Олимпиадные задачи по математике для школьников /Росдистант/ Практические задания [Вариант 3, О-Я]

Олимпиадные задачи по математике для школьников /Росдистант/ Практические задания [Вариант 3, О-Я]

Задание.

Решите предложенные задачи своего варианта: если фамилия начинается на буквы от А до З включительно, то вариант № 1; от И –до П включительно, то вариант № 2; от О – до Я включительно, то вариант №3.

Вариант 1

1.    Вера и Аня посещают математический кружок, в котором больше 91% мальчиков. Может ли в кружке быть меньше, чем 21 мальчик?

2.    За несколько одинаковых книг заплатили 104 рубля. Сколько стоит одна книга, если их куплено больше 10, но меньше 60 и цена одной книги выражается натуральным числом?

3.    Упростите выражение  (1+2005)(1+ 20052) (1+20054)(1+20058)(1+200516 и затем определите, какое число ( положительное или отрицательное) получится в ответе).

4.    Отряд конников двигался прямоугольной колонной по 4 человека в каждом ряду. На узком мосту им пришлось перестроиться в прямоугольную колонну по трое, при этом количество рядов увеличилось на 4. Сколько всадников было в отряде?

5.    Имеется 5 палочек длиной по 1 см, 8 палочек –по 2,5 см, 1 палочка по 3 см. Можно ли из всех палочек сложить прямоугольник, длины которых выражены целыми числами? Сколько различных прямоугольников можно сложить? Площадь какого прямоугольника будет наибольшей?

Вариант 2

1.    Сколько  четырехзначных чисел, составленных из цифр числа 2005 , в каждом из которых могут повторяться только две одинаковые цифры, делится на 2; 3; 4; 5

2.    В корзине лежит меньше 100 яблок. Их можно разделить поровну между 2,3 или 5 детьми, но нельзя разделить поровну между 4 детьми. Сколько яблок в корзине?

3.    Найти сумму   

4.    Если Аня идет в школу пешком, но обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она затрачивает полтора часа. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь занимает у нее всего 30 минут. Сколько времени она тратит на дорогу, если и в школу, и из школы она пойдет пешком?

5.    Имеется пять одинаковых по виду монет, одна из них фальшивая (неизвестно какая). Определите ее за наименьшее число взвешиваний с помощью чашечных весов без гирь   

Вариант 3

1.    Из 22 спичек сложите прямоугольник наибольшей площади. Покажите как это можно сделать.

2.    Имеется 3 сосуда вместимостью 6, 3 и 7 литров соответственно. В первом сосуде 4 л., а в третьем – 6 л. молока. Используя эти три сосуда, необходимо разлить молоко поровну в два сосуда.

3.    Задача Л.Н. Толстого. Косцы нанялись выкосить два луга. Начав с утра косить больший луг, они после полудня разделились: одна половина осталась на первом и к вечеру его докосила, а другая перешла косить на второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько косцов было, если известно. что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?

4.    Разделить а128 – в128 на ( а+в)(а2+в2)(а4+в4)(а8+в8) (а16+в16)(а64+в64)

5.    Сестра старше брата на столько лет, сколько месяцев брату. Во сколько раз сестра старше брата? 

Указания: 1) необходимо скопировать условия задач своего варианта;

2) решения можно оформить от руки, аккуратно, четко прописывая цифры, буквы и само решение.

3) обязательно указывать ответ в конце решения к каждой задаче.

Практическое задание 2

Задание.

1.    Разработайте вариант для школьной математической олимпиады для 7-8 классов (не менее 5 задач). Представьте решения.

2.    Разработайте вариант для школьной математической олимпиады для 9-10 классов (не менее 5 задач).   Представьте решения.

Рекомендации по выполнению задания

Указания: 1) необходимо указать к каждой задаче список используемых источников в квадратных скобках;

Пример: Сестра старше брата на столько лет, сколько месяцев брату. Во сколько раз сестра старше брата [3]? 

