Вычисление определенного интеграла

Пусть дан подграфик функции $f(x)$ на участке $[a; b]$:

Разобьем отрезок $[а; b]$ точками $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_{n-1}$ на $n$ равных отрезков: $[а; x_1]$, $[x_1; x_2]$, $[x_2; x_3], ...[ x_{n-1}; b]$.

Построим на первом из этих отрезков прямоугольник с высотой $f(x_1)$, на втором - прямоугольник высоты $f(x_2)$… на n-ном - прямоугольник с высотой $f(b)$. В результате получим восходящий многоугольник, составленный из n прямоугольников. Пусть основание каждого из построенных прямоугольников равно $Δx$ тогда площадь всего ступенчатого многоугольника составит:

${{S}_{n}}=\Delta x\cdot f({{x}_{1}})+\Delta x\cdot f({{x}_{2}})+...+\Delta x\cdot f(b)$

Суммы такого вида называют интегральными суммами. Полученную интегральную сумму можно считать приближенным значением площади $S$ подграфика функции $f(x)$ на $[a; b]$. При этом если $n → ∞$, то $S_n→S$.

Не только задача о нахождении площади подграфика, но и многие другие важные прикладные задачи приводят к вычислению границ подобных интегральных сумм. Поэтому для этого понятия введено специальное название и обозначение.

Границу интегральной суммы $\Delta x\cdot f({{x}_{1}})+\Delta x\cdot f({{x}_{2}})+...+\Delta x\cdot f({{x}_{n}}),$ если $n → ∞$, называют определенным интегралом функции $f(x)$ от $a$ до $b$.

Его обозначают символом $\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx$ (читают: (определенный) интеграл от $a$ до $b$ эф от икс дэ икс). Здесь числа от $a$ до $b$ – пределы (границы) интегрирования, $∫$ – знак интеграла, $f(x)$ – подынтегральная функция, $x$ – переменная интегрирования.
Из всего сказанного следует, что площадь подграфика функции $f(x)$ на $[a; b]$ равна $\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx$.

Главная теорема интегрального исчисления

Если у функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ существует первоначальная $F(x)$, то
$I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx=F(b)-F(a)$

Это формула Ньютона-Лейбница, основная формула интегрального исчисления в математическом анализе.

Она дает возможность решать многие важные задачи не вычислением границ интегральных сумм, что достаточно трудно, а с помощью первоначальной.

Свойства определенных интегралов

Рационализировать вычисления интеграла часто помогает знание об их свойствах.
При формулировке определения определенного интеграла мы считали, что $a < b$. Удобно расширить понятие определенного интеграла, и для случая $a > b$ принять по определению, что

$\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx=-\int\limits_{b}^{a}{f(x)}dx$

Для случая $a = b$ также по определению будем считать, что

$\int\limits_{a}^{a}{f(x)}dx=0$]

Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в данных формулах дает такой же результат. Действительно, если функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, то

$\int\limits_{a}^{a}{f(x)}dx=\left. F(x) \right|_{a}^{a}=F(a)-F(a)$

Также

$\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))=-\int\limits_{b}^{a}{f(x)}dx$

С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов:

• Если $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, то для функции $kf(x)$ первоначальной будет функция $kF(х)$. Тогда

$\int\limits_{a}^{b}{kf(x)}dx=k\left. F(x) \right|_{a}^{b}=kF(b)-kF(a)=k(F(b)-F(a))=k\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx$

Таким образом,

$\int\limits_{a}^{b}{k\cdot f(x)}dx=k\cdot \int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx$

• Если $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, a $G(х)$ - первоначальной для функции $g(x)$, то для функции $f(x) + g(x)$ первоначальной будет функция $F(x) + G (х)$.

Tогда

$\int\limits_{a}^{b}{(f(x)}+g(x))dx=(\left. F(x)+G(x)) \right|_{a}^{b}=(F(b)+G(b))-(F(a)+G(a))=(F(b)-F(a))+(G(b)-G(a))=\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx+\int\limits_{a}^{b}{g(x)}dx$

Таким образом $\int\limits_{a}^{b}{(f(x)}+g(x))d=\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx+\int\limits_{a}^{b}{g(x)}dx$

• Если $F(x)$ является первообразной для функции $f(х)$ и $с$ на отрезке $[a; b]$, то

$\int\limits_{a}^{c}{(f(x)})dx+\int\limits_{c}^{b}{(f(x)})dx=\left. F(x) \right|_{a}^{c}+\left. F(x) \right|_{c}^{b}=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)=F(b)-F(a)=\int\limits_{a}^{b}{(f(x)})dx$

Итак, если функция $f (x)$ интегрирована на отрезке $[a; b]$ и $с ∈ [a; b]$, то

$\int\limits_{a}^{b}{(f(x)})dx=\int\limits_{a}^{c}{(f(x)})dx+\int\limits_{c}^{b}{(f(x)})dx$

Пример 1

Вычислить $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}dx$.

Поскольку для функции $f(x)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ мы знаем первообразную – это $F(х) = tgх$, то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-Лейбница $I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx=F(b)-F(a)$.

Решение

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}}=\left. tgx \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=tg\frac{\pi }{4}-tg0=1-0=1$

Ответ: 1.

Пример 2

Вычислите $\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{4}{x}-x \right)}dx$

Решение
Возможны два пути вычисления заданного интеграла.

1. Сначала найти первообразную для функции, используя правила исчисления первообразных и таблицу первобытных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

2. Использовать правило ($\int\limits_{a}^{b}{(f(x)}+g(x))d=\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx+\int\limits_{a}^{b}{g(x)}dx$ и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в примере 1.

1 способ
Для функции $f(x) = (4/x - x)$ одной из первообразных является $F(х) = 4ln|х| - x2/2$. Тогда

$\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{4}{x}-x \right)}dx=\left. \left( 4\ln \left| x \right|-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{1}^{3}=(4\ln \left| 3 \right|-\frac{{{3}^{2}}}{2})-(4\ln \left| 1 \right|-\frac{{{1}^{2}}}{2})=4\ln 3-4$

2 способ

$\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{4}{x}-x \right)}dx=\int\limits_{1}^{3}{\frac{4}{x}}dx-\int\limits_{1}^{3}{x}dx=\left. 4\ln \left| x \right| \right|_{1}^{3}-\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{1}^{3}=4(\ln \left| 3 \right|-\ln \left| 1 \right|)-(\frac{{{3}^{2}}}{2}-\frac{{{1}^{2}}}{2})=4\ln 3-4$

Ответ: $4ln(3) - 4.$

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме “Вычисление определенного интеграла”