ВАРИАНт 17. Контрольная Сопротивление материалов

ВАРИАНТ 17

_

ПОЛНОЕ ЗАДАНИЕ В ДЕМО ФАЙЛЕ,

ЧАСТЬ ДЛЯ ПОИСКА ДУБЛИРУЮ НИЖЕ

0

А. Н. САВКИН, В. И. ВОДОПЬЯНОВ,

О. В. КОНДРАТЬЕВ, А. А. СЕДОВ

ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ

НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ

ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

КОНСТРУКЦИЙ

Т

ℓт

F ℓ

Условие прочности

τ   τ

Wp

T

Условие жесткости

φ т  φ







G I p

T 

Внутреннее

усилие

T  F  

1

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А. Н. САВКИН, В. И. ВОДОПЬЯНОВ,

О. В. КОНДРАТЬЕВ, А. А. СЕДОВ

ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ НА ПРОЧНОСТЬ

И ЖЕСТКОСТЬ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

КОНСТРУКЦИЙ

Учебное пособие

Волгоград 2019

2

УДК 539. 3(075)

Рецензенты:

кафедра «Механика»

Волгоградского государственного аграрного университета,

зав. кафедрой канд. техн. наук Н. С. Воробьева;

профессор кафедры «Информационные системы и технологии»

Волгоградского государственного аграрного университета

д-р техн. наук Е. П. Богданов;

профессор кафедры алгебры, геометрии и математического анализа

Волгоградского государственного социально педагогического университета

д-р техн. наук Б. А. Жуков

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Савкин, А. Н.

Основы расчетов на прочность и жесткость ти-

повых элементов конструкций: учеб- метод. пособие /

А. Н. Савкин, В. И. Водопьянов, О. В. Кондратьев, А. А. Седов;

ВолгГТУ. – Волгоград, 2019. – 252 с.

ISBN 978-5-9948-3318-6

Содержит основной теоретический материал применительно к типовым

расчетным схемам и примеры практической реализации теоретических поло-

жений. Составлены контрольные задания, позволяющие студентам приобрести

навыки первых самостоятельных расчетов на прочность и жесткость элементов

конструкций.

Предназначено для студентов дневной, очно-заочной, заочной и дистан-

ционной форм обучения.

Ил. 190. Табл. 22. Библиогр.: 5 назв.

ISBN 978-5-9948-3318-6

© Волгоградский государственный

технический университет, 2019

© А. Н. Савкин, В. И. Водопьянов,

О. В. Кондратьев, А. А. Седов, 2019

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КУРСА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1. Общие определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Гипотезы и допущения, принятые в сопротивлении материалов . . . 8

1.3. Типы схематизаций, используемые в сопротивлении материалов . . . 11

1.4. Внутренние усилия. Метод сечений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5. Понятие о напряжениях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6. Виды деформаций и деформирования . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1. Внутренние усилия, напряжения, деформации . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Связь напряжений и деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Механические характеристики конструкционных материалов . . . 23

2.4. Расчеты на прочность при растяжении . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5. Расчеты на жесткость при растяжении . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ . . . . . . . . . . . 37

3.1. Понятие о напряженном состоянии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Линейное напряженное состояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Плоское напряженное состояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4. Свойства нормальных и касательных напряжений . . . . . . . . . . . 42

3.5. Графическое определение напряжений на наклонных площадках.

Круг Мора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6. Графическое определение главных напряжений . . . . . . . . . . . 45

3.7. Объемное напряженное состояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.8. Деформированное состояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.9. Обобщенный закон Гука для изотропного тела . . . . . . . . . . . . 50

3.10. Изменение объема тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.11. Примеры различных видов напряженного состояния . . . . . . . . . 52

3.12. Понятия о теориях прочности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4. СДВИГ, СМЯТИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ 69

5.1. Внутренние усилия при кручении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2. Напряжения при кручении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3. Расчет на прочность при кручении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4. Деформация вала при кручении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5. Расчет валов на жесткость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4

5.6. Понятие о кручении валов некруглого поперечного сечения . . . . 79

6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ

СЕЧЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.1. Статический момент площади сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2. Моменты инерции сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3.

Зависимости между моментами инерции относительно

параллельных осей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

6.4. Изменение моментов инерции при повороте осей . . . . . . . . . . . 88

6.5. Главные оси инерции и главные моменты инерции . . . . . . . . . . 89

6.6. Радиус инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.7. Момент сопротивления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7. ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.1. Внутренние усилия при изгибе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.2. Дифференциальные зависимости при изгибе . . . . . . . . . . . . . 99

7.3. Правила проверки построения эпюр Q и M . . . . . . . . . . . . . . 100

7.4. Нормальные напряжения при изгибе . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.5. Расчеты на прочность при изгибе по нормальным напряжениям . . 105

7.6. Поперечный изгиб. Касательные напряжения при изгибе . . . . . . 106

7.7. Расчеты на прочность при поперечном изгибе . . . . . . . . . . . . 109

7.8. Понятие об экономичности сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.1. Косой изгиб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.2. Изгиб с растяжением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.3. Изгиб с кручением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА УПРУГИХ СИСТЕМ . . . . . . . 139

9.1 Работа внешних сил. Потенциальная энергия деформации . . . . . 139

9.2. Обобщенные силы и обобщенные перемещения . . . . . . . . . . . 140

9.3. Метод Максвелла-Мора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.4. Понятие об определении перемещений в брусе с криволинейной

геометрической осью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.5. Статически неопределимые системы . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5

9.6. Упрощения при расчетах симметричных рам . . . . . . . 159

10. ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ СИЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

10.1. Равноускоренное движение тела. Динамический коэффициент . . . 168

10.2. Ударное действие нагрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.3. Прочность при переменных нагрузках . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

11.1. Формула Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

11.2. Влияние условий закрепления концов стержня на величину

критической силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

11.3. Критические напряжения при продольном изгибе . . . . . . . . . . 182

11.4. Область применимости формулы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . 182

11.5. Практический расчет сжатых стержней . . . . . . . . . . . . . . . 184

12. ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

12.1. Рекомендации к выполнению контрольных работ . . . . . . . . . . 193

12.2. Условия задач к контрольным работам . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Контрольная работа № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Контрольная работа № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Справочные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 245

6

ВВЕДЕНИЕ

Сопротивление материалов – практически первая учебная дисципли-

на общеинженерной подготовки, с которой сталкивается студент. Это нау-

ка о прочности и жесткости элементов и деталей конструкций, которая

ставит задачу разработать простые, удобные для практического примене-

ния методы расчетов типичных, наиболее часто встречающихся элементов

конструкций.

