0,918.

Задача №5. Среди доставленных на стройку конструкций 80% стандарт-

ных. Упрощенная схема контроля признает стандартную конструкцию пригод-

ной к монтажу с вероятностью 0,9, а нестандартную - с вероятностью 0,05.

Найти вероятность того, что конструкция, признанная при контроле пригодной

к монтажу, действительно стандартная.

Решение. Испытание: I. Доставка конструкций на стройку;

II. Контроль доставленных конструкций.

Событие А – конструкция признана пригодной к монтажу.

Ответ: 0,968.

Гипотезы Нi   i Р H  /  i P A H    /  i i P H P A H  /  i P H A

H1- доставлена стандарт-

ная конструкция

0,8 0,9 0,72 0,72:0,73 0,968

Н2- доставлена нестан-

дартная конструкция

0,2 0,05 0,01 -

 1 - PA  0,73 -

15

1.7. СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ

Если проводится серия испытаний, причем вероятность появления события

А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие ис-

пытания называют независимыми относительно события А.

Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых мо-

жет произойти только одно из двух событий: событие А с вероятностью P(A) =

p или противоположное ему событие A с вероятностью P( A ) =q, где q = 1- p,

называется схемой Бернулли.

В случае реализации схемы Бернулли вероятность того, что в n независи-

мых испытаниях событие А наступит ровно m раз (безразлично, в какой после-

довательности), вычисляется по формуле Бернулли:

( ) m m n m

n n P m C p q     ,

где m = 0,1,2,…,n.

При тех же условиях вероятность того, что событие А наступит от 1 m до 2 m

раз находится по формуле:

2

1

1 2 ( ; )

m

m m n m

n n

m m

P m m C p q 



    .

Отсюда, в частности, следует, что вероятность того, что в n испытаниях,

удовлетворяющих схеме Бернулли, событие А наступит:

а) менее m раз – равна (0) (1) ... ( 1); n n n P  P   P m

б) более m раз – равна ( 1) ( 2) ... ( ); n n n P m  P m   P n

в) не менее m раз - равна ( ) ( 1) ... ( ); n n n P m  P m   P n

г) не более m раз - равна (0) (1) ... ( ). n n n P  P   P m

Если в сумме содержится большое число слагаемых, то удобнее вычислить

искомую вероятность через противоположное событие, что приводит к форму-

ле:

 

1

2

1

1 2

0 1

; 1

m n

m m n m m m n m

n n n

m m m

P m m C p q C p q



 

  

        ,

16

где первая сумма отсутствует при 1 m  0, вторая – при 2 m  n.

В частности, вероятность того, что событие А в рассматриваемых условиях

наступит

хотя бы один раз – равна (1; ) 1 . n

n P n   q

Пример решения задачи.

Задача №6. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор

случайным образом отбирает пять счетов. Если 3% счетов содержат ошибки, то

какова вероятность того, что аудитор найдет с ошибкой:

а) только один счет;

б) от двух до трех счетов;

в) хотя бы один счет.

Решение. Испытание: проверка счета аудитором.

Событие А – счет содержит ошибку.

Испытания независимы, n=5;

в каждом испытании возможны только два элементарных исхода: A или A ;

оба исхода в каждом испытании наступают с неизменной вероятностью:

PA  p  0,03;PA  q  0,97.

Значит, схема Бернулли реализуется.

Для подсчета вероятностей воспользуемся формулой Бернулли.

а)   1 1 4

5 5 P 1 C 0,03 0,97  50,030,8853  0,1328.

б)   2 2 3 3 3 2

5 5 5 P 2;3 C 0,03 0,97 C 0,03 0,97 

 100,00090,9127 100,000027 0,9409  0,0082  0,0003  0,0085.

в)   5

5 P 1;5 10,97 10,8587  0,1413.

Ответ: а) 0,133; б) 0,009; в) 0,141.

Число 0 m (0  0 m  n) называется наивероятнейшим числом наступления

события А в схеме Бернулли, если оно имеет наибольшую вероятность по срав-

17

нению с вероятностями наступления события А любое другое число раз:

0 ( ) ( ) n n P m  P m для всех m = 0,1,…,n.

Наивероятнейшее число 0 m определяется из двойного неравенства:

np  q 0  m  np  p

и условия принадлежности 0 m к целым числам. Если число np  q является це-

лым, то имеется два наивероятнейших числа np  q и np p.

Пример решения задачи.

Задача №7. Вероятность невыхода каждого из двенадцати имеющихся в

автопарке автобусов равна 0,2. Найти наивероятнейшее число автобусов, вы-

шедших в ближайший день на линию, и вероятность этого события.

Решение. Испытание: обеспечение линии автобусами.

Событие А – автобус вышел на линию.

Испытания независимы, n=12;

в каждом испытании возможны только два элементарных исхода: A или A ;

оба исхода в каждом испытании наступают с неизменной вероятностью:

PA  p  0,8;PA  q  0,2.

Значит, схема Бернулли реализуется.

Для подсчета 0 m воспользуемся неравенством np  q 0  m  np  p :

0 120,80,2  m 120,8 0,8 , т.е. 0 9,4  m 10,4. Т.к. 0 m Z, то 0 m = 10.

  10 10 2

12 12 P 10 C 0,8 0,2  660,10740,04  0,2835.

Ответ: 10; 0,284.

18

1.8. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ

Если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приво-

дит к громоздким вычислениям. В таких случаях пользуются приближенными

формулами Пуассона или Муавра-Лапласа.

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность p достаточно

мала ( n  50;npq <10), то вероятность ( ) n P m можно приближенно вычислить по

формуле:

( )

!

m a

n

a e

P m

m

 

 , где a = np.

Обобщенная формула Пуассона имеет вид:

2

1

1 2 ( ; )

!

m m a

n

m m

a e

P m m

m







 

или

1

2

1

1 2

0 1

( ; ) 1 .

! !

m m a n m a

n

m m m

a e a e

P m m

m m

  

  

 

   

На практике обычно применяется та из двух приведенных формул, в которой

меньше слагаемых. Если 1 m  0, то в последней формуле отсутствует первая

сумма; если 2 m  n , то – вторая.

Пример решения задачи.

Задача №8. Садоводческий кооператив застраховал на один год свои дач-

ные дома от пожара. Каждый из шестисот домовладельцев внес по 150 рублей.

Вероятность пожара в одном доме в течение года равна 0,005, а страховая сум-

ма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 12000 рублей. Какова вероят-

ность того, что страховая компания понесет убыток?

Решение. По условию задачи данный кооператив внес в страховую компа-

нию

19

150600 = 90 000 рублей. Т.к. выплата одному пострадавшему составляет

12 000 рублей, то полученных средств компании будет достаточно на 90 000 :

12 000 = 7,5 страховых случаев.

Значит, компания понесет убыток в случае не менее восьми пожаров.

Испытание: страхование дачного домика от пожара.

Событие А – возгорание дачного домика.

Имеем независимые испытания, n=600. В каждом испытании всего два возмож-

ных элементарных исхода A или A . В каждом испытании вероятности

PA  p  0,005;PA  q  0,995остаются неизменными.

Значит, схема Бернулли реализуется.

Требуется вычислить   600 P 8;600 . Т.к. число n велико, вычислим npq:

npq = 6000,005 0,995 = 2,985. Т.к. npq < 10, и число слагаемых велико, вос-

пользуемся второй формулой Пуассона.

 

7

600

0

8;600 1 ,

!

m a

m

a e

P

m







   где a = np = 6000,005 = 3.

Произведем вычисления:

 

0 1 2 3 4 5 6 7

3

600

3 3 3 3 3 3 3 3

8;600 1

0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!

P e 

           

 

 1- 0,04979 ( 1 + 3 + 4,5 + 3,375 + 2,025 + 1,0125 + 0,4339 )  1 – 0,9882 =

0,0118.

Ответ: 0,012.

Если число испытаний n достаточно велико, и вероятности p и q не очень

близки к нулю (npq  10), то вероятность ( ) n P m можно приближенно вычислить

по локальной формуле Муавра-Лапласа:

1

( ) ( ), n P m x

npq

 

где

2

2 1

, ( )

2

x m np

x x e

npq





 

   функция Гаусса.

Функция Гаусса (x) является четной, т.е.  x  x.

20

Таблица значений  x для положительных x приведена в приложении 1.

В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность 1 2 ( ; ) n P m m мож-

но приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа:

1 2 2 1 ( ; ) ( ) ( ), n P m m  x  x

где

2

2

0

1

, 1,2; ( )

2

x t

i

i

m np

x i x e dt

npq 

 

      нормированная функция Лапласа.

Функция Лапласа является нечетной, т.е. x  x.

Таблица значений  x для положительных x приведена в приложении 2.

1.9. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА СХЕМУ БЕРНУЛЛИ

1) Определить по условию задачи испытание и интересующий нас элемен-

тарный исход.

2) Убедиться в реализации схемы Бернулли. Для этого установить: а) число

n независимых испытаний; б) возможность исходов в каждом испытании;

в) вероятности интересующего нас и противоположного ему исходов в

каждом испытании.

3) Определить вероятность, которую требуется вычислить в задаче.

4) Выбрать подходящую формулу для подсчета вероятности.

5) Произвести расчет.

6) Записать ответ.

Пример решения задачи.

Задача №9. Какова вероятность того, что из 2 450 ламп, освещающих ули-

цу, к концу года будут гореть от 1 500 до 1 600 ламп, если каждая лампа горит в

течение года с вероятностью p = 0,64?

Решение. Испытание: освещение улицы с помощью лампы.

21

Событие А – лампа горит в течение года. Схема Бернулли реали-

зуется. Действительно, испытания независимы, n = 2 450; в каждом испытании

возможны только два элементарных исхода A или A; вероятности этих исходов

неизменны в каждом испытании PA  p  0,64;PA  q  0,36.

Требуется вычислить   2450 P 1500;1600 .

Т.к. число n велико, вычислим npq: npq = 2 4500,640,36 = 564,48. Т.к. npq > 10,

для вычисления искомой вероятности выбираем интегральную формулу Муав-

ра-Лапласа.

      2450 2 1 P 1500;1600  x  x .

, 1,2; 2450 0,64 1568. i

i

m np

x i np

npq



     2

1600 1568

1,35;

564,48

x



  1

1500 1568

2,86.

564,48

x



  

      2450 P 1500;1600  1,35  2,86  1,352,86 0,4115 + 0,4979 = 0,9094.

Ответ: 0,909.

ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Случайной называется величина, которая в результате испытания принима-

ет то или иное значение, причем заранее неизвестно какое именно.

Случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами

X,Y,Z, …, а их возможные значения соответственно малыми

1 2 3 1 2 3 1 2 3 x , x , x ,..., y , y , y ,..., z , z , z ,... .

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется величина, которая

может принимать только конечное или счетное множество значений, т.е. такое

множество, элементы которого можно перенумеровать.

22

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется величина, которая

может принимать все возможные значения из некоторого интервала ( конечного

или бесконечного ).

Две случайные величины называются равными, если множества их воз-

можных значений совпадают и все соответствующие возможные значения при-

нимаются с одинаковыми вероятностями.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их

вероятностями называется законом распределения случайной величины ( или

просто: распределением)

Закон распределения может быть задан в виде таблицы (только для ДСВ),

графически или с помощью функции.