2) текст олимпиады должен быть набран на компьютере, все формулы набраны в математическом редакторе формул;

3) решения можно оформить от руки, аккуратно, четко прописывая цифры, буквы и само решение.

4) обязательно указывать ответ;

5) указать в алфавитном порядке список используемых источников со всеми выходными данными. В случае Интернет-источников, указать ссылку на сайт.

Практическое задание 3

Задание.

Решите предложенные задачи своего варианта: если фамилия начинается на буквы от А до З включительно, то вариант № 1; от И –до П включительно, то вариант № 2; от О – до Я включительно, то вариант №3.

Вариант 1.

Задача 1. Жила-была одна дружная семья: мама, папа и сын. Они все любили делать вместе. Но вот мультфильмы любили разные: «Ну, погоди!», «Покемоны», «Том и Джерри». Определите, какой мультфильм любит каждый из них, если мама, папа и любитель мультфильма «Покемоны» никогда не унывают, а папа и любитель мультфильма «Том и Джерри» делают зарядку по утрам? 

Задача 2. У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2, ...... , 55 кг. Они по очереди подкладывают свои гири каждый на свою чашу двухчашечных весов, причем первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг.

Сможет ли он этого добиться?

Задача 3. Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Задача 4. На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

Кто выиграет при правильной игре?

Задача 5. Решите неравенство

Задача 6. В клубе «Отдых» познакомились 3 любителя клубной музыки видов техно, хаус, рейв. Один говорит: «Вы какую музыку больше любите? Я техно люблю!». Другой ответил, что любит хаус, а третий сказал, что не любит ни техно, ни хаус, но зато обожает рейв. Интересно то, что все они были в банданах и рубашках черного, белого и желтого цветов, но цвет банданы и рубашки совпадал только у любителя техно. А у любителя хаус ни рубашка, ни бандана не были белыми. А любитель рейв был в желтой рубашке. Определите цвет рубашек и бандан каждого из любителей клубной музыки.

Вариант 2.

Задача 1. Школьник написал домашнее сочинение на тему «Как я провел лето». Два его товарища из соседней школы решили не утруждать себя работой и переписали его сочинение. Но при переписывании они сделали несколько ошибок – каждый свои. Прежде чем сдать работы, оба школьника дали переписать сочинения четырем другим своим товарищам (каждый дал двум знакомым). Эти четыре школьника делают то же самое и т.д. При каждом переписывании сохраняются все предыдущие ошибки и, возможно, делаются новые. Известно, что в какой-то день в каждом новом сочинении оказалось не менее 10 ошибок. Докажите, что был такой день, когда в сумме было допущено не менее 11 новых ошибок.

Задача 2. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся «Пепси», «Кока-кола», квас и «Спрайт». Известно, что «Спрайт» и «Пепси» не в бутылке, сосуд с «Кока-колой» находится между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не «Кока-кола» и не «Спрайт». Стакан находится около банки и сосуда с «Пепси». Как распределены эти жидкости по сосудам?

Задача 3. Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 ..... 998 999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

Задача 4. Вершины тысячеугольника занумерованы от 1 до 1000.Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1,16,31 и т.д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останутся неотмеченными?

Задача 5. Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

Задача 6. Жили-были на свете три поросёнка, три брата: Ниф-Ниф, Наф-Наф, Нуф-Нуф. Построили они три домика: соломенный, деревянный и кирпичный. Все три брата выращивали возле своих домиков цветы: розы, ромашки и тюльпаны. Известно, что Ниф-Ниф живет не в соломенном домике, а Наф-Наф – не в деревянном; возле соломенного домика растут не розы, а тот, у кого деревянный домик, выращивает ромашки. У Наф-Наф аллергия на тюльпаны, поэтому он не выращивает их. Узнайте, кто в каком домике живет и какие цветы выращивает.

Вариант 3

Задача 1. В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек. За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую. За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?