Сопротивление материалов относится к фундаментальным дисцип-

линам общеинженерной подготовки специалистов с высшим техническим

образованием. Без фундаментального знания сопротивления материалов

немыслимо создание различного рода машин и механизмов, гражданских и

промышленных сооружений, мостов, линий электропередач и антенн, ан-

гаров, кораблей, самолетов и вертолетов, турбомашин и электрических

машин, агрегатов атомной энергетики, ракетной и реактивной техники и др.

В условиях постоянно сокращающегося в учебных планах времени,

отводимого на изучение общетехнических дисциплин, и в то же время не-

обходимости формирования у будущих инженеров базового объема знаний

о прочности и надежности создаваемых и находящихся в эксплуатации из-

делий, важно иметь обеспечение студентов пособиями, небольшими по

объему, но охватывающими основные разделы знаний в соответствии с за-

дачами формирования у студентов необходимой подготовки по прочности

и надежности конструкций.

Настоящее пособие предназначено для студентов, обучающихся по

безотрывной форме обучения для механических и немеханических специ-

альностей, включающей в себя курс сопротивления материалов по сокра-

щенной программе или входящей в состав курса «Прикладная механика».

Пособие содержит основной материал по изучаемой дисциплине.

В основные разделы курса включены примеры, позволяющие от за-

дач простейших переходить к более сложным параллельно с изучением

теоретического материала. Приложением к изучаемому материалу предла-

гаются контрольные работы с методическими указаниями по их выполне-

нию. В зависимости от специальности преподаватель может варьировать

объем контрольных заданий.

Примечание. В рамку заключены формулы, которые важно помнить.

7

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КУРСА

1.1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Сопротивление материалов – раздел более общей науки – ме-

ханики деформируемого твердого тела, в котором излагаются основы

и методы инженерных расчетов элементов конструкций на прочность,

жесткость, устойчивость и выносливость при одновременном удов-

летворении требований надежности, экономичности и долговечности.

Кроме сопротивления материалов в механику деформируемого твердого

тела входят: теория упругости, теория пластичности и ползучести, теория

сооружений, строительная механика, механика разрушения и др.

Прочность – способность материала (образца, детали, эле-

мента конструкции…) сопротивляться действию внешних сил не

разрушаясь. Часто под прочностью понимают способность сопро-

тивляться развитию пластических деформаций под действием

внешних сил. Целью расчета на прочность является определение размеров

деталей или величины внешних нагрузок, при которых исключается воз-

можность разрушения элемента конструкции.

Элемент конструкции – часть конструкции (сооружения,

механизма), предназначенная для расчета.

Жесткость – способность конструктивных элементов де-

формироваться без существенного изменения геометрических раз-

меров. Целью расчета на жесткость является определение нагрузок и раз-

меров деталей, при которых исключается возможность появления недопус-

тимых с точки зрения нормальной работы конструкции деформаций.

Устойчивость – способность конструктивного элемента со-

хранять под нагрузкой первоначальную форму равновесия. При поте-

ре устойчивости возникает продольный изгиб – изгиб первоначально

прямолинейного стержня под действием центрально приложенных про-

дольных сжимающих сил.

Выносливость или циклическая прочность – способность

материала противостоять усталости.

8

Усталость – процесс постепенного накопления повреждений

под действием переменных напряжений, приводящий к изменению

свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению.

Надежность – свойство объекта сохранять работоспособное

состояние в течение некоторого времени или некоторой наработки.

Долговечность – свойство элемента или системы длительно

сохранять работоспособность до наступления предельного со-

стояния при определенных условиях эксплуатации.

В теоретической части сопротивление материалов базируется на

математике и теоретической механике, в экспериментальной части – на

физике и материаловедении и применяется при проектировании машин,

приборов и конструкций. Обе части, относящиеся к этой науке, имеют

одинаково большое значение. Практически все специальные дисциплины

подготовки инженеров по разным специальностям содержат разделы курса

сопротивления материалов, так как создание работоспособной новой

техники невозможно без анализа и оценки ее прочности, жесткости и на-

дежности.

Задачей сопротивления материалов, как одного из разделов механики

сплошной среды, является определение деформаций и напряжений в

твердом упругом теле, которое подвергается силовому или тепловому воз-

действию. Сопротивление материалов базируется на ряде гипотез

геометрического или физического характера. Такой метод позволяет полу-

чить, хотя и не во всех случаях, вполне точные, но достаточно простые

формулы для вычисления напряжений.

1.2. ГИПОТЕЗЫ И ДОПУЩЕНИЯ,

ПРИНЯТЫЕ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

1. Гипотеза сплошности и однородности — материал

представляет собой однородную сплошную среду; свойства мате-

риала во всех точках тела одинаковы и не зависят от размеров

тела. Атомистическая теория дискретного строения вещества во внима-

ние не принимается. Гипотеза позволяет не учитывать особенности кри-

сталлической структуры металла, разный химический состав и прочност-

9

ные свойства связующего и наполнителей в пластмассах, бетонах (щебень,

песок, цемент), наличие сучков в древесине, пустот, трещин, пор.

2. Гипотеза об изотропности материала – физико-

механические свойства материала одинаковы по всем направлени-

ям. В некоторых случаях предположение об изотропии неприемлемо, ма-

териал является анизотропным. Так, анизотропными являются древесина,

свойства которой вдоль и поперек волокон различны, а также армирован-

ные (композиционные) материалы.

3. Гипотеза об идеальной упругости материала – тело

способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры

после устранения причин, вызвавших его деформацию.

4. Гипотеза о совершенной упругости материала –

перемещения точек конструкции в упругой стадии работы мате-

риала прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемеще-

ния (справедлив закон Гука). В действительности реальные тела можно

считать упругими только до определенных величин нагрузок, и это необ-

ходимо учитывать, применяя формулы сопротивления материалов.

5. Гипотеза Бернулли о плоских сечениях – поперечные

сечения, плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему

нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси в деформиро-

ванном состоянии; при изгибе сечения поворачиваются не искривляясь.

6. Принцип Сен-Венана – в сечениях, достаточно удаленных

от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от

конкретного способа нагружения и определяется только статиче-

ским эквивалентом нагрузки. Резко выраженная неравномерность рас-

пределения напряжений по сечению 2-2, показанная на рис. 1.1, постепенно

выравнивается (сечение 3-3) и на удалении, равном ширине сечения (сече-

ния 4-4 и 5-5), исчезает.

10

7. Принцип Д’Аламбера – если к активным силам, действую-

щим на точки механической системы, и реакциям наложенных связей при-

соединить силы инерции, то получится уравновешенная система сил.