Например,

X 1 x 2 x … n x

i p 1 p 2 p … n p

Для распределения ДСВ имеет место равенство:

1, i

i

p  где ( ). i i p  p x

Многоугольником ( или полигоном ) распределения называется ломаная,

последовательно соединяющая точки  ; , i i x p i 1;n .

Одним из наиболее удобных и универсальных способов задания закона

распределения является функция распределения.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x),

которая каждому действительному значению x ставит в соответствие вероят-

ность события X < x,

т.е.

F(x) = Р(X<x).

Функция распределения выражает вероятность того, что случайная величи-

на примет значение, меньшее x. С геометрической точки зрения функция рас

23

пределения случайной величины принимает в точке x значение, равное вероят-

ности, с которой эта случайная

величина попадет на интервал (; x), где x – его правая граница.

Множеством значений функции распределения является отрезок 0;1 .

Функция F(x) не убывает; для ДСВ она в каждой точке непрерывна слева, а для

НСВ – непрерывна на всей числовой прямой.

Имеют место следующие равенства:

F   0;F  1; F( 1 x X< 2 x ) =     2 1 F x F x .

Значения функции распределения для ДСВ можно вычислить по формуле:

( )

i

i

x x

F x p



  .

Плотностью распределения НСВ называется производная ее функции рас-

пределения:

f(x) = /F (x) .

Функцию f(x) называют дифференциальным законом распределения НСВ.

( ) ( ) .

x

F x f t dt



 

Функцию F(x) называют интегральным законом распределения НСВ.

Плотность распределения неотрицательна f(x) 0; f (t)dt 1.





  f   0.

( ) ( ) ( ) ( ) .

b

a

P a  X  b  F b  F a   f t dt

В частности, для непрерывной случайной величины имеем PX  a= 0.

График функции y  f  xназывается кривой распределения.

2.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины яв-

ляются математическое ожидание MX , дисперсия DX и среднее квадратиче-

ское отклонение ( СКО )  X.

24

Математическое ожидание определяется как сумма произведений значений

случайной величины на вероятности, с которыми эти значения принимаются.

Для ДСВ:   i i

i

M x x  p ; для НСВ: Mx x f (x)dx





   .

Свойства математического ожидания

1). MC C , здесь С – постоянная.

2). MCX CMX.

3). MX Y MXMY . В частности, MX C MX C.

4). Для независимых случайных величин MX Y MXMY .

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание

квадрата ее отклонения:     2 D X  M (X M X )  .

Для ДСВ:     2 ( ) i i

i

D X  x M X p ; для НСВ:     2

D X x M X f (x)dx.





  

Свойства дисперсии

1) DX  0. 2). DC  0. 3).     2 D C X C D X .

4). Для независимых случайных величин DX Y  DXDY.

В частности, DX C  DX .

5).     2 2 D X  M X  M X .

Последнее из приведенных свойств наиболее удобно для вычисления диспер-

сии.

Средним квадратическим ( или стандартным ) отклонением называется

квадратный корень из ее дисперсии:  X  DX.

Свойства СКО

1).  C  0. 2).  C X  C  X . 3).  X C  X .

25

Примеры решения задач

Задача №10. Дискретная случайная величина X представлена таблицей:

а) Убедиться, что задан закон распределения величины X.

Построить многоугольник распределения.

б) Определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

в) Вычислить вероятности PX 1;P0  X  2 .

г) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

отклонение X.

Решение. а) Т.к.

4

1

i

i

p

 

= 0,1+0,2+0,5+0,2 = 1, то таблица задает закон распределе-

ния. Согласно данным условиям построим многоугольник распределения.

б) Возможные значения данной случайной величины разбивают числовую

прямую на пять интервалов.

i x 0 1 2 3

i p 0,1 0,2 0,5 0,2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 2 3

xi

pi

xi

pi

26

Т.к. на интервале ;0 данная случайная величина не имеет ни одного

возможного значения, то при x  0 получаем F  x  0.

Для 0  x 1 имеем   1 0,1.

i

i

x x

F x p p



  

Для 1< x  2 имеем   1 2 0,1 0,2 0,3.

i

i

x x

F x p p p



     

Для 2< x  3 имеем   1 2 3

i

i

x x

F x p p p p



     0,1 + 0,2 + 0,5 = 0,8.

Если x  3, то на интервале ; x содержатся все возможные значения величи-

ны X, и достоверно, что она примет одно из них, т.е. F x 1.

Объединяя сказанное, зададим аналитическое выражение F(x).

 

0; 0;

0,1;0 1;

0,3;1 2;

0,8;2 3;

1; 3

x

x

F x x

x

x

   



 



   

  



 

Построим график F  x.

в) Вычислим указанные вероятности:

PX 1  PX  2 или X  3= PX  2 PX  3 0,5 + 0,2 = 0,7.

P0  x  2  F 2 F 0= 0,5 – 0,1 = 0,4.

г) Найдем числовые характеристики величины X.

 

4

1

i i

i

M X x p



  = 00,110,2  20,5 30,2 = 1,8.

0,8

0,8 1

1

1

0 1 2 3 x

0,1

0,3

0,8

1

F(x)

27

    2 2 D X  M X  M X .

4

2 2

1

i i

i

M X x p



    = 2 2 2 2 0 0,11 0,2 2 0,53 0,2= 4.

DX  4 - 2 1,8 = 0,76.  X  DX .  X   0,76  0,87.

Ответ: в) 0,7; 0,4; г) 1,8; 0,76; 0,87.

Задача №11. Случайная величина X задана функцией распределения

2

0, 0;

( ) ,0 1;

1, 1.

x

F x x x

x

 

   

  

а) Найти плотность распределения вероятностей f(x).

б) Вычислить математическое ожидание MX , дисперсию DX  и СКО  X.

в) Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет

значение, принадлежащее отрезку 0,25;0,75.

г) Построить графики функций F  x и f  x.

Решение. а) Плотность распределения вероятностей найдем по определе-

нию: f x  Fx. Получим:  

0; 0;

2 ;0 1;

0; 1.

x

f x x x

x

 

   

  

б) Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание равно

Mx x f (x)dx





   .

В нашем случае получим:  

0 1

1

2 3

0

0 1

2 2

0 2 0 .

3 3

M X dx x dx dx x





          

    2 2 D X  M X  M X .

Аналогично предыдущему получим:

 

1

1

2 2 3 4

0

0

1 1

2 .

2 2

M X x f x dx x dx x





       

 

1 4 1

0,0556.

2 9 18

D X    

Среднее квадратическое отклонение вычислим по определению  X  DX .

 

1 1

0,2357.

18 3 2

 X   

28

в) Вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет

значение, принадлежащее отрезку 0,25;0,75 , вычислим как приращение функ-

ции распределения

F  x на данном отрезке:

P0,25  X  0,75  F 0,75 F 0,25  2 2 0,75 0,25  0,56250,625  0,5.

г) Построим графики функций F  x и f  x.

2.3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ

ВЕЛИЧИНЫ

Нормальным называют распределение непрерывной случайной величины

X, плотность которого имеет вид:

 

2

2 2 1

( ) ,

2

x a

f x e a

 





 

где a=MX  - математическое ожидание,  = X - среднее квадратическое от-

клонение величины X.

Вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее интер-

валу ;  , составляет:   ,

a a

P X

 

 

 

     

      

   

где  x - функция Лапласа.

x

F(x)

0

1

1

y = 0

y = x 2

y = 1

x

f(x)

0

1

1

2

y = 0

y = 2x

y = 0

29

Вероятность того, модуль отклонения случайной величины меньше поло-

жительного числа  , выражается равенством:

P X a  2 .







 

    

 

Пример решения задачи.

Задача № 12. Заданы математическое ожидание а = 16 и среднее квадра-

тическое отклонение  = 2,5 случайной величины X, распределенной по нор-

мальному закону.

Найти:

1) вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее ин-

тервалу (10;20);

2) отклонение  величины X от ее математического ожидания а, которое

имеет место с вероятностью 95%.

Решение. 1) Воспользуемся свойствами нормального распределения,

функции Лапласа и таблицей значений функции Лапласа ( Приложение 2).

Согласно условию задачи получаем:

 

20 16 10 16

10 20

2,5 2,5

P X

     

       

   

1,62,4 1,62,4 

0,4452+0,4918 = 0,9370.

2) По свойству нормального распределения и условию задачи имеем:

P X a  2







 

     

 

0,95. Отсюда

2,5

  

  

 

0,475. Значит,

  1 0,475 .

2,5

   

Найдем в таблице  x= 0,4750. Слева от него записано значение

  1 x 0,4750 1,96.    

Значит, 1,96

2,5



 и  = 1,962,5 = 4,9.

Ответ: 1) 0,937; 2) 4,9.

30

РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ГЛАВА 3. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД И СТАТИСТИЧЕСКОЕ

ОЦЕНИВАНИЕ

3.1. ПРЕДМЕТ И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКИ

Математическая статистика – это раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Совокупность всех подлежащих изучению объектов называется генеральной совокупностью, а число объектов в совокупности называется ее объемом.

Выборкой называют совокупность объектов, случайным образом отобран-ных из генеральной совокупности.

Метод статистического исследования, состоящий в том, что на основании изучения выборочной совокупности делается заключение о всей генеральной совокупности, называется выборочным методом.

Математическая статистика решает три основных типа задач:

1) сбор, упорядочение, обработка статистических данных, представление их в наиболее обозримом виде, удобном для анализа;

2) оценка, хотя бы приближенно, интересующих нас характеристик случай-ной величины;

3) проверка статистических гипотез, т.е. решение вопроса согласования ре-зультатов оценивания с опытными данными.

3.2. СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого количественного признака X, являющегося случайной величиной.

31

Значения 1 2 , ,..., n x x x случайной величины X называют ее вариантами. Числа

i n , показывающие сколько раз в выборке встречаются варианты i x , называются

их частотами.

Ясно, что i

i

n  n , где n- объем выборки. Отношения i

i

n

p

n

  называются отно-

сительными частотами. 1 i

i

p   .

Соответствие между вариантами выборки и их частотами ( или относитель-

ными частотами ) называется статистическим распределением выборки или

статистическим рядом. В случаях, когда число вариант велико или признак яв-

ляется непрерывным ( время, рост, путь и т.п.) составляют интервальный стати-

стический ряд. В этом случае числа i n означают число вариант, содержащихся в

i-том интервале соответственно. При построении равновеликого интервального

ряда оптимальную длину интервала рассчитывают по формуле Стэрджеса:

max min .

1 3,3221

x x

h

lqn





 

Плотностью относительных частот для интервального ряда называется от-

ношение

i

i

p

f

h



  ,

где h – длина соответствующего интервала.

Гистограмма относительных частот – это столбчатая диаграмма, составлен-

ная из прямоугольников на каждом интервале с высотой соответственно i f  .

Гистограмма является статистическим аналогом кривой распределения. Вид ги-

стограммы часто показывает теоретический закон, по которому распределена

изучаемая случайная величина.