Задача 2.  В компьютерном классе на уроке информатики, во время отсутствия учителя, пять ребят – Максим, Настя, Саша, Рома, Сережа – отвлеклись от нужной работы и стали играть в такие игры: пасьянс «Паук», гонки, сапер, «Марио», тетрис. Каждый из них играл только в одну игру. 1. Саша думал, что в «Марио» играет Настя. 2. Настя предполагала, что Рома играет в тетрис, а Максим – в гонки. 3. Рома считал, что Сережа играет в гонки, а Саша – в сапера. 4. Максим думал, что Настя раскладывает пасьянс «Паук», а в «Марио» играет Рома. В результате оказалось, что все они ошиблись в своих предположениях. Кто и во что играл?

 Задача 3. Докажите, что число 1991 · 1993 · 1995 · 1997 + 16 является квадратом натурального числа.

Задача 4. В конкурсе участвовали 5 человек. На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные — правильный. Число правильных ответов у Пети равно 10 — меньше, чем у любого другого. Число правильных ответов у Васи равно 13 — больше, чем у любого другого. Сколько всего вопросов было в конкурсе?

Задача 5. Атос, Портос, Арамис и Д’Артаньян – четыре талантливых молодых мушкетёра. Один из них лучше всех сражается на шпагах, другой не имеет равных в рукопашном бою, третий лучше всех танцует на балах, четвертый без промаха стреляет с пистолетов. О них известно следующее: 1. Атос и Арамис наблюдали на балу за их другом – прекрасным танцором. 2. Портос и лучший стрелок вчера с восхищением следили за боем рукопашника. 3. Стрелок хочет пригласить в гости Атоса. 4. Портос был очень большой комплекции, поэтому танцы были не его стихией. Кто чем занимается?

 Задача 6.  В стране Мульти-пульти выпущены в обращение банкноты в 43 сантика. Малыш и Карлсон, имея только такие банкноты, зашли в кафе. Карлсон заказал 5 стаканов газировки и 16 пирожков и заплатил за них без сдачи. Малыш заказал 3 стакана газировки и 1 пирожок. Докажите, что сколько бы ни стоили газировка и пирожки, Малыш тоже может расплатиться без сдачи (все цены в стране Мульти-Пульти - целые числа).

Указания: 1) необходимо скопировать условия задач своего варианта;

2) решения можно оформить от руки, аккуратно, четко прописывая цифры, буквы и само решение.

3) обязательно указывать ответ в конце решения к каждой задаче.

Практическое задание 4

Задание.

Решите предложенные задачи своего варианта: если фамилия начинается на буквы от А до М включительно, то вариант № 1; от Н–до Я  включительно, то вариант № 2.

Вариант 1.

1.    Докажите, что по крайней мере одно из трех чисел m+n, m-n или mn, где m и n - натуральные числа, кратно трем.

2.   Решите уравнение : +  =

3.  Дано S =  -  Вычислите S2  и S3 и   выразите в виде рационального числа.

4.    На столе лежат три одинаковых ящика. В одном из них 2 белых шара, в другом - белый и черный, в, а в третьем - 2 черных. Аналогичные надписи сделаны на крышках ящиков, но ни одна из них не соответствует действительности. Как, вынув только один шар, определить, в каком ящике лежат какие шары?

5.    Стороны параллелограмма относятся как m:n, а его диагонали как  p: q. Найдите углы параллелограмма.

Вариант 2.

1.   Докажите, что при четном n число +     -целое.

2.  Вычислите 

3.    Найдите значение: 12 − 22  +32 − 42 + …. +9992  −10002   

4.    Доказать, что если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

5.    Выразить угол треугольника, в котором известны две стороны а и в и биссектриса угла, равная l, образованная этими сторонами

Указания: 1) необходимо скопировать условия задач своего варианта;

2) решения можно оформить от руки, аккуратно, четко прописывая цифры, буквы и само решение.

3) обязательно указывать ответ в конце решения к каждой задаче.