Принцип используется в расчетах на прочность при динамическом дейст-

вии сил.

8. Принцип независимости действия сил (принцип

суперпозиции) – результат воздействия нескольких внешних

факторов равен сумме результатов воздействия каждого из них,

прикладываемого в отдельности, и не зависит от последовательности

их приложения. Это же справедливо и в отношении деформаций.

9. Принцип начальных размеров (гипотеза о малости деформа-

ций) – деформации в точках тела настолько малы по сравнению с разме-

рами деформируемого тела, что не оказывают существенного влияния на

взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу. Допущение при-

меняют при составлении условий статики, считая тело абсолютно твердым.

10. Допущение об отсутствии начальных внутренних

усилий в теле до приложения нагрузки. Почти во всех реальных

деталях и элементах конструкций указанное допущение полностью не вы-

5 5

4 4

3 3

2 2

F

1

h

h

1 1 1 1 1 1

2 2

3

4 4

5

3

5

A

2 F

A

0,7 F

A

1,5 F

A

F

A

0,5 F

1

F F F

Рис. 1.1

А – площадь поперечного сечения

11

полняется. Внутренние напряжения возникают в деревянных конструкциях

вследствие неравномерного высыхания; в стальных и чугунных отливках –

вследствие неравномерного охлаждения; в стальных деталях – вследствие

термической (закалка…) и механической (шлифование…) обработок.

Формирование колесных пар для железнодорожных вагонов осуществляют

путем запрессовки колес на ось. За счет натяга создаются напряжения в

ступице колеса и подступичной части оси.

Замечание о точности расчетов и округлении результатов.

С учетом изложенных гипотез и допущений, а также разбросов результа-

тов экспериментов по определению механических свойств, точность инже-

нерных расчетов не превышает 3–5 %. В некоторых случаях погрешность

10–15 % считают приемлемой. На практике, если нет специальных указа-

ний, результат округляют до трех значащих цифр. Например, результат

568 234 следует округлить до 568 000, а результат 0,00237648 – до 0,00238

или 2,38∙10-3.

1.3. ТИПЫ СХЕМАТИЗАЦИЙ,

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

Реальный объект – исследуемый элемент конструкции, взятый с

учетом всех своих особенностей: геометрических, физических, механиче-

ских и других.

Расчет реального объекта

является или теоретически невоз-

можным, или практически непри-

емлемым по своей сложности. По-

этому в сопротивлении материа-

лов используют расчетные схемы,

в которых применяют упрощения,

облегчающие расчет.

Расчетная схема – идеали-

зированная схема, отражающая

наиболее существенные особенно-

сти реального объекта, опреде-

ляющие его поведение под нагруз-

а

Пролёт балки

Рис. 1.2

б

Консоль

F

Консоль

F

12

кой. Для реальной конструкции – колесной пары (рис. 1.2, а) один из вари-

антов расчетной схемы приведен на рис. 1.2, б. В зависимости от поста-

новки задачи и требуемой точности ее решения для одной и той же конст-

рукции может быть предложено несколько расчетных схем. Так же и одна

расчетная схема может соответствовать различным конструкциям.

Основная цель сопротивления материалов – создать практически

приемлемые простые приемы (методики) расчета типовых наиболее часто

встречающихся элементов конструкций. Необходимость перехода от ре-

ального объекта к расчетной схеме (с целью упрощения расчетов) застав-

ляет вводить схематизацию понятий. Выделяют следующие типы схемати-

зации:

физическая схематизация;

геометрическая схематизация;

силовая схематизация.

Физическая схематизация (модель материала)

Все изучаемые тела считают выполненными (изготовленными) из

материалов, наделенными идеализированными свойствами. Материал эле-

ментов конструкций считают сплошным, однородным, изотропным и ли-

нейно упругим (см. выше гипотезы 1, 2, 3, 4).

Геометрическая схематизация (модель формы)

Виды конструктивных элементов, встречающихся в сооружениях и

машинах, при всем их разнообразии, можно свести к четырем основным

категориям.

Массивное тело – тело, у которого

все три размера величины одного порядка

(рис. 1.3). Это – фундаменты сооружений,

подпорные стенки, станины станков и т. п.

Брус – тело, одно из измерений ко-

торого, значительно больше двух других.

Примеры брусьев различной формы приведены на рис. 1.4. Брусья с пря-

молинейной осью постоянного сечения (а), переменного сечения (б), сту-

Рис. 1.3

13

пенчатый (в), тонкостенный (толщина стенок значительно меньше габарит-

ных размеров сечения) стержень (г), с криволинейными осями (д), (е), (ж).

Оболочка – тело, ограниченное двумя криволинейными поверхно-

стями, расположенными на близком расстоянии одна

от другой (рис. 1.5). Геометрическое место точек,

равноудаленных от обеих поверхностей оболочки, на-

зывают срединной поверхностью. По форме средин-

ной поверхности различают оболочки цилиндриче-

ские, конические, сферические и др. К оболочкам относятся тонкостенные

резервуары, котлы, купола зданий, обшивки фюзеляжей, крыльев (и дру-

гих частей летательных аппаратов), корпуса судов и т. п.

Пластина – тело, ограниченное двумя парал-

лельными поверхностями (рис. 1.6). Пластины могут

быть круглыми, прямоугольными и иметь другие

очертания. Толщина пластин, как и оболочек, может

быть постоянной или переменной. Пластинами явля-

ются плоские днища и крышки резервуаров, пере-

крытия инженерных сооружений, диски турбомашин и т. п.

Тела, имеющие эти основные формы, и являются объектами расчета

на прочность, жесткость и устойчивость. В настоящем учебном пособии

Рис. 1.6

б в г

д е ж

а

Рис. 1.4

Рис. 1.5

14

рассматриваются разделы, связанные с расчетом брусьев, имеющих пря-

молинейную геометрическую ось.

Схематизация опор

Схемы реальных опорных устройств можно свести к трем типам.

Шарнирно-подвижная опора балки (рис. 1.7, а) препятствует

только вертикальному перемещению конца балки, но ни горизонтально-

му перемещению, ни повороту. Такая опора при любой нагрузке дает

одну реакцию.

Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.7, б) препятствует вертикаль-

ному и горизонтальному перемещениям конца балки, но не препятствует

повороту сечения. Дает две реакции: вертикальную и горизонтальную.

Заделка (защемление) (рис. 1.7, в). Опора препятствует верти-

кальному и горизонтальному перемещениям конца балки, а также поворо-

ту сечения. Дает три реакции: вертикальную и горизонтальную силы

и пару сил.

Силовая схематизация (модель нагружения)

В нагруженном теле, находящемся в равновесии, внешние нагрузки

стремятся вызвать деформацию тела, а внутренние усилия стремятся

сохранить тело как единое целое.