Пример решения задачи

Задача №13. Наблюдения за случайной величиной X дали следующие ре-

зультаты:

32

29 67 34 39 23 66 24 37 45 58 51 37 45 26 41 55 27 18 22 43

73 48 63 37 19 31 48 68 22 45 31 58 35 72 28 35 44 40 41 34

15 31 34 56 45 27 54 46 62 29 51 47 49 56 43 35 23 28 45 48

47 41 34 47 30 54 49 44 53 61 78 45 26 35 67 73 30 16 52 35

46 40 41 56 37 51 33 11 70 63 72 35 62 28 38 61 43 49 59 45

Составить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму отно-

сительных частот.

Решение. Подсчитаем число наблюдений: n = 100. Найдем наибольшее и

наименьшее значения наблюдаемых вариантов: min max x 11; x  78. Рассчитаем

длину интервалов по формуле Стэрджеса:

78 11 77 77

10.

1 3,3221 100 1 3,3221 2 7,6442

h

lq



   

   

Затем подсчитаем количество i n чисел данного массива, попавших в i-й интер-

вал. Помимо частот i n подсчитаем также относительные частоты i p и их плот-

ности i f  . В результате получим интервальный статистический ряд и данные

для построения гистограммы.

Интервалы

  1 ;i i x x

Частоты

i n

Относительные

частоты i p

Плотности отн.

частот i f 

 

 

 

 

 

 

 

10;20

20;30

30;40

40;50

50;60

60;70

70;80

5

14

22

29

14

10

6

0, 05

0,14

0, 22

0, 29

0,14

0,10

0, 06

0,005

0,014

0,022

0,029

0,014

0,010

0,006

 100 1 0.01

Для построения гистограммы относительных частот на каждом интервале как

на основании строим прямоугольник с высотой i f  соответственно.

33

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

Основными числовыми характеристиками статистического ряда являются:

выборочное среднее значение (средняя)

1

в i i

i

x x n

n

   ; выборочная дисперсия

 

2

1

1

, ;

k

в i i в

i

D x x n гдеx x

n 

     выборочное среднее квадратическое отклонение

в в   D ; исправленная выборочная дисперсия  2

2 1

1 i i

i

S x x n

n

  

  и исправ-

ленное выборочное стандартное отклонение 2 S  S . Очевидно, 2 .

1 в

n

S D

n





Заметим, что средняя и дисперсия обладают соответственно свойствами ма-

тематического ожидания и дисперсии случайных величин. В частности, выбо-

рочная дисперсия может быть подсчитана по формуле:  2

2 . в D  x  x

3.3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Статистической оценкой параметра теоретического распределения называ-

ют его приближенное значение, зависящее от выборочных данных.

Точечная оценка характеристики генеральной совокупности – это число,

определяемое по выборке.

10 20 30 40 50 60 70 80

X

f 

X

34

Числа a  x и   S являются точечными оценками параметров для теорети-

ческого нормального распределения.

Недостаток точечных оценок в том, что неизвестно, с какой точностью они

дают значение оцениваемого параметра.

Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она опреде-

ляется двумя числами – концами интервала, накрывающего неизвестный пара-

метр.

Интервальной оценкой неизвестного параметра является доверительный

интервал

Доверительным называется интервал, вычисленный по выборочным дан-

ным и накрывающий с заданной вероятностью неизвестное истинное значение

оцениваемого параметра распределения. Концы доверительного интервала

называют доверительными границами.

Доверительная вероятность ( надежность ) – это вероятность того, что дове-

рительный интервал накроет неизвестное истинное значение параметра, оцени-

ваемого по выборочным данным.

Для неизвестного математического ожидания MX   a нормально распре-

деленного количественного признака X доверительным является интервал

x  ; x   , где x - средняя выборочная;

t S

n

 



 - точность оценки; t t  ;n    -

коэффициент Стьюдента, который находится по таблице в приложении 3; S –

исправленное среднее квадратическое отклонение; n – объем выборки.

Пример решения задачи

Задача №14. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприя-

тий была проведена случайная выборка десяти платежных документов, по ко-

торым срок перечисления денег оказался равным: 23 27 27 31 29 30 32 28

26 31 ( дней ).

35

С помощью доверительного интервала оценить с надежностью   0,95 ожи-

даемый срок перечисления и получения денег кредиторами ( математическое

ожидание ), считая

генеральную совокупность нормально распределенной.

Решение. По приведенным данным составим статистический ряд:

i x 23 26 27 28 29 30 31 32 

i n 1 1 2 1 1 1 2 1 10

Найдем доверительный интервал x  ; x   , где .

t S

n

 





Для упрощения расчетов введем условные варианты: 29 i i u  x  . Тогда u  x 29 ,

x  u  29 .

Т.к. в. D      в. в. D X  D U , то и S  SX  SU.

Проведем необходимые вычисления.

1

; i i

i

u u n

n

   u  0,163 411 43  0,6. x  29  0,6  28,4.

2 2 1

; i i

i

u u n

n

     2 u  0,1 36  9 8118 9  7,2.  2

2

. . в D  u  u

 2

. 7,2 0,6 6,84. в D     . .

1 в

n

S D

n





10

6,84 2,76.

9

S 

По таблице ( Приложение 3 ) найдем коэффициент Стьюдента

t t 0,95;10 2,26.    Тогда

2,26 2,76

1,97.

10





  Определим доверительные грани-

цы: x   28,4 1,97  26,43; x   28,4 1,97  30,37.

Получим доверительный интервал: x  ; x    26,43;30,37.

i u -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 

i n 1 1 2 1 1 1 2 1 10

36

Запишем ответ, учитывая что по условию задачи случайная величина X ( срок )

измеряется в днях.

Ответ: с надежностью 95% ожидаемый срок перечисления и получения де-

нег от 27 до 30 дней.

3.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Статистической гипотезой называется всякое предположение о генеральной

совокупности, проверяемое по выборке.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H0.

Альтернативной ( конкурирующей) называют гипотезу Н1, которая проти-

воречит нулевой гипотезе.

Статистическим критерием называют случайную величину К, которая слу-

жит для проверки гипотезы.

Наблюдаемым (эмпирическим) значением Кнабл называется значение крите-

рия, которое вычислено по выборке.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при ко-

торых основную гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия,

при которых основную гипотезу принимают.

Критическими точками кр k называют точки, отделяющие критическую об-

ласть от области принятия гипотезы.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое

значение критерия принадлежит критической области, то основную гипотезу

отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области приня-

тия гипотезы, то нет оснований для отклонения основной гипотезы.

Вероятность ошибки, состоящей в том, что отвергается верная гипотеза,

называется уровнем значимости критерия. Обозначается  . Стандартные зна-

чения  : 0,05; 0,01; 0,005; 0,001.

37

Критерием согласия называют статистический критерий проверки гипотезы

о предполагаемом законе распределения.

Критерий согласия Пирсона

 2

2 i i

i i

n n p

n p



 



  .

Его можно преобразовать к более удобному для вычислений виду:

2

2 i

i i

n

n

n p

  

  ,

где i p - теоретическая вероятность попадания случайной величины X

в i-й интервал, а n pi -теоретические частоты, т.е. теоретическое число вариант,

попадающих в этот интервал.

Число степеней свободы – это число независимых наблюдений, равное чис-

лу наблюдаемых интервалов минус число оцениваемых статистических пара-

метров и минус единица.

3.5. АЛГОРИТМ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ

РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

1) Если данные не сгруппированы, то следует повергнуть их группировке и

представить в виде частичных интервалов   1 ; i i i x x   с соответствующими им

частотами i n . Необходимым условием применения критерия Пирсона является

наличие в каждом интервале не менее пяти значений вариантов, т.е. 5. i n  Если

в отдельных интервалах их окажется меньше, то число интервалов следует

уменьшить путем объединения соседних интервалов.

2) Вычислить среднее выборочное x и исправленное стандартное отклонение S

и принять их в качестве точечных оценок a и  нормального распределения

X N a;  .

38

3) Перейти к нормированным интервалам   1 ;i i z z , где i

i

x x

z

S



 . При этом, т.к.

случайная величина X определена на интервале ; , то в статистическом

ряде крайние интервалы следует заменить:   1 1 2   x ; x на   2 ; z и   1 ; m m m x x   

на  ;  m z  .

4) Вычислить теоретические вероятности:     i i 1 i p z z      . Значения i p

округлить таким образом, чтобы выполнялось условие: 1 i

i

p 

5) Вычислить теоретические частоты i n p .

6) Вычислить 2

набл. 

7) Найти число степеней свободы: k m21m3,где m – число интервалов.

По заданному уровню значимости  и найденному числу степеней свободы по

таблице критических точек 2  найти значение

2 2

 ,k кр    .

8) Сделать соответствующий вывод:

если 2 2

набл. кр.    , то основная гипотеза отвергается в пользу альтернативной

– распределение не имеет нормального закона распределения;

если 2 2

набл. кр.    , то нет оснований отклонить гипотезу о нормальном распре-

делении генеральной совокупности.

9) Записать ответ.

Пример решения задачи

Задача №15. В условиях задачи №13 проверить гипотезу о нормальном за-

коне распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона с уровнем

значимости 0,05.

Решение. При решении задачи №13 выборочные значения были сгруппи-

рованы. Условие 5 i n  выполняется. Объем выборки n 100. Вычислим чис-

ловые характеристики x и S, выбирая за значения i x середины соответствую-

щих интервалов. При этом воспользуемся свойствами     i i x c  x  c  x x и

39

    i i S c x  c S x , аналогичными свойствам MX  и  X. Здесь с – произволь-

ная постоянная.

Вычисления оформим в виде таблицы.

1

i i

i

u u n

n

    8.74.    2

2 1

1 i i

i

S U u u n

n

   

   9.2651.     2 S U  S U  3.0439.

x  5u= 43.7. S=S X   5S U  15.22.

Примем за параметры нормального распределения их точечные оценки:

a  x  43.7;  S 15.22 . X N43,7;15,22 .

i Интер-

валы

Середины

интервалов

i x

Условные

варианты

5

i

i

x

u 

Частоты

i n

i i u n

i u u

 2

i u u

 2

i i u u n

1

2

3

4

5

6

7

[10;20)

[20;30)

[30;40)

[40;50)

[50;60)

[60;70)

[70;80)

15

25

35

45

55

65

75

3

5

7

9

11

13

15

5

14

22

29

14

10

6

15

70

154

261

154

130

90

-5,74

-3,74

-1,74

0,26

2,26

4,26

6,26

32.9478

13.9876

3.0276

0.0676

5.1076

18.1476

39.1876

164.739

195.8264

66.6072

1.9604

71.5064

181.476

235.1256

 - - 100 874 - - 917.241

40

Вычисление 2

набл.  оформим в виде расчетной таблицы

i Интер-

валы

  1 ;i i x x

Нормиров.

Интервалы

  1 ;i i z z

    i i 1 i p z z     

i n

i n p

2

i n

2

i

i

n

n p

1

2

3

4

5

6

7

[10;20)

[20;30)

[30;40)

[40;50)

[50;60)

[60;70)

[70;80)

( ; -1.56)

(-1.56;-0,90)

(-0,90;-0,24)

(-0,24;0,41)

(0,41; 1,07)

(1,07; 1.73)

(1,73;  )

0,5-0,4406=0,0594

0,4406-0,3159=0,1247

0,3159-0,0948=0,2211

0,0948+0,1591= 0,2539

0,3577-0,1591= 0,1986

0,4582-0,3577= 0,1005

0,5- 0,4582 = 0,0418

5

14

22

29

14

10

6

5,94

12,47

22,11

25,39

19,86

10,05

4,18

25

196

484

841

196

100

36

4,2088

15,7177

21,8905

33,1233

9,8691

9,9502

8,6124

 - 1 100 100 - 103,372

Получаем:

2

2

.

i

набл

i i

n

n

n p

  

  = 103,372 – 100 = 3,372.

