2 Практические по Метрологии

ПОЛНОЕ ЗАДАНИЕ В ДЕМО ФАЙЛЕ,

ЧАСТЬ ДЛЯ ПОИСКА ДУБЛИРУЮ НИЖЕ

1

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 6

Обработка результатов косвенных измерений

Косвенное измерение – это измерение, при котором искомое значение вели-

чины находят на основании известной зависимости между этой величиной и ве-

личинами, подвергаемыми прямому измерению. Например, нахождение плотно-

сти однородного тела по его массе, вычисление скорости равномерного движения

по прямым измерениям длины пройденного пути и соответствующего промежут-

ка времени и т. п.

В общем случае зависимость, связывающую измеряемую величину и вели-

чины, подвергаемые прямым измерениям, можно представить в виде

Y=f(Х1, Х2, … , Хn), (19)

где Хj – различные физические величины, которые получены экспериментатором

путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точ-

ностью. В формуле они являются аргументами функции.

В практике измерений широко используют три способа расчета погрешности

косвенных измерений. Первый и второй способ дают практически одинаковый ре-

зультат.

Способ 1. Сначала находится абсолютная , а затем относительная  по-

грешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые

содержат суммы и разности аргументов.

Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных изме-

рениях физической величины Y для произвольного вида f функции имеет вид:

1 2

2 2 2

2 2 2

1 2

,

X X X Xn

n

f f f

X X X

        

             

        

(20)

где j  f X  частные производные функции Y=f(Х1, Х2, … , Хn) по аргументу Хj,

X j   общая погрешность прямых измерений величины Хj.

2

Примечание: При возникновении затруднений с вычислением частных про-

изводных можно воспользоваться онлайн калькулятором.

Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти

среднее значение величины Y. Для этого в уравнение измерения (19) надо подста-

вить средние арифметические значения величин Xj.

То есть среднее значение величины Y равно: ( , ,.... ) Y  f X1 X2 X n . Теперь

легко найти относительную погрешность: Y X X    / .

Пример 1. Найти погрешность измерения объёма V цилиндра. Высоту h и

диаметр D цилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём

пусть количество измерений n=10.

Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет

вид:

2 1

( , , ) .

4

V  f D h    D h

Пусть 25,3 мм, 0, 2 мм, h h    при Р=0,68;

1,54 мм, 0,15 мм, D D    при Р=0,68.

3,14 0,005      – погрешность округления числа 

Тогда, подставляя в формулу (20) средние значения, найдём:

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

6

3

( ) ( ) ( )

2

( ) ( ) ( )

4 4 4

3746 0,0225 3,47 0,04 225 25 10

84,3 0,139 0,006 9,18 мм .

V D h

D h

f f f

D h

Dh D D h







 



  

          

  

         

       

   

Погрешность V в данном примере зависит, как видно, в основном от по-

грешности измерения диаметра.

Средний объём V равен:

1

47,3 мм

4

V   D h  , относительная погреш-

ность V равна:

3

9,18 мм

0,19

47,1мм

V

V V





   , или V=19 %.

Окончательный результат после округления:

V=(479) мм3, V=19%, Р=0,68.

Способ 2. Этот способ определения погрешности косвенных измерений от-

личается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому

его чаще используют.

В начале находят относительную погрешность , и только затем абсолютную

. Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только про-

изведения и отношения аргументов.

Порядок действий можно рассмотреть на том же конкретном примере - опре-

деление погрешности при измерении объёма цилиндра

V   D  h 2

4

1

 .

Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же,

что и при расчетах по способу 1.

Пусть 25,3 мм, 0, 2 мм, h h    при Р=0,68;

1,54 мм, 0,15 мм, D D    при Р=0,68.

3,14 0,005      – погрешность округления числа 

При использовании способа 2 следует действовать так:

1) прологарифмировать уравнение измерения (берём натуральный логарифм)

1 2

ln ln( ) ln 2 ln ln ln4

4

V  D  h     D h  .

Найти дифференциалы от левой и правой частей, считая  ,D,h независи-

мыми переменными,

h

dh

D

d dD

V

dV

  2 





;

2) заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность

4

этой же величины, а знаки “минус”, если же они есть перед погрешностями на

“плюс”:

V D h

V D h 













2



 ;

3) казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для от-

носительной погрешности V /V , однако это не так. Требуется так оценить по-

грешность, чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверитель-

ными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой ча-

сти формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены послед-

ней формулы возвести в квадрат, а затем извлечь корень квадратный из обеих ча-

стей уравнения:

2 2 2 ( ) (2 ) ( )

V D h

V D h 















 .

Или в других обозначениях относительная погрешность объёма равна:

2 2 2 (2 ) V D h          ,

причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероят-

ностью оценки погрешностей входящих в подкоренное выражение членов:

V D h P  P  P

Сделав вычисления, убедимся, что результат совпадает с оценкой по

способу 1:

2,5 10 3,8 10 6,2 10 0,19 6 2 5       

   

ср

V

V

Теперь, зная относительную погрешность, находим абсолютную:

V=0,19 · 47=9,4 мм3, P=0,68.