Внешние нагрузки – силы взаимодействия между рассматри-

ваемым элементом конструкции и другими телами, связанными с ним.

Классификация внешних нагрузок производится по трем признакам:

способу приложения, продолжительности действия, характеру изменения.

По способу приложения: сосредоточенные, распределенные.

Сосредоточенными (рис. 1.8, а) называют силы, приложенные

к площадкам, размеры которых малы по сравнению с размерами

а б в Рис. 1.7

15

объекта, например, давление обода колеса на рельс. Размерность Н, кгс

(ньютон, килограмм силы).

Распределенными по площади (поверхностными) (рис. 1.8,

б) называют силы, приложенные к площадкам контакта, например, дав-

ление жидкости или газа на стенки сосуда, снеговая нагрузка на кровлю

здания. Давление выражается в единицах силы, отнесенных к единице

площади, Н/м2, кгс/см2. Производная единица Паскаль: 1 Па = 1 Н/м2.

Распределенные по длине (рис. 1.9, а) равномерно или по задан-

ному закону (треугольному, параболическому…). Размерность Н/м, кгс/м.

Объемные силы (рис. 1.9, б) непрерывно распределены по объ-

ему, занимаемому элементом, например, сила тяжести, сила инерции.

Рис. 1.9

7,85 г

7,85 г

7,85 г

Собственный вес

1 см3

1 см 1 см3 3

а б

q, МПа

2,5 кН

2,5 кН

1,5 кН

1,5 кН

б

Рис. 1.8

а

16

Характеризуются интенсивностью, то есть отношением единицы силы к

единице объема, Н/м3, гс/см3.

По продолжительности действия: постоянные и временные.

Постоянные действуют в течение всего времени существо-

вания конструкции, например, нагрузка на фундамент здания.

Временные действуют на протяжении отдельных периодов

эксплуатации объекта, например, давление газа в баллоне.

По характеру изменения в процессе приложения

Статические – постоянные (нагрузка от собственного веса), или

медленно изменяющиеся так, что силами инерции вследствие уско-

рения можно пренебречь (изменение давления от снеговой нагрузки).

Динамические – вызывающие в конструкции или отдельных

ее элементах большие ускорения, которыми пренебречь нельзя.

Величина этой нагрузки значительно изменяется за малые промежутки

времени, например, ударная.

Повторно-переменные – изменяющиеся по некоторому закону.

Примеры: изменение натяжения ветви ремня (или цепи) в зависимости от

ее положения в текущий момент времени – сбегающая или набегающая

ветвь на ведущий шкив (звездочку). Изменение натяжения спицы велоси-

педного колеса в зависимости от ее положения (верхнее или нижнее в дан-

ный момент вращения колеса).

1.4. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ

Величиной внутренних усилий определяется степень деформации

элемента конструкции и возможность разрушения в том или ином опасном

сечении элемента конструкции.

Внутренние усилия – силы взаимодействия между частица-

ми тела (кристаллами, молекулами, атомами), возникающие внутри

элемента конструкции, как противодействие внешним нагрузкам.

17

Для выявления внутренних усилий пользуются методом сечений.

Обычно метод насчитывает четыре этапа, названия которых легко запом-

нить по их начальным буквам.

1. Рассечь нагруженное тело

плоскостью Р на две части (рис. 1.10, а).

2. Отбросить одну из частей

(рис. 1.10, б). Реальное тело пред-

ставляет собой конгломерат различно

ориентированных зерен, от граней

которых в разных направлениях дей-

ствуют элементарные внутренние

усилия.

3. Заменить действие отбро-

шенной части внутренними усилия-

ми. При этом используется аппарат

теоретической механики: определе-

ние равнодействующей системы схо-

дящихся сил, параллельных сил, пе-

ренос сил в заданную точку – центр

тяжести сечения 0 (рис. 1.10, в). По-

лученные в результате приведения

главный вектор R и главный момент

M спроецировать на главные оси

инерции z, y и геометрическую ось x.

4. Уравнения равновесия по-

зволяют определить внутренние уси-

лия. Всего их шесть: три силы – проекции главного вектора R (рис.

1.10, г):

ΣX = 0; N = … Продольное усилие от англ. normal

ΣY = 0; Qy =… Поперечное усилие

ΣZ = 0; Qz =… Поперечное усилие

от нем. querlaufend

и три момента – проекции главного момента M :

F3

F2

F1

г

F3

Qy

F1

F3

F2

F1

F4

M

q P

F3

F2

F1

z

y

x

M

R y

My

Mz

Т

z

0

в

б

а

x F2

Qz

N

Рис. 1.10

18

ΣMx = 0; T = … Крутящий момент от англ. torsional, torque

ΣMy = 0; My =… Изгибающий момент

ΣMz = 0; Mz =… Изгибающий момент

от англ. moment

Таким образом, можно сформулировать правило определения

внутренних силовых факторов: внутренние силы N, Qy, Qz численно

равны алгебраической сумме проекций всех внешних сил (в том числе и ре-

акций), приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сече-

ния. Аналогично: внутренние моменты T, My, Mz численно равны алгеб-

раической сумме моментов от внешних сил, действующих по одну сторо-

ну от рассматриваемого сечения. Какую именно сторону, правую или ле-

вую, верхнюю или нижнюю следует рассматривать, зависит от схемы на-

гружения. Предпочтение следует отдавать более простому варианту.

Принимая во внимание важность описанных выше процедур, запи-

шем кратко последовательность основных этапов метода сечения:

Р – рассечь тело на две части плоскостью;

О – отбросить одну из частей тела;

З – заменить действие отброшенной части внутренними усилиями;

У – уравнения равновесия составить.

Единица измерения усилий – ньютон (обозначение: Н). Это произ-

водная единица. Исходя из второго закона Ньютона (F = m∙a) она опреде-

ляется как сила, изменяющая за 1 с скорость тела массой 1 кг на

1 м/с в направлении действия силы. Таким образом, 1 Н = 1 кг·м/с2. Изме-

рять силу в ньютонах стали спустя два века после смерти великого ученого,

когда была принята система СИ. 1 Н = 0,10197162 кгс; 1 кгс = 9,80665 Н.

Каждая компонента внутренних усилий характеризует сопротивле-

ние тела какому-либо одному виду деформации – простому сопротивле-

нию. Например, при N ≠ 0, будет растяжение или сжатие. При Q ≠ 0 имеет

место сдвиг, при Т ≠ 0 – кручение, а при М ≠ 0 – изгиб. При наличии двух и

более компонентов будет сложное сопротивление тела.