Число степеней свободы для нормального распределения в нашем случае сво-

боды равно: k  m3= 7 – 3 = 4.

По таблице критических точек 2  - распределения ( Приложение 4 ) найдем

по заданному уровню значимости  = 0,05 и числу степеней свободы k = 4 кри-

тическое значение:   2 2

. . 0,05;4 кр кр    = 9,5.

Т.к. 2

набл.  = 3,372 < 9,5 = 2

крит.  , то нет оснований для отклонения гипотезы о

нормальном законе распределения генеральной совокупности.

Ответ: данные наблюдений согласуются с выдвинутой гипотезой.

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО

АНАЛИЗА

4.1. ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ.

Два признака X и Y находятся в корреляционной зависимости, если каждо-

му значению одного из них соответствует некоторое распределение другого.

Корреляционная зависимость между признаками X и Y обычно задается с по-

41

мощью корреляционной таблицы. Корреляционная зависимость между призна-

ками Y и X может быть заменена функциональной, если каждому значению

признака X поставить в соответствие условное среднее признака Y, т.е. каждому

значению i X  x поставить в соответствие величину 1

i

i

n

ij j

j

x

x

m y

y

m









, где ij m - ча-

стота пары  ;  i j x y ;

xi m - частота значения i x . Если затем точки  ; 

i xi x y выровнять

по методу наименьших квадратов ( см. ниже ) вдоль некоторой линии, то эта

линия называется линией регрессии y на x , а ее уравнение – уравнением ре-

грессии y на x.

Аналогично определяется линия регрессии x на y.

Пусть X;Y  - двумерная случайная величина. С целью предсказания значе-

ний случайной величины Y по фиксированным значениям случайной величины

X исследуют зависимость между случайными величинами Y и X . Эта зависи-

мость может быть охарактеризована функцией регрессии Y на X:

 /    x y  M Y x  x ,

где MY / x - математическое ожидание Y при условии, что случайная величина

X приняла определенное значение x. График функции  x является линией ре-

грессии Y на X . Зная  x , можно делать прогноз ожидаемых средних значе-

ний случайной величины Y по фиксированным значениям случайной величины

X. Как правило, при обработке результатов наблюдений распределение случай-

ной величины X;Y неизвестно. Поэтому искомую зависимость стараются оха-

рактеризовать какой-нибудь эмпирической формулой.

Для нахождения эмпирической формулы из множества значений случайной

величины X;Y  извлекается выборка объема n. Результаты выборки представ-

ляют в виде точек плоскости Oxy. Полученную точечную диаграмму называют

корреляционным полем. При этом возможны два случая.

42

1) Точки на корреляционном поле группируются вокруг некоторой прямой

линии. В этом случае по опытным данным подбирают линейную функцию ре-

грессии: . x y  a bx

2) Точки корреляционного поля группируются вокруг некоторой кривой

y   x , где  x - функция определенного вида (многочлен, степенная, лога-

рифмическая и т.д.).

Выбрав конкретную эмпирическую формулу для регрессии, подбирают па-

раметры этой формулы методом наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов – это метод статистической оценки функци-

ональной зависимости путем установления таких ее параметров, при которых

сумма квадратов отклонений опытных данных от этой зависимости является

минимальной.

Наиболее простыми и наиболее важными линиями регрессии являются

прямые. Согласно методу наименьших квадратов для определения параметров

а и b в случае линейной функции регрессии требуется решить систему уравне-

ний:

2

; i i

i i

i i i i

i i i

na b x y

a x b x x y

  



   

 

   .

Для измерения линейной связи между величинами – количественными при-

знаками Y и X, служит также выборочный коэффициент корреляции в r , кото-

рый является точечной оценкой коэффициента корреляции г r генеральной со-

вокупности.

Выборочный коэффициент линейной корреляции в r при построении линей-

ной регрессионной зависимости Y на X вычисляют по формуле:

2 2

2 2

.

i i i i

i i i

в

i i i i

i i i i

n x y x y

r

n x x n y y

 



   

     

   

  

   

43

Значения коэффициента линейной корреляции принадлежат отрезку 1;1 . Ес-

ли коэффициент принимает значение 1 или -1, то между признаками Y и X су-

ществует линейная функциональная зависимость. Если же значение коэффици-

ента равно нулю, то между величинами Y и X отсутствует линейная корреляци-

онная зависимость.

4.2. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗНАЧИМОСТИ ВЫБОРОЧНОГО

КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

Допустим, что по наблюдаемым значениям принята линейная модель зави-

симости между рассматриваемыми величинами X и Y и подобрана линейная

функция регрессии.

После этого встает вопрос об адекватности принятой математической мо-

дели. Здесь при заданном уровне значимости применяют критерий Стьюдента

для проверки гипотезы о значимости выборочного коэффициента линейной

корреляции.

Предположим, что выборочный коэффициент корреляции, найденный по

выборке, оказался отличным от нуля. Т.к. выборка отобрана случайно, то отсю-

да еще нельзя заключить, что коэффициент генеральной совокупности также

отличен от нуля. Возникает необходимость проверить гипотезу о значимости (

существенности ) выборочного коэффициента, т.е. о равенстве нулю коэффици-

ента корреляции генеральной совокупности. Если гипотеза о равенстве нулю

генерального коэффициента корреляции будет отвергнута, то выборочный ко-

эффициент значим, т.е. величины X и Y связаны линейной корреляционной за-

висимостью. Если же гипотеза принята, то выборочный коэффициент корреля-

ции незначим, т.е. между величинами X и Y отсутствует линейная корреляци-

онная связь.

Для того, чтобы при уровне значимости  проверить нулевую гипотезу

0: 0 г H r  о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции двумерной

44

случайной величины при альтернативной гипотезе 1: 0 г H r  , надо вычислить

наблюдаемое значение критерия

.

2

2

1

в

набл

в

r n

T

r

 





.

Далее в таблице критических точек распределения Стьюдента ( Приложе-

ние 5) по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы

k  n2найти критическую точку   . . ; кр кр t  t  k .

Если набл. кр. T  t , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если набл. кр. T  t , то нулевую гипотезу отвергают.

Пример решения задачи

Задача №16. В результате лабораторных определений физико-

механических свойств грунта на данной площадке были получены следующие

результаты:

Глубина отбора

пробы (м)

i x

1,3 1,5 1,7 1,8 2,0 2,2 2,3 2,6

Естественная влаж-

ность

i y

0,221 0,231 0,241 0,246 0,268 0,258 0,262 0,301

Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем

подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X;

записать эмпирическое уравнение регрессии Y на X;

проверить соответствие математической модели опытным данным по кри-

терию Стьюдента на уровне значимости  = 0,05;

45

в случае адекватности построенной модели найти ожидаемые средние зна-

чения y при x= 2.4 и при x=3.0

. Решение. Изобразим корреляционное поле:

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Т.к. точки выстраиваются вдоль некоторой прямой, берем в качестве моде-

ли зависимости Y от X линейную регрессионную модель yx  a bx.

Составим расчетную таблицу.

i xi yi

1 1,3 0,221 1,69 0,048841 0,2873

2 1,5 0,231 2,25 0,053361 0,3465

3 1,7 0,241 2,89 0,058081 0,4097

4 1,8 0,246 3,24 0,060516 0,4428

5 2,0 0,268 4,00 0,071824 0,536

6 2,2 0,258 4,84 0,066564 0,5676

7 2,3 0,262 5,29 0,068644 0,6026

8 2,6 0,301 6,76 0,090601 0,7826

15,4 2,028 30,96 0,518432 3,9751

x i

y i

2

i x 2

i y i i x  y



46

Для определения параметров a и b в рассматриваемом случае составим си-

стему уравнений:

8 15,4 2,028;

15,4 30,96 3,9751.

a b

a b

  

  

Решив ее, найдем: а = 0,149; b = 0,054.

Следовательно, эмпирическое уравнение регрессии Y на X имеет вид:

0,149 0,054 . xy   x

Для проверки адекватности линейной модели вычислим эмпирический ко-

эффициент корреляции:

   

.

2 2

8 3,9751 15,4 2,028

8 30,96 15,4 8 0,518432 2,028

в r

  



    

= 0,9446.

Оценим существенность найденного коэффициента корреляции в. r при указан-

ном уровне значимости. Для этого вычислим статистику:

.

.

2

.

2 0,9446 6

1 1 0,8923

в

набл

в

r n

T

r

  

 

 

= 7,05.

Далее по входным данным   0,05 и числу степеней свободы k  n2=8-2=6 по

таблице критических точек распределения Стьюдента ( приложение 5 ) найдем

критическую точку   . 0,05;6 2,45. кр t 

Так как набл. кр. T  t , то нулевая гипотеза отвергается, т.е. коэффициент корреля-

ции генеральной совокупности г. r значимо отличается от нуля. Значит, величи-

ны Y и X связаны линейной корреляционной зависимостью. Модель адекватна

опытным данным.

При x = 2.4 получим x y = 0.149 + 0.0542.4  0.279; при x = 2.8 x y = 0.149 +

0.054 3.0=0.311.

Ответ: 0,149 0,054 . xy   x При уровне значимости   0,05 модель адекватна

опытным данным; 0.279; 0.311.

47

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

Студент должен выполнить задания варианта, номер которого совпадает с последней цифрой его зачетной книжки. Работа должна быть оформлена в от-дельной тетради, на обложке которой следует написать свою фамилию, иници-алы, номер работы, название дисциплины и дату сдачи на проверку.

Решения заданий необходимо приводить в той же последовательности, в которой они записаны в варианте. При этом условие каждой задачи должно быть полностью переписано перед ее решением. Выполненная работа сдается методисту по заочному обучению в деканате ИЭФ для регистрации. Желатель-ный срок сдачи – до 15 декабря.

Зачтенные контрольные работы остаются на кафедре прикладной матема-тики. Если работа не зачтена, то ее через методиста возвращают вместе с ре-цензией для исправления ошибок. Работу над ошибками следует выполнить в той же тетради. Студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации. Правильно выполненные задания переписывать не нужно. Исправленная работа повторно сдается в деканат для рецензирования.

Вариант 0

№ 1 На стройку доставлено 15 конструкций, причем 4 из них крупных, 8 средних, остальные малого размера. Найти вероятность того, что среди 10 кон-струкций, разгруженных в данном месте, окажется 3 крупных и 6 средних.

№ 2 Для компании, занимающейся строительством терминалов для аэро-портов, вероятность получить контракт в городе А равна 0,4, а выиграть его в городе В – равна 0,3. Какова вероятность того, что компания получит контракт:

а) хотя бы в одном из городов;

б) только в одном городе?

№ 3 На елочный базар поступают елки из трех лесхозов, причем первый лесхоз доставляет 50% елок, второй – 30%, третий – 20%. Среди елок первого лесхоза 10% голубых, второго – 20%, третьего – 30%. Куплена одна елка. Она

48

оказалась голубой. Какова вероятность того, что она поставлена вторым лесхо-

зом?