Окончательный результат после округления:

V = (47 ± 9) мм3, V = 19 %, P=0,68.

Способ 3. Для проведения большинства технических расчетов достаточно

применения зависимостей, приведенных в таблице 3.

5

Та б л и ц а 3 – Соотношения для расчета погрешностей косвенных измерений для

простейших функций

Вид функции Абсолютная погрешность Относительная погрешность

x  a b x  a b

a b

a b

x

x



  





x  a b x  a b  b a

b

b

a

a

x

x 









b

a

x  2 b

a b b a

x

  

 

b

b

a

a

x

x 









k x  a x k a a k    1

a

a

k

x

x 





k x  a 1



  k k a

a

x

a

a

x k

x 



 1

x  sin x  cos    



ctg

x

x

x  cos x  sin    



tg

x

x

x tg





2 cos



x 





cos2

2





x

x

x  ctg





2 sin



x 





sin 2

2





x

x

Пример 2. Определите результат косвенных измерений, если известно сле-

дующее: абсолютные погрешности измерений ΔA = 0,55, ΔB = 0,3, ΔC = 0,2; сред-

неарифметические значения измеряемых величин A = 10,3; B = 17; C = 8,5.

Искомая величина определяется по формуле Y = (A + B)/C.

Решение. Относительная погрешность для действия сложения равна

0,55 0,3

0,311.

10,3 17 AB



  



Относительная погрешность для действия деления имеет вид

6

0,311 0,2

0,035.

10,3 17 8,5 Y    



Приближенное значение результата измерений равно

10,3 1 7

3,212.

8,5

Y



 

Абсолютная погрешность косвенных измерений равна

ΔY = 0,035 · 3,212 = 0,112.

Окончательный результат после округления:

Y = 3,21 ± 0,11.

Задание 1. Перемещение объекта L при прямолинейном равноускоренном

движении определяется по формуле:

2

L  v0t  at / 2

Получить результат косвенного измерения перемещения по способу 1, если:

0 v  (12 1) м/с,

2 a  (2,5  0,2) м/с , t  (30  2) c при доверительной вероят-

ности P=0,95.

Подсказка

Задание 2. Результаты измерения диаметра диска составляют: 42,4; 42,6; 42,8;

42,7; 41,9; 41,8; 42 мм. Чему равна площадь диска? Ответ записать в стандартной

форме с учетом правил оформления абсолютной и относительной погрешностей.

_

1

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 7

Обработка результатов неравноточных измерений

Неравноточные измерения – ряд измерений какой-либо величины, выпол-

ненных разными по точности средствами измерений и (или) в разных условиях.

Для неравноточных измерений характерно 1 2 3... ... .... , i n S  S  S  S  S где Si – сред-

неквадратичное отклонение отдельных наблюдений в серии. За результат измере-

ния принимается среднее взвешенное значение (кратко – среднее взвешенное) –

среднее значение величины, полученное на основании ряда неравноточных изме-

рений с учётом весов отдельных наблюдений, принятых в обработку. Вес измере-

ний – это вклад каждого отдельного наблюдения в результат измерения. В каче-

стве весов ряда неравноточных измерений ωi принимают:

1) Числа, обратно пропорциональные квадратам их среднеквадратических

отклонений Si, т. е. дисперсиям Si

2 2

1

i

i

S

  ;

2) Нередко веса принимают пропорциональными числам повторных измере-

ний в сериях, входящих в ряд измерений.

При обработке ряда неравноточных измерений удобно пользоваться весами в

виде небольших чисел. С этой целью наблюдению с большей погрешностью при-

писывают вес, равный единице (ω=1), а остальные веса находят по отношению к

нему, или сумму всех весов приравнивают к единице. 1

i   , а отдельные веса

ранжируют. Обработка прямых неравноточных многократных измерений произ-

водится в следующей последовательности.

1. Определяются веса отдельных наблюдений ωi по одному из трёх вариан-

тов, приведённых выше.

2. Среднее взвешенное значение (среднее весовое) определяется по формуле

1

1

n

i i

i

n

i

i

X

X 



 









(15),

где xi – значение наблюдений, полученное из i-го измерения, входящего в ряд

2

неравноточных измерений;

ωi – вес i-го измерения.

3. Вводится поправка в среднее взвешенное значение с обратным знаком (ес-

ли известна постоянная систематическая погрешность).

4. Определяется среднеквадратическое отклонение среднего взвешенного

значения

 2

1

1

( 1)

n

i i

i

n

i

i

x x

n

S 



  

 

  

   

 

 







(16)

5. Находится доверительная погрешность Δ (абсолютная погрешность) при

заданной доверительной вероятности Р (доверительный интервал равен 2Δ)

p p   t  s (17)

6. Результат измерений может быть записан как x  ,P

Пример 1. На основании измерений (с разным числом приёмов) одного и того

же плоского угла α у углового эталона 4 разряда в разное время (измерение про-

изводилось с использованием гониометра) получены следующие значения, приве-

дённые в таблице 2

Та б ли ц а 2

αi Число приёмов Вес ωi

0 ' '' 13 1810 3 1

0 ' '' 13 18 08 6 2

0 ' '' 13 18 06 9 3

0 ' '' 13 18 04 12 4

0 ' '' 13 18 00 15 5

Определить результат измерений и его доверительные границы при вероят-

ности Р=0,98.