19

1.5. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИЯХ

Напряжение в точке по сечению – внутренняя сила взаимо-

действия, приходящаяся на единицу площади у этой точки.

Напряжение – величина, характери-

зующая интенсивность внутренних усилий в

данной точке сечения.

Рассмотренные ранее усилия N, Qy, Qz, My,

Mz, T являются интегральным эквивалентом

внутренних сил, распределенных по площади

сечения. Эти силы характеризуются их интен-

сивностью (рис. 1.11)

lim ; lim ; lim .

0 0 0 A

Q

A

N

A

p R

A A A 



 





 







     

Напряжение нормальное σ – перпендикулярное к сечению, ха-

рактеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элементов кон-

струкции.

Напряжение касательное  – действующее в плоскости сечения,

характеризует интенсивность сил, сдвигающих эти части в плоскости се-

чения.

Напряжение полное p  σ2  τ2 .

Суммируя элементарные усилия σ∙dA,

y∙dA, z∙dA (рис. 1.12), распределенные по се-

чению, и их моменты относительно коорди-

натных осей, получим:

 

 

 

 

      

      

      

A

z

A

z z

A

y

A

y y

A

y z

A

Q A M y A

Q A M z A

N A T z y A

d ; d .

d ; d ;

d ; d ;

Единица измерения давления и механического напряжения

паскаль (обозначение Па). Паскаль – давление, вызываемое силой

1 Н, равномерно распределенной по поверхности площадью 1 м2.

1 Па = 1 Н/м2; 1 МПа = 0,102 кгс/мм2; 1 МПа = 10,2 кгс/см2;

1 МПа = 1 Н/мм2; 1 кгс/мм2 = 9,81 МПа.

Рис. 1.11

0

dА

x

y

z

dR dQ

d

N

A

Рис. 1.12

y dА

x z

y

z

Qz

N

y

·d

A

My

T

Qy

Mz

z

∙d

A

σ∙dA

А

20

1.6. ВИДЫ ДЕФОРМАЦИЙ И ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Реальные тела не являются абсолютно твердыми и под действием

приложенных сил могут изменять свое положение в пространстве.

Перемещение – изменение поло-

жения в пространстве точки или попе-

речного сечения.

Деформация – изменение формы и

размеров тела под действием прило-

женных сил (рис. 1.13).

Деформация упругая Δℓe – исчезаю-

щая после снятия нагрузки (от англ. elastic).

Деформация пластическая Δℓp –

остающаяся после снятия нагрузки (от англ. plastic).

Деформация абсолютная (полная) – Δℓ = Δℓe + Δℓp.

Деформация относительная ε = Δℓ / ℓ .

ΔS – абсолютный сдвиг (рис. 1.14).

γ – относительный сдвиг, угловая деформа-

ция, угол сдвига a

S

  tg   .

Растяжение (сжатие) – вид сопротивле-

ния (деформирования), при котором из шести

внутренних усилий не равно нулю одно – продоль-

ное усилие N. Стержень – брус, работающий на растяжение или сжатие.

Сдвиг – вид сопротивления (деформирования), характеризующий-

ся взаимным смещением параллельных слоев материала под действием

приложенных сил при неизменном расстоянии между слоями. Внут-

реннее усилие одно – поперечная сила Q.

Кручение – вид сопротивления (деформирования), при котором из

шести внутренних усилий не равно нулю одно – крутящий момент Т.

Кручение возникает при действии на брус внешних сил, образующих мо-

мент относительно его продольной оси. Вал – брус, работающий на

кручение. Вал – вращающаяся (обычно в подшипниках) деталь ма-

шины, передающая крутящий момент.

Изгиб – вид сопротивления (деформирования), при котором котором

происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого

бруса.

ℓ

Δℓe

ℓ

Δℓp

Δℓ

F F

Рис. 1.13

a

ΔS

γ

Q

Q

Рис.1.14

21

2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

2.1. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ, НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИИ

Растяжение (сжатие) – вид деформирования, при кото-

ром из шести внутренних усилий не равно нулю одно – продоль-

ное усилие N. Растяжение возникает, если противоположно направлен-

ные силы приложены вдоль оси стержня. Растягивающие продольные

силы принято считать положительными, а сжимающие – отрица-

тельными.

Порядок определения внутренних усилий был подробно рассмотрен

в подразделе 1.4. Повторим эти рассуждения применительно к разделу 2.

Р ассечь тело на две части. (рис. 2.1, а)

О тбросить одну из частей. (рис. 2.1, б)

З аменить действие отброшенной

части внутренними усилиями. (рис. 2.1, в)

У равновесить – найти значение внутреннего

усилия N(x), которое эквивалентно действию

внешней нагрузки F: ΣX = 0; N(x) – F = 0.

Стержень – брус, работающий на

растяжение или сжатие. Для определения опасного участка строят

эпюры внутренних усилий и напряжений.

Эпюра – график, изображающий закон изменения внутрен-

них усилий или напряжений по длине бруса, а также напряже-

ний по поперечному сечению бруса.

При растяжении стержня происходит увеличение его длины и умень-

шение поперечных размеров (рис. 2.2).

 

 0.

0 ;

;

1

2

1

1

1





























b

b b

b

b

a

a a

a

a









 





ℓ1

ℓ а1

а

F

b1

b

F

Рис. 2.2

Рис. 2.1

F

F

F

R

R

N(х)

а

б

х в

х

22

Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пу-

ассона) – абсолютная величина отношения поперечной относи-

тельной деформации к продольной (упругая постоянная материала)

1 2 .











  (2.1)

μ ≈ 0 – кора пробкового дерева, min;

μ ≈ 0,28 – стали;

μ ≈ 0,5 – каучук, парафин, max.

2.2. СВЯЗЬ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ

На основании гипотезы Бернулли (плоских сечений) и принципа

Сен-Венана (о равномерном распределении напряжений по сечению) (см.

подразд. 1.2) внутренние усилия:

N d A; N d A; N A,

A A

     

откуда A

  N . (2.2)

Закон Гука – нормальное напряжение σ прямо пропорцио-

нально относительной линейной деформации ε

  E   . (2.3)

Подставив σ = N/A и ε = Δℓ/ℓ, получим иную форму записи закона Гука:

E A

N





  

 . (2.4)

Произведение E·A – жест-

кость сечения при растяже-

нии Здесь Е – модуль нормальной

упругости, модуль упругости пер-

вого рода, модуль Юнга – кон-

станта материала.

Упругость – свойство тела восстанавливать свои форму и

размеры после снятия внешних нагрузок.