№ 4 Найти вероятность того, что среди 2000 банок не более двух окажутся

с нарушением герметичности, если вероятность нарушения герметичности кон-

сервной банки 0,0005.

№ 5 Дискретная случайная величина X представлена таблицей:

а) Убедиться, что задан закон распределения величины X.

Построить многоугольник распределения.

б) Определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

в) Вычислить вероятности PX  5;P4  X  7 .

г) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-

клонение X.

№ 6 Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти

плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию

случайной величины и среднее квадратическое отклонение. Построить графики

f(x) и F(x):

    2

0, 1;

1

,0 1;

2

1, 1

x

F x x x x

x

 

     



 

№ 7 Заданы математическое ожидание а = 15 и среднее квадратическое

отклонение  = 2 случайной величины X, распределенной по нормальному за-

кону.

Найти:

1) вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее ин-

тервалу (16;25);

2) отклонение  величины X от ее математического ожидания а, которое

имеет место с вероятностью 96%.

i x 4 5 7 9

i p 0,3 0,1 0,4 0,2

49

№ 8 Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий была

проведена случайная выборка десяти платежных документов, по которым срок

перечисления денег оказался равным: 22 25 26 31 28 27 30 24 29 30 (дней).

С помощью доверительного интервала оценить с надежностью   0,95 ожи-

даемый срок перечисления и получения денег кредиторами ( математическое

ожидание ), считая

генеральную совокупность нормально распределенной.

№ 9 Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

14 31 34 56 45 27 54 46 62 29 51 47 49 56 43 35 23 28 45 48

45 41 34 47 30 54 49 44 53 61 77 45 26 35 67 13 30 16 52 35

59 40 41 56 37 51 33 10 70 63 72 35 62 28 38 61 43 49 59 45

32 58 51 37 45 26 41 55 27 18 22 43 34 39 23 66 24 37 45 67

74 48 63 37 19 31 48 68 22 45 31 58 35 72 28 35 44 40 41 34

Составить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относи-

тельных частот Проверить гипотезу о нормальном законе распределения гене-

ральной совокупности по критерию Пирсона с уровнем значимости 0,01.

№ 10 В результате эксперимента были получены значения случайной вели-

чины Y в зависимости от значений случайной величины X. Результаты экспе-

римента представлены в таблице:

i x 1 1,5 3 4,5 5

i y 1,25 1,4 1,5 1,75 2,25

Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем

подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X;

записать эмпирическое уравнение регрессии Y на X;

проверить соответствие математической модели опытным данным по кри-

терию Стьюдента на уровне значимости  = 0,10;

в случае адекватности построенной модели найти ожидаемые значения

средние y при x= 2.5 и при x=2.8.

50

Вариант 1

№ 1 Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин,

выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с

одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в

избранную делегацию войдут двое мужчин и одна женщина.

№ 2 Крупная торговая кампания занимается оптовой продажей материа-

лов для строительства и ремонта жилья. Кампания имеет список покупателей в

трех регионах, основанный на ее собственной системе кодов, и рассылает им по

почте каталог товаров. Вероятность того, что кампания не получит откликов на

разосланные предложения для каждого из регионов, равна 0,25. Чему равна ве-

роятность того, что кампания получит ответ:

а) хотя бы из одного региона;

б) только из одного региона?

№ 3 Из 1000 ламп 590 принадлежит первой партии, 200 – второй, осталь-

ные – третьей. В первой партии содержится 6%, во второй 5%, в третьей 4%

бракованных ламп. Наудачу выбрана одна лампа. Она оказалась бракованной.

Какова вероятность того, что она была выбрана из третьей партии?

№ 4 Вероятность получения междугородного вызова на автоматической

телефонной станции равна 0,01. Найти вероятность того, что из 300 вызовов 4

будут междугородними.

№ 5 Дискретная случайная величина X представлена таблицей:

а) Убедиться, что задан закон распределения величины X.

Построить многоугольник распределения.

б) Определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

в) Вычислить вероятности PX  1;P3 X 1 .

г) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-

клонение X.

i x -3 -1 1 3

i p 0,4 0,2 0,3 0,1

51

№ 6 Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти

плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию

случайной величины и среднее квадратическое отклонение. Построить графики

f(x) и F(x):

 

0, 2;

2,2 3;

1, 3.

x

F x x x

x

 

    

  

№ 7 Заданы математическое ожидание а = 14 и среднее квадратическое от-

клонение  = 4 случайной величины X, распределенной по нормальному зако-

ну.

Найти:

1) вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее ин-

тервалу (18;34);

2) отклонение  величины X от ее математического ожидания а, которое

имеет место с вероятностью 89%.

№ 8 Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий была

проведена случайная выборка десяти платежных документов, по которым срок

перечисления денег оказался равным: 21 25 26 28 27 30 31 23 29 30 (дней ).

С помощью доверительного интервала оценить с надежностью   0,95 ожи-

даемый срок перечисления и получения денег кредиторами ( математическое

ожидание ), считая генеральную совокупность нормально распределенной.

№ 9 Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

39 60 41 56 37 51 33 12 70 63 72 35 62 28 38 61 43 49 59 45

30 67 34 39 23 66 24 37 45 58 51 37 45 26 41 55 27 18 22 43

73 48 63 37 19 31 48 68 22 45 31 58 35 12 28 35 44 40 41 34

15 31 34 56 45 27 54 46 62 29 51 47 49 56 43 35 23 28 45 48

57 41 34 47 30 54 49 44 53 61 79 45 26 35 67 73 30 16 52 35

Составить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относи-

тельных частот

52

Проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокуп-

ности по критерию Пирсона с уровнем значимости 0,05.

№ 10 В результате измерений были получены значения случайной величи-

ны Y в зависимости от значений случайной величины X. Результаты измерений

представлены в таблице:

Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем

подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X;

записать эмпирическое уравнение регрессии Y на X;

проверить соответствие математической модели опытным данным по кри-

терию Стьюдента на уровне значимости  = 0,10;

в случае адекватности построенной модели найти ожидаемые средние зна-

чения y при x= 3.8 и при x=4.3.

Вариант 2

№ 1 Группа из 10 мужчин и 10 женщин случайным образом делится на две

равные части. Найти вероятность того, что в каждой части мужчин и женщин

одинаковое количество.

№ 2 В помещении установлено три автономно работающих вентилятора.

Вероятность безотказной работы в течение месяца для первого из них равна

0,95, для второго – 0,9, а для третьего – 0,82. Найти вероятность того, что в те-

чение месяца:

а) сломается только один вентилятор;

б) будет безотказно работать хотя бы один вентилятор?

№ 3 Перед посевом 80% всех семян было обработано ядохимикатами. Ве-

роятность поражения растений, проросших из этих семян, вредителями равна

0,06, а растений из необработанных семян – 0,3. Какова вероятность того, что

i x 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1

i y 13 13,5 11,4 11,2 9,7

53

взятое наудачу растение окажется пораженным? Если оно пораженное, то како-

ва вероятность того, что оно выращено из обработанного семени?

№ 4 Вероятность того, что каждый из десяти построенных объектов будет

признан приемной комиссией пригодным к эксплуатации, равна 0,6. Найти

наивероятнейшее число объектов, годных к эксплуатации, и вероятность этого

события.

№ 5 Дискретная случайная величина X представлена таблицей:

а) Убедиться, что задан закон распределения величины X.

Построить многоугольник распределения.

б) Определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

в) Вычислить вероятности PX  4;P3 X  7 .

г) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-

клонение X.

№ 6 Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти

плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию

случайной величины и среднее квадратическое отклонение. Построить графики

f(x) и F(x):

   2

0, 0;

1

4 ),0 2;

4

1, 2.

x

F x x x x

x

 



    



 

№ 7 Заданы математическое ожидание а = 13 и среднее квадратическое от-

клонение  = 4 случайной величины X, распределенной по нормальному зако-

ну.

Найти:

1) вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее ин-

тервалу (15;17);

i x 3 4 7 8

i p 0,15 0,25 0,4 0,2

54

2) отклонение  величины X от ее математического ожидания а, которое

имеет место с вероятностью 94%.

№ 8 Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий была

проведена случайная выборка десяти платежных документов, по которым срок

перечисления денег оказался равным: 20 25 26 28 30 27 30 24 29 31 (дней).

С помощью доверительного интервала оценить с надежностью   0,95 ожи-

даемый срок перечисления и получения денег кредиторами ( математическое

ожидание ), считая генеральную совокупность нормально распределенной.

№ 9 Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

15 31 34 56 45 17 54 46 62 19 51 47 49 56 43 35 23 28 45 48

73 48 63 37 19 31 48 68 22 45 31 58 35 72 28 35 44 40 41 34

58 41 34 47 30 54 49 44 53 61 79 45 26 35 67 73 30 16 52 35

31 67 34 39 23 66 24 37 45 58 51 37 45 26 41 55 27 18 22 43

66 40 41 56 37 51 33 12 70 63 72 35 62 28 38 61 43 49 59 45

Составить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относи-

тельных частот

Проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокуп-

ности по критерию Пирсона с уровнем значимости 0,025.

№ 10 В результате наблюдений были получены значения случайной вели-

чины Y в зависимости от значений случайной величины X. Результаты наблю-

дений представлены в таблице:

i x 5 10 20 25 30

i y 35 42 58 66 75

Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем

подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X;

записать эмпирическое уравнение регрессии Y на X;

проверить соответствие математической модели опытным данным по кри-

терию Стьюдента на уровне значимости  = 0,10;

55

в случае адекватности построенной модели найти ожидаемые средние зна-

чения y при x= 15 и при x=35.

Вариант 3

№ 1 В ящике содержится 50 годных и 16 дефектных деталей. Сборщик

наудачу достает 8 деталей. Найти вероятность того, что среди них:

а) нет дефектных;

б) 3 дефектных детали.

№ 2 На АТС могут поступить вызовы трех типов. Вероятности поступле-

ния вызовов первого, второго и третьего типов соответственно равны: 0,2, 0,3,

0,5. Поступило три вызова. Какова вероятность того, что:

а) все они разных типов;

б) среди них нет вызова второго типа?

№ 3 Медицинский тест на возможность вирусного заболевания дает сле-

дующие результаты:

1) если проверяемый болен, то тест даст положительный результат с вероятно-

стью 0,92;

2) если проверяемый не болен, то тест может дать положительный результат с

вероятностью 0,04.

Поскольку заболевание редкое, то ему подвержено только 0,1% населения.

Предположим, что некоторому случайно выбранному человеку сделан анализ и

получен положительный результат. Чему равна вероятность того, что человек

действительно болен?

№ 4 Вероятность изготовления изделия высшего качества данным масте-

ром равна 0,8. Какова вероятность того, что из 500 его изделий 420 – высшего

качества?

№ 5 Дискретная случайная величина X представлена таблицей:

i x 4 9 12 14

i p 0,4 0,2 0,1 0,3

56

а) Убедиться, что задан закон распределения величины X.

Построить многоугольник распределения.

б) Определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

в) Вычислить вероятности PX  9;P4  X 12 .

г) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-

клонение X.