Решение.

3

1. Вычисляем среднее взвешенное значение угла

5

1

5

1

0 ' '' 13 1804

n

i i

i

n

i

i









 







  



2. Определяем среднеквадратическое отклонение среднего взвешенного зна-

чения (для облегчения расчётов оперируем секундами)

 

 

2

2 2 2 2 2

1

1

1(10 4) 2(8 4) 3(6 4) 4(4 4) 5(0 4) ''

(5 1) 1 2 3 4 5

( 1)

2,66 1,63

n

i i

i

n

i

i

n

S 



   

          

       

   

 

 



   



3. Находим доверительную погрешность Δ при доверительной вероятности

Р=0,98 p t s    при Р=0,98 и n=5 коэффициент Стьюдента  3,75 p t

'' ''   3,751,63  6

4. Результат измерения запишется как ' '' ''  13 1804  06 , Р=0,98

5. Доверительные границы 0 ' '' ' '' 13 17 58   13 1810 при Р=0,98

6. Относительная погрешность

=

'' ''

0 ' '' '

6 6

13 18 04 47884

100% 100% 0,013%

Пример 2. Произведено измерение одной и той же длины L тремя различны-

ми способами различной точности: микрометром с погрешностью 0,01 мм, штан-

генциркулем с нониусом до 1/50 мм (0,02 мм), штангенциркулем с нониусом до

1/10 мм (0,1 мм) и получены следующие результаты: 15,69 мм – микрометром;

15,66 мм – штангенциркулем до 1/50 мм; 15,70 мм – штангенциркулем до 1/10 мм.

Пользуясь понятием среднего взвешенного, запишите окончательный резуль-

тат измерений.

Решение. Критерием для установления весов в данном случае будет погреш-

ность применяемых приборов. Самому малоточному прибору – штангенциркулю

(1/10), имеющему погрешность 0,1 мм, приписываем вес, равный единице. Вто-

рому измерению (1/50) придаем вес, равный пяти, как имеющему погрешность в

  100%

X



4

5 раз меньшую, а первому результату, полученному с использованием вдвое более

точного прибора, приписываем вес, равный 10. Для получения достоверного

окончательного результата необходимо умножить каждый результат измерения на

его вес, взять сумму полученных произведений и разделить на сумму весов:

15,7 1 15,66 5 15,69 10 250,90

15,68

1 5 10 16

x

    

  

 

мм

т. е. L = 15,68 мм.

Пример 3. Проведены три группы измерений сопротивления одной и той же

образцовой катушки и получены следующие результаты, Ом:

1 x = 100,145 ± 0,005; 2 x =100,115 ± 0,20; 3 x = 100,165 ± 0,010.

Путем дальнейшей обработки результатов найдите погрешность среднего

взвешенного.

Решение. Результаты измерений для каждой группы записаны в виде средних

значений и ± вероятных погрешностей результатов измерений в каждой из этих

групп. В этом случае отношения весов обратно пропорциональны отношению

квадратов вероятных погрешностей – средних квадратических отклонений (S0),

т. е.:

ω1 : ω2 : ω3 = 2 2 2 (0,0150)

1

:

(0,020)

1

:

(0,005)

1

= 40 000 : 2500 : 10 000 = 16 : 1 : 4.

В соответствии с полученным отношением, принимаем ω1 = 16; ω2 = 1; ω3 =4.

Среднее взвешенное

100,145 16 100,115 100,165 4

100,147

16 1 4

x

   

 

 

Ом.

Для определения вероятной погрешности среднего взвешенного пользуются

формулой

  2

1

1

( 1)

0,675

n

i i

i

n

i

i

x x

x

n n

S 



  

 







(18)

5

Для нашего случая разности vi  xi  x :

v1 = 100,115 – 100,147 = – 0,002 Ом;

v2= 100,115 – 100,147 = 0,032 Ом;

v3 = – 100,165 – 100,147=0,018 Ом;

п = 3.

Тогда

2 2 2 (16 0,002) (1 0,032) (4 0,018)

0,675 0,005

x 3 2 21

R

    

 

 

Ом.

Получаем возможность записать окончательный результат:

x = (100,147 ± 0,005) Ом.

Задание.

Проведены пять групп измерений массы одной и той же гири и получены

следующие результаты, г:

1 x = 50,015 ± 0,020;

2 x = 50,021 ± 0,005;

3 x = 50,01 ± 0,04;

4 x = 50,012 ± 0,008;

5 x = 50,011 ± 0,010.

Путем дальнейшей обработки результатов найдите погрешность среднего

взвешенного.