Е = 200 ГПа – стали;

Е = 110 ГПа – титановые сплавы;

Е = 100 ГПа – медные сплавы;

Е = 70 ГПа – алюминиевые сплавы.

23

Модуль упругости характеризует сопротивление материала дефор-

мированию растяжением (сжатием) в упругой области.

Геометрический смысл

модуля упругости – тангенс угла

наклона начального участка диа-

граммы растяжения







Е  ~ tg .

Физический смысл мо-

дуля упругости – напряжение,

требующееся для удлинения стержня вдвое: Е = σ при ε = 1, то есть при

Δℓ = ℓ. Реально достижимые напряжения в упругой области деформирова-

ния примерно в тысячу раз меньше.

2.3. МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Основные прочностные и деформационные характеристики материа-

лов, используемых в элементах конструкций, определяют эксперименталь-

но. Проводят испытания лабораторных образцов на растяжение, сжатие,

срез, кручение, изгиб при статическом и циклическом нагружении, на воз-

духе и в агрессивных средах, при комнатной, высоких и низких температу-

рах. Наиболее распространенным является испытание на растяжение ста-

тической нагрузкой, позволяющей определить большинство механических

характеристик материала.

Машинная диаграмма – диаграмма растяжения стан-

дартного образца в координатах F – Δℓ, автоматически запи-

сываемая диаграммным аппаратом испытательной машины.

Стандартами предусмотрены образцы плоские и цилиндрические

различной длины, размеров поперечного сечения и конструктивного ис-

полнения. Судить лишь о механических свойствах материала, исключая

особенности формы и размеров образца, позволяет диаграмма растяжения,

представляемая в координатах σ – ε.

0 0

σ ; ε Δ



  

A

F . (2.5)

Δℓ

N

A

  N





 

σ

ε

α

Рис. 2.3

24

Здесь σ – условное напряжение; ε – относительное удлинение, А0 – началь-

ная площадь поперечного сечения образца; ℓ0 –

начальная расчетная длина образца.

Диаграмма растяжения малоуглероди-

стой стали (рис. 2.4, а) имеет несколько харак-

терных участков: 1 – участок упругих дефор-

маций; 2 – площадка текучести; 3 – участок

упрочнения; 4 – участок образования шейки и

разрушения. Участок 3 характерен тем, что в

его пределах все сечения образца деформиру-

ются (уменьшаются) одинаково, поэтому ему

присвоено и другое название – участок равно-

мерной деформации. После достижения мак-

симальной нагрузки (и напряжения) в образце

начинает появляться местное сужение – шейка.

Это и есть начало участка 4. Четкой границы между участками 3 и 4 не на-

блюдается, тем не менее, разработаны методики для определения этой гра-

ницы и вычисления относительного равномерного удлинения (2.8). Диа-

граммы растяжения большинства конструкционных металлов: легиро-

ванных и углеродистых сталей в закаленном и нормализованном состоя-

нии, цветных сплавов, полимеров и других материалов площадки теку-

чести не имеют (рис. 2.4, б), участок упрочнения следует за участком

упругой деформации.

По результатам испытаний определяют характеристики прочности и

пластичности. Приведем некоторые из характеристик прочности.

Предел текучести физический σт – напряжение, при ко-

тором образец деформируется при практически постоянной на-

грузке (рис. 2.4, а).

Предел текучести условный σ0 ,2 – напряжение, при кото-

ром остаточное удлинение достигает 0,2 % расчетной длины

образца (рис. 2.4, б).

Временное сопротивление (предел прочности) σв – на-

пряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, предшест-

вующей разрыву образца

σ0,2

σ

ε = 0,002 ε

б

σв

σт

σ

ε

а

Рис. 2.4

1

2

3 4

25

0

т

σт

A

 F .

0

0,2

σ0,2

A

F

 .

0

в

σв

A

 F . (2.6)

Если в процессе растяжения измерять текущие размеры поперечного

сечения образца и вычислять площадь, можно найти истинные напряжения

Si = Fi /Ai в текущий момент испытания и построить соответствующую

диаграмму. Чаще находят единственное значение истинного напряжения в

момент разрушения.

Истинное сопротивление разрыву Sк – напряжение, вы-

числяемое путем деления разрушающего усилия Fк на действи-

тельную площадь Aк сечения в шейке

к

к

к A

S  F . (2.7)

Пластичность – способность материала получать боль-

шие пластические деформации без разрушения. Мерами пластично-

сти являются относительное равномерное удлинение, относительное оста-

точное удлинение и относительное сужение.

Относительное равномерное удлинение δр – отношение

приращения расчетной длины образца ( р  0 ) до образования

шейки к начальной расчетной длине ℓ0 , выраженное в процентах.

Относительное удлинение после разрыва δк – отношение

приращения расчетной длины образца (  к   0 ) после разрушения

к начальной расчетной длине ℓ0 , выраженное в процентах

δ 100

0

р 0

р 







 

. 100

0

к 0

к 



 



  . (2.8)

Относительное сужение после разрыва ψ – отношение

разности A0 и минимальной Aк площади поперечного сечения по-

сле разрушения к начальной площади поперечного сечения образ-

ца A0 , выраженное в процентах

100

0

0 к 



 

А

А А

. (2.9)

Хрупкость – способность материала (обратная пластично-

сти) разрушаться без заметных остаточных деформаций.

26

Чем пластичнее материал, тем больше относительное удлинение и

относительное сужение после разрыва. Материалы условно подразделяют

на пластичные (δк > 5 %) и хрупкие (δк < 5 %).

Пример 2.1. Цилиндрический образец

из малоуглеродистой стали диаметром

d0 = 10 мм и длиной ℓ0 = 50 мм испытан на

растяжение. Машинная диаграмма приведена

на рис. 2.5. Диаметр шейки разрушенного об-

разца dк = 7,75 мм. Определить основные ха-

рактеристики прочности и пластичности.

Решение. Площади поперечных сечений образца до и после испы-

тания

7,75 47,2 мм .

4

π

4

10 78,5 мм ; π

4

π

4

π 2 2 2

к к

2 2 2

A0  d0   A  d  

Предел текучести 343МПа.

мм

343 Н

78,5

σ 27000 2

0

т

т    

A

F

Временное сопротивление 586 МПа.

мм

586 Н

78,5

σ 46000 2

0

в

в    

A

F

Истинное сопротивление разрыву 678МПа.

47,2

32000

к

к

к   

A

S F

Относительное равномерное удлинение (Δℓр = 9 мм по диаграмме)

100 18%.

50

δ 100 9

0

р 0

р   







 

Относительное удлинение после разрыва (Δℓк = 15 мм по диаграмме)

100 30 %.