№ 6 Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти

плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию

случайной величины и среднее квадратическое отклонение. Построить графики

f(x) и F(x):

    2

0, 0;

1

2 ,0 2;

8

1, 2.

x

F x x x x

x

 



    



 

№ 7 Заданы математическое ожидание а = 12 и среднее квадратическое от-

клонение  = 5 случайной величины X, распределенной по нормальному зако-

ну.

Найти:

1) вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее ин-

тервалу (17;22);

2) отклонение  величины X от ее математического ожидания а, которое

имеет место с вероятностью 92%.

№ 8 Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий была

проведена случайная выборка десяти платежных документов, по которым срок

перечисления денег оказался равным: 22 26 30 26 28 29 31 27 25 30 (дней).

С помощью доверительного интервала оценить с надежностью   0,95 ожи-

даемый срок перечисления и получения денег кредиторами ( математическое

ожидание ), считая генеральную совокупность нормально распределенной.

57

№ 9 Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

64 48 63 37 19 31 48 68 22 45 31 58 35 72 28 35 44 40 41 35

12 31 34 56 45 27 54 46 62 29 51 47 49 56 43 35 23 28 45 48

11 41 34 47 30 54 49 44 53 61 77 45 26 35 67 73 30 16 52 33

50 67 34 39 23 66 24 37 45 58 51 37 45 26 41 55 27 18 22 47

49 40 41 56 37 51 33 10 70 63 72 35 62 28 38 61 43 49 59 41

Составить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относи-

тельных частот

Проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокуп-

ности по критерию Пирсона с уровнем значимости 0,01.

№ 10 В результате проведенного опыта были получены значения случай-

ной величины Y в зависимости от значений случайной величины X. Опытные

данные приведены в таблице:

i x 14 15 18 20 22

i y 11,6 12,9 14,1 17,2 18,7

Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем

подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X;

записать эмпирическое уравнение регрессии Y на X;

проверить соответствие математической модели опытным данным по кри-

терию Стьюдента на уровне значимости  = 0,10;

в случае адекватности построенной модели найти ожидаемые средние зна-

чения y при x= 17 и при x=24.

Вариант 4

№ 1 Покупая карточку лотереи "Спортлото", игрок должен зачеркнуть 6 из

49 возможных чисел от 1 до 49. Если при розыгрыше тиража лотереи он угадает

все 6 чисел, то имеет шанс выиграть значительную сумму денег. Чему равна

вероятность угадать все 6 номеров?

58

№ 2 С целью исследования транспортных проблем необходимо проведение

интервью с людьми, которые добираются на работу общественным транспор-

том. В районе, где проводится обследование, 75% людей добираются на работу

на общественном транспорте. Если три человека согласились дать интервью, то

какова вероятность того, что из них общественным транспортом на работу:

а) добирается по крайней мере один;

б) добираются двое?

№ 3 Директор фирмы имеет два списка с фамилиями претендентов на ра-

боту. В первом списке – фамилии пяти женщин и двух мужчин. Во втором

списке – фамилии двух женщин и шести мужчин. Фамилия одного из претен-

дентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия од-

ного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Если предполо-

жить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что

из первого списка была извлечена фамилия женщины?

№ 4 Вероятность того, что каждый из десяти построенных объектов будет

признан приемочной комиссией годным к эксплуатации, равна 0,6. Найти

наивероятнейшее число объектов, годных к эксплуатации, и вероятность этого

события.

№ 5 Дискретная случайная величина X представлена таблицей:

а) Убедиться, что задан закон распределения величины X.

Построить многоугольник распределения.

б) Определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

в) Вычислить вероятности PX 1;P1 X  2 .

г) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-

клонение X.

i x -2 -1 1 2

i p 0,15 0,25 0,35 0,25

59

№ 6 Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти

плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию

случайной величины и среднее квадратическое отклонение. Построить графики

f(x) и F(x):

    2

0, 2;

1

7 10 ,2 3;

2

1, 3.

x

F x x x x

x

 



     



 

№ 7 Заданы математическое ожидание а = 11 и среднее квадратическое от-

клонение  = 3 случайной величины X, распределенной по нормальному зако-

ну.

Найти:

1) вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее ин-

тервалу (17;26);

2) отклонение  величины X от ее математического ожидания а, которое

имеет место с вероятностью 96%.

№ 8 Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий была

проведена случайная выборка десяти платежных документов, по которым срок

перечисления денег оказался равным: 25 21 27 30 25 29 24 23 28 31 (дней).

С помощью доверительного интервала оценить с надежностью   0,95 ожи-

даемый срок перечисления и получения денег кредиторами ( математическое

ожидание ), считая генеральную совокупность нормально распределенной.

№ 9 Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

18 41 34 47 30 54 49 44 53 61 79 45 26 35 67 73 30 16 52 31

37 67 34 39 23 66 24 37 45 58 51 37 45 26 41 55 27 18 62 42

75 48 63 37 19 31 48 68 22 45 31 58 35 72 28 35 44 40 41 37

16 31 34 56 45 27 54 46 62 29 51 47 49 56 43 35 23 28 45 44

46 40 41 56 37 51 33 12 70 63 72 35 62 28 38 61 43 49 59 57

Составить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относи-

тельных частот

60

Проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокуп-

ности по критерию Пирсона с уровнем значимости 0,05.

№ 10 В результате эксперимента были получены значения случайной вели-

чины Y в зависимости от значений случайной величины X . Результаты приве-

дены в следующей таблице:

Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем

подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X;

записать эмпирическое уравнение регрессии Y на X;

проверить соответствие математической модели опытным данным по кри-

терию Стьюдента на уровне значимости  = 0,10;

в случае адекватности построенной модели найти ожидаемые средние зна-

чения y при x= 15 и при x=21.

Вариант 5

№ 1 Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать па-

роль из четырех цифр. Оператор забыл или не знает необходимого кода. Найти,

с какой вероятностью можно войти в сеть с первой попытки, если известно, что

цифры в пароле не повторяются?

№ 2 В магазин от разных поставщиков поступают 4 партии различных ви-

дов мебели, из которых комплектуются гарнитуры. Вероятности того, что пар-

тии товара будут доставлены в срок, соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,7;0,95.

Найти вероятность того, что:

а) хотя бы одна партия не будет доставлена в срок;

б) только одна партия не будет доставлена в срок.

№ 3 На предприятии установлена система аварийной сигнализации. Когда

возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью

0,95.Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с ве-

i x 12 13 16 18 20

i y 35 30 20 15 10

61

роятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Пред-

положим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной ава-

рийной ситуации?

№ 4 Игрок набрасывает кольца на колышек. Вероятность удачи при этом

равна 0,1. Найти вероятность того, что из 6 колец на колышек попадут хотя бы

два.

№ 5 Дискретная случайная величина X представлена таблицей:

а) Убедиться, что задан закон распределения величины X.

Построить многоугольник распределения.

б) Определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

в) Вычислить вероятности PX  3;P2  X  8 .

г) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-

клонение X.

№ 6 Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти

плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию

случайной величины и среднее квадратическое отклонение. Построить графики

f(x) и F(x):

    2

0, 1;

1

,1 2;

2

1, 2.

x

F x x x x

x

 



    



 

№ 7 Заданы математическое ожидание а = 10 и среднее квадратическое от-

клонение  = 2 случайной величины X, распределенной по нормальному зако-

ну.

Найти:

1) вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее ин-

тервалу (1;13);

i x 2 3 5 8

i p 0,3 0,2 0,4 0,1

62

2) отклонение  величины X от ее математического ожидания а, которое

имеет место с вероятностью 85%.

№ 8 Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий была

проведена случайная выборка десяти платежных документов, по которым срок

перечисления денег оказался равным: 21 25 26 29 31 26 30 24 29 31 (дней).

С помощью доверительного интервала оценить с надежностью   0,95 ожи-

даемый срок перечисления и получения денег кредиторами ( математическое

ожидание ), считая генеральную совокупность нормально распределенной.

№ 9 Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

15 31 34 56 45 27 54 46 62 29 51 47 49 56 43 35 23 58 45 59

42 41 34 47 30 54 49 44 53 61 77 45 26 35 67 73 30 16 52 32

32 17 34 39 23 66 24 37 45 58 51 37 45 26 41 55 27 18 22 40

71 48 63 37 19 31 48 68 22 45 31 58 35 72 28 35 44 40 41 54

44 40 41 56 37 51 33 10 70 63 72 35 62 28 38 61 43 49 59 75

Составить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относи-

тельных частот

Проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокуп-

ности по критерию Пирсона с уровнем значимости 0,025.

№ 10 В результате лабораторных исследований были получены значения

случайной величины Y в зависимости от значений случайной величины X. Ре-

зультаты представлены в следующей таблице:

Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем

подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X;

записать эмпирическое уравнение регрессии Y на X;

проверить соответствие математической модели опытным данным по кри-

терию Стьюдента на уровне значимости  = 0,10;

i x 35 41 44 48 49

i y 120 130 135 140 145

63

в случае адекватности построенной модели найти ожидаемые средние зна-

чения y при x= 45 и при x=50.

Вариант 6

№ 1 Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что число оч-

ков на второй кости будет больше, чем на первой?

№ 2 Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работа-

ющих датчика. Вероятность того, что при возгорании датчик сработает, для

первого и второго датчиков соответственно равны 0,9 и 0,95. Найти вероят-

ность того, что при пожаре сработает:

а) хотя бы один датчик;

б) только один датчик.

№ 3 На стройку поступают одинаковые конструкции с двух ЗСК. С перво-

го поступает 40% всех конструкций, среди которых 2% дефектных; со второго

– 60%, среди которых 3% дефектных. Выбранная конструкция оказалась де-

фектной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом ЗСК.

№ 4 К магистральному водопроводу подключены 160 предприятий, каждое

из которых с вероятностью 0,7 в данный момент времени осуществляет набор

воды. Найти вероятность того, что в этот момент забор воды производят не ме-

нее 80 и не более 120 предприятий.

№ 5 Дискретная случайная величина X представлена таблицей:

а) Убедиться, что задан закон распределения величины X.

Построить многоугольник распределения.

б) Определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

в) Вычислить вероятности PX  2;P1 X  3 .

i x -1 1 2 3

i p 0,25 0,25 0,35 0,15

64

г) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-

клонение X.

№ 6 Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти

плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию

случайной величины и среднее квадратическое отклонение. Построить графики

f(x) и F(x):

 

0, 2;

2

, 2 4;

2

1, 4.

x

x

F x x

x

 



 

   



 

№ 7 Заданы математическое ожидание а = 9 и среднее квадратическое от-

клонение  =4 случайной величины X, распределенной по нормальному закону.

Найти:

1) вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее ин-

тервалу (15;19);

2) отклонение  величины X от ее математического ожидания а, которое

имеет место с вероятностью 98%.

№ 8 Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий была

проведена случайная выборка десяти платежных документов, по которым срок

перечисления денег оказался равным: 25 22 27 29 31 27 31 25 29 30 (дней).

С помощью доверительного интервала оценить с надежностью   0,95 ожи-

даемый срок перечисления и получения денег кредиторами ( математическое

ожидание ), считая генеральную совокупность нормально распределенной.