50

δ 100 15

0

к 0

к   







 

Относительное сужение после разрыва

100 39,9 %.

78,5

ψ 100 78,5 47,2

0

0 к 



 





А

А А

Рис. 2.5

F, кН

32

46

27

0 5 10 15 Δℓ, мм

27

2.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

Основной задачей расчета конструкции на растяжение является

обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации.

Условие прочности – оценка прочности элемента конструкции,

сводящаяся к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми:

р  р ; с  с , (2.10)

где σр и σс – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напря-

жения;

[σр] и [σс] – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии.

Допускаемое напряжение – наибольшее напряжение, ко-

торое можно допустить в элементе конструкции при условии

его безопасной, долговечной и надежной работы:

    n

пред

  . (2.11)

Здесь σпред – предельное напряжение (состояние), при котором кон-

струкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям; им мо-

гут быть предел текучести, предел прочности, предел выносливости, пре-

дел ползучести и др.

Для конструкций из пластичных материалов при определении допус-

каемых напряжений используют

предел текучести σт (рис. 2.6, а).

Это связано с тем, что в случае его

превышения деформации резко

возрастают при незначительном

увеличении нагрузки и конструк-

ция перестает удовлетворять усло-

виям эксплуатации. Допускаемое

напряжение в этом случае определяют как

    т

т

n



  . (2.12)

Для хрупких материалов (чугун, бетон, керамика)

Рис. 2.6

σт

σт

+σ

-σ

-ε

+ε

а

σвр

σвс

+σ

-ε

+ε

б

28

        ; σ σ ,

σ

σ

в

вс

с

в

вр

р n n

  (2.13)

где σвр и σвс – пределы прочности при растяжении и сжатии (рис. 2.6, б).

Здесь [n] – нормативный коэффициент запаса прочности. В зависимости от

той предельной характеристики, с которой сравнивают расчетное напря-

жение σ, различают [nт] – нормативный коэффициент запаса прочности по

отношению к пределу текучести σт и [nв] – нормативный коэффициент

запаса прочности по отношению к пределу прочности σв.

Запас прочности – отношение предельно допустимой теоретиче-

ской нагрузки к той нагрузке, при которой возможна безопасная работа

конструкции с учетом случайных перегрузок, непредвиденных дефектов и

недостоверности исходных данных для теоретических расчетов.

Нормативные коэффициенты запаса прочности зависят:

 от класса конструкции (капитальная, временная),

 намечаемого срока эксплуатации,

 условий эксплуатации (радиация, коррозия, загнивание, …),

 вида нагружения (статическое, циклическое, ударные нагрузки),

 неточности задания величины внешних нагрузок,

 неточности расчетных схем и приближенности методов расчета

 и других факторов.

Нормативный коэффициент запаса прочности не может быть единым

на все случаи жизни. В каждой отрасли машиностроения сложились свои

подходы, методы проектирования и приемы технологии. В изделиях обще-

го назначения принимают [nт] = 1,3 – 2,2; [nв] = 3 – 5. При выборе до-

пускаемых напряжений также пользуются рекомендациями, изложенными

в справочной литературе (см. Приложение 2, табл. П.2.5).

Вероятность выхода из строя приближенно можно оценить с помо-

щью коэффициента запаса в условии прочности:

n = 1 соответствует вероятности невыхода из строя 50 %;

n = 1,2 соответствует вероятности невыхода из строя 90 %;

n = 1,5 соответствует вероятности невыхода из строя 99 %;

n = 2 соответствует вероятности невыхода из строя 99,9 %.

29

Для неответственных деталей n = 2 много. Для ответственных – мало.

Так для каната подъемного лифта это означает на 1000 подъемов одно па-

дение.

При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач,

которые вытекают из условия прочности при растяжении

σ   σ

A

N

: (2.14)

а) поверочный расчет (проверка прочности). Известны усилие N

и площадь A. Вычисляют σ = N/A и, сравнивая его с предельным σт или σв

(для пластичного и хрупкого материалов соответственно), находят факти-

ческий коэффициент запаса прочности

,

σ

, σ

σ

σ в

в

т

nт  n 

который затем сопоставляют с нормативным [n];

б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее уси-

лие N и допускаемое напряжение [σ]. Определяют требуемую площадь по-

перечного сечения стержня

   ;

σ

A  A  N (2.15)

в) определение грузоподъемности (несущей способности). Из-

вестны площадь А и допускаемое напряжение [σ]. Вычисляют внутреннее

усилие

N  N A, (2.16)

а затем в соответствие со схемой нагружения – величину внешней нагруз-

ки F ≤ [F].

2.5. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

Иногда наряду с условиями прочности добавляют ограничения на

перемещение некоторых элементов конструкции, то есть вводят условие

жесткости δmax  δ, где [δ] – величина допускаемого перемещения (изме-

нение положения в пространстве) некоторого контролируемого сечения.

 Термины «поверочный» и «проверочный», вероятно можно отнести к паронимам – словам близким по

смыслу, написанию и произношению. О тонкой грани между ними ведется дискуссия (см. Интернет).

30

Деформацию растягиваемого или сжимаемого элемента вычисляют по

формуле (2.4) закона Гука.

Пример 2.2. Выполнить поверочный

и проектный расчеты ступенчатого бруса, к

которому приложены силы F1 = 45 кН,

F2 = 80 кН и F3 = 30 кН. Площади попереч-

ных сечений участков: А1 = 5,4 см2, А2 = 2,7

см2 и А3 = 3,1 см2, а их длины соответст-

венно равны a = 0,3 м, b = 0,2 м и c = 0,4 м.

Материал бруса – сталь с пределом текуче-

сти σт = 250 МПа и модулем упругости E =

2∙105 МПа. По результатам проектного рас-

чета построить эпюру перемещения сечений.

Решение. Разбиваем брус на участки.

Границей участка считают:

а) точку приложения силового фактора;

б) изменение размеров или формы по-

перечного сечения;

в) изменение материала бруса.

Брус одним концом защемлен, и в опоре

возникает реакция R (рис. 2.7, а). Для нахож-

дения внутренних усилий при подходе слева

направо, придется определять опорную реак-

цию R. Указанную процедуру можно избежать

при подходе справа налево, то есть со свобод-

ного конца.

1. Поверочный расчет

А. Определение внутренних усилий. Применяем методом сечений.

Р асс е ч ь брус на две части в произвольном сечении участка I.

О т б р о с и т ь одну из частей (левую, вместе с заделкой).

З аме н и т ь действие отброшенной части внутренним усилием NI. Внут-

реннее усилие всегда принимаем положительным, растягивающим;

его вектор направлен от сечения (рис. 2.7, б).