№ 9 Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

75 48 63 37 19 31 48 68 22 45 31 58 35 72 28 35 44 40 41 37

67 41 34 47 30 54 49 44 53 61 79 45 26 35 67 73 30 16 52 42

13 67 34 39 23 66 24 37 45 58 51 37 45 26 41 55 27 18 22 33

17 31 34 56 45 27 54 46 62 29 51 47 49 56 43 35 23 28 45 58

56 40 41 56 37 51 33 12 70 63 72 35 62 28 38 61 43 49 59 49

Составить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относи-

тельных частот

65

Проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокуп-

ности по критерию Пирсона с уровнем значимости 0,01.

№ 10 В результате эксперимента были получены значения случайной вели-

чины Y в зависимости от значений случайной величины X . Результаты экспе-

римента представлены следующей таблицей:

Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем

подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X;

записать эмпирическое уравнение регрессии Y на X;

проверить соответствие математической модели опытным данным по кри-

терию Стьюдента на уровне значимости  = 0,10;

в случае адекватности построенной модели найти ожидаемые значения y

при x= 20 и при x=30.

Вариант 7

№ 1 Повар приготовил 15 омлетов, причем 4 из них пересолил. Найти ве-

роятность того, что из трех наудачу взятых омлетов все окажутся пересолен-

ными.

№ 2 Вероятности успешной сдачи экзамена по первому, второму и третье-

му предметам у данного студента соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,75. Найти

вероятность того, что студент не сдаст:

а) хотя бы один экзамен;

б) два экзамена.

№ 3 На стройку поступают одинаковые изделия с трех оконных заводов,

причем первый завод поставил 50% изделий, второй – 30%, третий – 20% изде-

лий. Среди изделий первого завода 70%, второго 80%, третьего 90% первосорт-

ных. Наугад выбрано изделие. Оно оказалось первосортным. Какова вероят-

ность того, что оно изготовлено на первом заводе?

i x 3 8 18 23 28

i y 10 13 32 42 50

66

№ 4 Устройство состоит из 2 000 элементов. Вероятность отказа для каж-

дого из элементов в течение года равна 0,001. Какова вероятность отказа за год:

а) двух элементов;

б) не менее двух элементов ?

№ 5 Дискретная случайная величина X представлена таблицей:

а) Убедиться, что задан закон распределения величины X.

Построить многоугольник распределения.

б) Определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

в) Вычислить вероятности PX  6;P4  X  8 .

г) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-

клонение X.

№ 6 Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти

плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию

случайной величины и среднее квадратическое отклонение. Построить графики

f(x) и F(x):

    2

0, 2;

1

3 2 ,2 3;

2

1, 3.

x

F x x x x

x

 



     



 

№ 7 Заданы математическое ожидание а = 8 и среднее квадратическое от-

клонение  = 2 случайной величины X, распределенной по нормальному зако-

ну.

Найти:

1) вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее ин-

тервалу (6;15);

2) отклонение  величины X от ее математического ожидания а, которое

имеет место с вероятностью 92%.

i x 2 4 6 8

i p 0,35 0,3 0,15 0,2

67

№ 8 Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий была

проведена случайная выборка десяти платежных документов, по которым срок

перечисления денег оказался равным: 20 25 27 28 31 27 30 25 28 29 (дней).

С помощью доверительного интервала оценить с надежностью   0,95 ожи-

даемый срок перечисления и получения денег кредиторами ( математическое

ожидание ), считая генеральную совокупность нормально распределенной.

№ 9 Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

71 67 34 39 23 66 24 37 45 58 51 37 45 26 41 55 27 18 22 40

79 48 63 37 19 31 48 68 22 45 31 58 35 72 28 35 44 40 41 36

25 31 34 56 45 17 54 46 62 29 51 47 49 56 43 35 23 28 45 43

58 41 34 47 30 54 49 44 53 61 78 45 26 35 67 73 30 16 52 31

50 40 41 56 37 51 33 12 70 63 72 35 62 28 38 61 43 49 59 49

Составить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относи-

тельных частот

Проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокуп-

ности по критерию Пирсона с уровнем значимости 0,05.

№ 10 В результате наблюдений были получены значения случайной вели-

чины Y в зависимости от значений случайной величины X. Результаты наблю-

дений представлены в следующей таблице:

Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем

подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X;

записать эмпирическое уравнение регрессии Y на X;

проверить соответствие математической модели опытным данным по кри-

терию Стьюдента на уровне значимости  = 0,10;

в случае адекватности построенной модели найти ожидаемые средние зна-

чения y при x= 6 и при x=8.

i x 1 3 4 5 7

i y 14 17 18 21 23

68

Вариант 8

№ 1 Из колоды в 36 карт наудачу вынимают 4 карты. Найти вероятность

того, что среди них окажется точно один туз.

№ 2 Из сорока вариантов, входящих в экзаменационные билеты, студент

знает тридцать. Найти вероятность того, что из трех наугад выбранных вопро-

сов студент знает:

а) хотя бы один вопрос;

б) только один вопрос.

№ 3 Система обнаружения самолета из-за наличия помех в зоне действия

локатора может давать ложные показания с вероятностью 0,05, а при наличии

цели в зоне система обнаруживает ее с вероятностью 0,9. Вероятность появле-

ния противника в зоне равна 0,25. Определить вероятность ложной тревоги.

№ 4 Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна

0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 625 пассажиров и вероят-

ность этого события.

№ 5 Дискретная случайная величина X представлена таблицей:

а) Убедиться, что задан закон распределения величины X.

Построить многоугольник распределения.

б) Определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

в) Вычислить вероятности PX  3;P1 X  5 .

г) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-

клонение X.

№ 6 Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти

плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию

случайной величины и среднее квадратическое отклонение. Построить графики

f(x) и F(x):

i x 1 3 5 7

i p 0,15 0,25 0,4 0,2

69

    2

0, 1;

1

1 ,1 3;

8

1, 3.

x

F x x x

x

 



    



 

№ 7 Заданы математическое ожидание а = 7 и среднее квадратическое от-

клонение  = 2,5случайной величины X, распределенной по нормальному зако-

ну.

Найти:

1) вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее ин-

тервалу (2;22);

2) отклонение  величины X от ее математического ожидания а, которое

имеет место с вероятностью 99%.

№ 8 Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий была

проведена случайная выборка десяти платежных документов, по которым срок

перечисления денег оказался равным: 21 28 30 24 29 25 28 27 30 27 (дней).

С помощью доверительного интервала оценить с надежностью   0,95 ожи-

даемый срок перечисления и получения денег кредиторами ( математическое

ожидание ), считая генеральную совокупность нормально распределенной.

№ 9 Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

16 40 41 56 37 51 33 11 70 63 72 35 62 28 38 61 43 49 59 15

47 41 34 47 30 54 49 44 53 61 71 45 26 35 67 73 30 10 52 55

23 67 34 39 23 66 24 17 45 58 51 37 45 26 41 55 27 18 22 43

77 48 63 37 19 31 48 68 22 45 31 58 35 72 28 35 44 40 41 54

45 31 34 56 45 27 54 46 62 29 51 47 49 56 43 35 23 28 45 68

Составить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относи-

тельных частот.

Проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокуп-

ности по критерию Пирсона с уровнем значимости 0,025.

№ 10 В результате измерений были получены значения случайной величи-

ны Y в зависимости от значений случайной величины X . Результаты представ-

лены в следующей таблице:

70

i x 1 2 5 6 8

i y 2,5 3,1 4,1 5,3 7,8

Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем

подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X;

записать эмпирическое уравнение регрессии Y на X;

проверить соответствие математической модели опытным данным по кри-

терию Стьюдента на уровне значимости  = 0,10;

в случае адекватности построенной модели найти ожидаемые средние зна-

чения y при x= 4 и при x=9.

Вариант 9

№ 1 Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из четы-

рех офицеров и двенадцати солдат. Какова вероятность того, что в группе будет

два офицера?

№ 2 Вероятность потери письма в почтовом отделении равна 0,03, а теле-

граммы – 0,01. Отправлено два письма и одна телеграмма. Какова вероятность

того, что дойдет:

а) только телеграмма;

б) хотя бы одно из отправлений?

№ 3 Две бригады производят одинаковые пластиковые окна. Производи-

тельность первой бригады вдвое больше, чем второй. Первая бригада произво-

дит в среднем 60% окон отличного качества, а вторая – 84%. Наудачу взятое

окно оказалось отличного качества. Найти вероятность того, что оно произве-

дено первой бригадой.

№ 4 К пульту охранной системы предприятия подключено 2000 датчиков,

причем вероятность появления тревожного сигнала на каждом из них равна

0,0005. Определить вероятность тревоги, если для этого достаточно хотя бы од-

ного сигнала.

№ 5 Дискретная случайная величина X представлена таблицей:

71

а) Убедиться, что задан закон распределения величины X.

Построить многоугольник распределения.

б) Определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

в) Вычислить вероятности PX  4;P3 X  5 .

г) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-

клонение X.

№ 6 Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти

плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию

случайной величины и среднее квадратическое отклонение. Построить графики

f(x) и F(x):

   2

0, 1;

0.1 1 ,1 5;

1, 5.

x

F x x x

x

 



    

 



№ 7 Заданы математическое ожидание а = 6 и среднее квадратическое от-

клонение  = 3 случайной величины X, распределенной по нормальному зако-

ну.

Найти:

1) вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее ин-

тервалу (0;9);

2) отклонение  величины X от ее математического ожидания а, которое

имеет место с вероятностью 90%.

№ 8 Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий была

проведена случайная выборка десяти платежных документов, по которым срок

перечисления денег оказался равным: 24 28 27 21 26 31 21 28 30 29 (дней).

С помощью доверительного интервала оценить с надежностью   0,95 ожи-

даемый срок перечисления и получения денег кредиторами ( математическое

ожидание ), считая генеральную совокупность нормально распределенной.

i x 2 3 4 5

i p 0,2 0,1 0,4 0,3

72

№ 9 Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

72 48 63 37 19 31 48 68 22 45 31 58 35 72 28 35 44 40 41 34

16 31 34 56 45 27 54 46 62 29 51 47 49 56 43 35 23 28 45 48

48 41 34 47 30 54 49 44 53 61 79 45 26 35 67 73 30 16 52 35

47 40 41 56 37 51 33 12 70 63 72 35 62 28 38 61 43 49 59 45

33 67 34 39 23 66 24 37 45 58 51 37 45 26 41 55 27 18 22 43

Составить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относи-

тельных частот. Проверить гипотезу о нормальном законе распределения гене-

ральной совокупности по критерию Пирсона с уровнем значимости 0,025.

№

10 В результате эксперимента были получены значения случайной величины Y

в зависимости от значений случайной величины X. Результаты представлены в

таблице:

i x 20 30 40 50 60

i y 25 28 34 36 45

Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем

подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X;

записать эмпирическое уравнение регрессии Y на X;

проверить соответствие математической модели опытным данным по кри-

терию Стьюдента на уровне значимости  = 0,10;

в случае адекватности построенной модели найти ожидаемые средние зна-

чения y при x= 45 и при x=55.

73

Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Основная литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003 (или любое другое издание).

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2003 (или любое другое издание).

3. Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.

Дополнительная литература

4. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики.-СПб.: Изд-во "Лань", 2002.

5. Данко Г.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упраж-нениях и задачах. – Высшая школа, 2001 (или любое другое издание).

6. Ниворожкина Л.И, Морозова З.А. Математическая статистика с элемен-тами теории вероятностей в задачах с решениями. Учебное пособие. – М.-Ростов-на-Дону, 2005.

7. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математи-ческой статистике. – М.: Айрес – пресс, 2004 (Высшее образование).

8. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. / Под ре-дакцией С.Н.Федина. - М.: Айрес – пресс, 2004 (Высшее образование).

10. Самарин В.И. Высшая математика. Методические указания и контроль-ные задания для студентов специальности 290500 «Городское. строитель-ство и хозяйство» Часть 4. Теория вероятностей и математическая

статистика. Сочи, 1995.

Средства обеспечения освоения дисциплины

1. Компьютерная программа " Statistika 5.5", 2004.

( Метод-ориентированный пакет).

74

Приложение 1

Таблица значений функции Гаусса   / 2 2

2

1 x x e 





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0

0,3989

3989 3989 3988 3986 3984 3882 3980 3977 3973

0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918

0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825

0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697

0,4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538

0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352

0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144

0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920

0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685

0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2568 2444

1,0

0,2420

2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203

1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965

1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736

1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518

1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315

1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127

1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957

1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804

1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669

1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551

2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449

2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363

2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290

2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229

2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180

2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139

2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107

2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081

2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061

2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046

3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034

3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025

3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018

3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013

3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009

3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006

3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004

3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003

3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002

3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001

Приложение 2

Таблица значений функции Лапласа    

x

x x e dz

0

/ 2 2

2

1

( )



x x) x x)  x x) x x)

0,00 0,0000 0,24 0,0948 0,48 0,1844 0,72 0,2642

0,01 0,0040 0,25 0,0987 0,49 0,1879 0,73 0,2673

0,02 0,0080 0,26 0,1026 0,50 0,1915 0,74 0,2703

0,03 0,0120 0,27 0,1064 0,51 0,1950 0,75 0,2734

0,04 0,0160 0,28 0,1103 0,52 0,1985 0,76 0,2764

0,05 0,0199 0,29 0,1141 0,53 0,2019 0,77 0,2794

0,06 0,0239 0,30 0,1179 0,54 0,2054 0,78 0,2823

0,07 0,0279 0,31 0,1217 0,55 0,2088 0,79 0,2852

0,08 0,0319 0,32 0,1255 0,56 0,2123 0,80 0,2881

0,09 0,0359 0,33 0,1293 0,57 0,2157 0,81 0,2910

0,10 0,0398 0,34 0,1331 0,58 0,2190 0,82 0,2939

0,11 0,0438 0,35 0,1368 0,59 0,2224 0,83 0,2967

0,12 0,0478 0,36 0,1406 0,60 0,2257 0,84 0,2995

0,13 0,0517 0,37 0,1443 0,61 0,2291 0,85 0,3023

0,14 0,0557 0,38 0,1480 0,62 0,2324 0,86 0,3051

0,15 0,0596 0,39 0,1517 0,63 0,2357 0,87 0,3078

0,16 0,0636 0,40 0,1554 0,64 0,2389 0,88 0,3106

0,17 0,0675 0,41 0,1591 0,65 0,2422 0,89 0,3133

0,18 0,0714 0,42 0,1628 0,66 0,2454 0,90 0,3159

0,19 0,0753 0,43 0,1664 0,67 0,2486 0,91 0,3186

0,20 0,0793 0,44 0,1700 0,68 0,2517 0,92 0,3212

0,21 0,0832 0,45 0,1736 0,69 0,2549 0,93 0,3238

0,22 0,0871 0,46 0,1772 0,70 0,2580 0,94 0,3264

0,23 0,0910 0,47 0,1808 0,71 0,2611 0,95 0,3289

0,96 0,3315 1,16 0,3770 1,36 0,4131 1,56 0,4406

0,97 0,3340 1,17 0,3790 1,37 0,4147 1,57 0,4418

0,98 0,3365 1,18 0,3810 1,38 0,4162 1,58 0,4429

0,99 0,3389 1,19 0,3830 1,39 0,4177 1,59 0,4441

1,00 0,3413 1,20 0,3849 1,40 0,4192 1,60 0,4452

1,01 0,3438 1,21 0,3869 1,41 0,4207 1,61 0,4463

1,02 0,3461 1,22 0,3883 1,42 0,4222 1,62 0,4474

1,03 0,3485 1,23 0,3907 1,43 0,4236 1,63 0,4484

1,04 0,3508 1,24 0,3925 1,44 0,4251 1,64 0,4495

1,05 0,3531 1,25 0,3944 1,45 0,4265 1,65 0,4505

1,06 0,3554 1,26 0,3962 1,46 0,4279 1,66 0,4515

1,07 0,3577 1,27 0,3980 1,47 0,4292 1,67 0,4525

1,08 0,3599 1,28 0,3997 1,48 0,4306 1,68 0,4535

1,09 0,3621 1,29 0,4015 1,49 0,4319 1,69 0,4545

1,10 0,3643 1,30 0,4032 1,50 0,4332 1,70 0,4554

1,11 0,3665 1,31 0,4049 1,51 0,4345 1,71 0,4564

1,12 0,3686 1,32 0,4066 1,52 0,4357 1,72 0,4573

1,13 0,3708 1,33 0,4082 1,53 0,4370 1,73 0,4582

1,14 0,3729 1,34 0,4099 1,54 0,4382 1,74 0,4591

1,15 0,3749 1,35 0,4115 1,55 0,4394 1,75 0,4599

76

Продолжение приложения 2

x

x)

x

x)



x

x)

x

x)

1,76

0,4608

1,97

0,4756

2,36

0,4909

2,78

0,4973

1,77

0,4616

1,98

0,4761

2,38

0,4913

2,80

0,4974

1,78

0,4625

1,99

0,4767

2,40

0,4918

2,82

0,4976

1,79

0,4633

2,00

0,4772

2,42

0,4922

2,84

0,4977

1,80

0,4641

2,02

0,4783

2,44

0,4927

2,86

0,4979

1,81

0,4649

2,04

0,4793

2,46

0,4931

2,88

0,4980

1,82

0,4656

2,06

0,4803

2,48

0,4934

2,90

0,4981

1,83

0,4664

2,08

0,4812

2,50

0,4938

2,92

0,4982

1,84

0,4671

2,10

0,4821

2,52

0,4941

2,94

0,4984

1,85

0,4678

2,12

0,4830

2,54

0,4945

2,96

0,4985

1,86

0,4686

2,14

0,4838

2,56

0,4948

2,98

0,4986

1,87

0,4693

2,16

0,4846

2,58

0,4951

3,00

0,49865

1,83

0,4699

2,18

0,4854

2,60

0,4953

3,20

0,49931

1,89

0,4706

2,20

0,4861

2,62

0,4956

3,40

0,49966

1,90

0,4713

2,22

0,4868

2,64

0,4959

3,60

0,499841

1,91

0,4719

2,24

0,4875

2,66

0,4961

3,80

0,499928

1,92

0,4726

2,26

0,4881

2,68

0,4963

4,00

0,499968

1,93

0,4732

2,28

0,4887

2,70

0,4965

4,50

0,499997

1,94

0,4738

2,30

0,4893

2,72

0,4967

5,00

0,499997

1,95

0,4744

2,32

0,4898

2,74

0,4969

1,96

0,4750

2,34

0,4904

2,76

0,4971

77

Приложение 3

Таблица значений коэффициентов Стьюдента t t( , n)  

n



n



0,95 0,99 0,999 0,95 0,99 0,999

5 2,78 4,60 8,61 20 2,093 2,861 3,883

6 2,57 4,03 6,86 25 2,064 2,797 3,745

7 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,659

8 2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 3,600

9 2,31 3,36 5,04 40 2,023 2,708 3,558

10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,527

11 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,502

12 2,20 3,11 4,44 60 2,001 2,662 3,464

13 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2,649 3,439

14 2,16 3,01 4,22 80 1,001 2,640 3,418

15 2,15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,403

16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,392

17 2,12 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,374

18 2,11 2,90 3,97  1,960 2,576 3,291

19 2,10 2,88 3,92

78

Приложение 4

Критические точки распределения   2  ;k

Число

степеней

свободы

k

Уровень значимости 

0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,89

1 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,00016

2 9,2 7,4 6,0 0,103 0,051 0,020

3 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115

4 13,3 11,1 9,5 0,711 0,484 0,297

5 15,1 12,8 11,1 1,15 0,831 0,554

6 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 0,872

7 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,24

8 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,65

9 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,09

10 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,56

11 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,05

12 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,57

13 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,11

14 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66

15 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,23

16 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81

17 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,41

18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01

19 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,63

20 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,26

21 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8,90

22 40,3 36,8 33,9 12,3 11,0 9,54

23 41,6 38,1 35,2 13,1 11,7 10,2

24 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,9

25 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,5

26 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12,2

27 47,0 43,2 40,1 16,2 14,6 12,9

28 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,6

29 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 14,3

30 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0

79

Приложение 5

Критические точки распределения Стьюдента

Число степеней свободы k

Уровень значимости  (двусторонняя критическая область)

0,10

0,05

0,02

0,01

0,002

0,001

1

6,31

12,7

31,82

63,7

318,3

637,0

2

2,92

4,30

6,97

9,92

22,33

31,6

3

2,35

3,18

4,54

5,84

10,22

12,9

4

2,13

2,78

3,75

4,60

7,17

8,61

5

2,01

2,57

3,37

4,03

5,89

6,86

6

1,94

2,45

3,14

3,71

5,21

5,96

7

1,89

2,36

3,00

3,50

4,79

5,40

8

1,86

2,31

2,90

3,36

4,50

5,04

9

1,83

2,26

2,82

3,25

4,30

4,78

10

1,81

2,23

2,76

3,17

4,14

4,59

11

1,80

2,20

2,72

3,11

4,03

4,44

12

1,78

2,18

2,68

3,05

3,93

4,32

13

1,77

2,16

2,65

3,01

3,85

4,22

14

1,76

2,14

2,62

2,98

3,79

4,14

15

1,75

2,13

2,60

2,95

3,73

4,07

16

1,75

2,12

2,58

2,92

3,69

4,01

17

1,74

2,11

2,57

2,90

3,65

3,96

18

1,73

2,10

2,55

2,88

3,61

3,92

19

1,73

2,09

2,54

2,86

3,58

3,88

20

1,73

2,09

2,53

2,85

3,55

3,85

21

1,72

2,08

2,52

2,83

3,53

3,82

22

1,72

2,07

2,51

2,82

3,51

3,79

23

1,71

2,07

2,50

2,81

3,49

3,77

24

1,71

2,06

2,49

2,80

3,47

3,74

25

1,71

2,06

2,49

2,79

3,45

3,72

26

1,71

2,06

2,48

2,78

3,44

3,71

27

1,71

2,05

2,47

2,77

3,42

3,69

28

1,70

2,05

2,46

2,76

3,40

3,66

29

1,70

2,05

2,46

2,76

3,40

3,66

30

1,70

2,04

2,46

2,75

3,39

3,65

40

1,68

2,02

2,42

2,70

3,31

3,55

60

1,67

2,00

2,39

2,66

3,23

3,46

120

1,66

1,98

2,36

2,62

3,17

3,37



1,64

1,96

2,33

2,58

3,09

3,29

0,05

0,025

0,01

0,005

0,001

0,0005

Уровень значимости  (односторонняя критическая область)