У рав н е н и е р а в н о в е с и я составляем, проецируя все силы на продоль-

ную ось x бруса,

X  0; NI  F1  0;  NI  F1  45кН .

Знак минус указывает на то, что усилие является сжимающим.

δ,

мкм

N,

кН

σ,

МПа

210

0

Рис. 2.7

F3

NIII F2 F1

с

I

A3 A2 A1 g

R F2

b

III II

F1

NI F1

F3

F F1 NII 2

а

192

250

380

45

–

+

65

35

83,3

–

+

130

б

в

г

д

е

ж

d e f

a

x

x

x

31

Аналогично находим внутренние усилия на втором и третьем участ-

ках (рис. 2.7, в и г):





              

           

0; 0; 45 80 30 65 кН.

0; 0; 45 80 35 кН.

III 1 2 3 III 1 2 3

II 1 2 II 1 2

X N F F F N F F F

X N F F N F F

Строим эпюру внутренних усилий – график, изображающий

закон изменения внутренних усилий по длине бруса. Параллельно

оси бруса проводим базисную линию (абсциссу графика) и по нормали к

ней откладываем найденные выше значения внутренних усилий (ординаты

графика) в выбранном масштабе с учетом знака. Положительные значе-

ния откладываем выше базисной линии, отрицательные – ниже (рис.

2.7, д). Поскольку в пределах каждого из участков внутренние усилия не-

изменны, высоты ординат графика – постоянны и огибающие линии (жир-

ные) – горизонтальны. На эпюре стрелками показаны скачки внутренних

усилий в сечениях d, e, f, g.

Б. Определение напряжений на каждом из участков:

210МПа.

м

2,10 10 Н

3,1 10

σ 65 10

130МПа;

м

1,30 10 Н

2,7 10

σ 35 10

83,3МПа;

м

8,33 10 Н

5,4 10

σ 45 10

2

8

4

3

3

III

III

2

8

4

3

2

II

II

2

7

4

3

1

I

I

  





 

  





 

    



 

 







A

N

A

N

A

N

Строим эпюру напряжений (рис. 2.7, е), на которой также отме-

чаем скачки напряжений в соответствующих сечениях.

В. Коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу

текучести:

т

т

I

т

т

II

т

т

III

I участок : 250 3,0; прочность избыточна;

83,3

II участок : 250 1,92; прочность обеспечена;

130

III участок : 250 1,19; прочность недостаточна.

210

n

n

n



  

 



  





  



32

Вывод: недогружен участок I, перегружен участок III. Для этих уча-

стков выполняем проектный расчет.

2. Проектный расчет

Из условия прочности при растяжении σ   σ

A

N

выполняем под-

бор размеров поперечных сечений I и III участков, предварительно назна-

чив допускаемое напряжение

    125МПа.

2

250

т

т  



 

n

Нормативный коэффициент запаса прочности выбран из рекомен-

дуемого диапазона значений [nт] = 1,3–2,2 (см. с. 25)

  , . 4 2

6

3

3 60 10

125 10

45 10

σ

I м

I

  



 

A  N 

  , . 4 2

6

3

5 20 10

125 10

65 10

σ

III м

III

  





A  N 

3. Определение перемещений сечений

А. Удлинения каждого из участков

250 мкм.

2 10 5,20 10

65 10 0,4

130 мкм.

2 10 2,7 10

35 10 0,2

188 мкм.

2 10 3,60 10

45 10 0,3

11 4

3

III

III

III

11 4

3

II

II

II

11 4

3

I

I

I



  

 







 



  

 







 

 

  

  







 







E A

N c

E A

N b

E A

N a







Б. Перемещения сечений. За начало отсчета принимаем сечение d.

Оно защемлено, его перемещение равно нулю, то есть δd = 0.

мкм.

мкм

мкм

III II I

III II

III

δ 250 130 188 192

δ 250 130 380

δ 250

         

      

  

  

 



g

f

e

;

;

Строим эпюру перемещений (рис. 2.7, ж),

33

Выводы

1. Выполнен поверочный расчет ступенчатого бруса. Прочность од-

ного из элементов обеспечена; другого – избыточна; третьего – недоста-

точна.

2. Из условия прочности при растяжении подобраны площади попе-

речных сечений двух элементов конструкции.

3. По результатам проектного расчета вычислены деформации каж-

дого элемента конструкции. Крайнее сечение переместится относительно

защемления на 192 мкм в сторону от защемления.

Пример 2.3. К стальному брусу постоянного сечения (рис. 2.8)

вдоль его оси приложены две силы F1 = 40 кН и F2 = 60 кН. По условиям

эксплуатации введено ограничение на величину перемещения концевого се-

чения С: [δ] = 1 мм. Из условий прочности и жест-

кости подобрать размер поперечного сечения, ес-

ли допускаемое напряжение при растяжении и

сжатии [σ] = 180 МПа. Длины участков a = 0,5 м.

Решение. Покажем возникающую в опоре ре-

акцию R. Поскольку в дальнейшем она не понадобится,

находить ее не станем, а определение внутренних уси-

лий методом сечений начнем вести со свободного кон-

ца (см. пример 2.2).

1. Определение внутренних усилий

Ось х – продольная ось бруса (на рис. 2.8 не показана).

I участок: X  0;  NI  F1  0;  NI  F1  40кН .

II участок:

40 60 20 кН.

0; 0;

II 1 2

II 1 2

      

      

N F F

X N F F

.

Строим эпюру внутренних усилий. Опасным является участок I, на

котором действует Nmax = – 40 кН (пластичные материалы одинаково со-

противляются деформации растяжения и сжатия).

2. Проектный расчет из условия прочности

Из условия прочности при растяжении (2.14)

Рис. 2.8

а 2а

I

20

II

R

C

F1

+

–

N, кН

40

F2

34

σ  max  σ

A

N

находим требуемую площадь поперечного сечения стержня (2.15)

  2,22 10 м .

180 10

40 10

σ

4 2

6

3

I   



 

A  N 

3. Проектный расчет из условия жесткости

Перемещение сечения С является суммой двух слагаемых:

δ Δ Δ 2  I 2 II  δ

I II

I II   















   N N

E A

a

E A

N a

E A

N a

С   ,

откуда требуемая площадь поперечного сечения стержня

     2 3 3 4

I II 11 40 10 2 2010 1,5 10 м

2 10 0,001

2 0,5

δ

        

 

  



 N N

E

A a .

Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и

жесткости, назначаем большее из двух значений площади поперечного

сечения: 2,22 и 1,5 см2, удовлетворяющее обоим условиям: А ≥ 2,22 см2.

Пример 2.4. Жесткая балка (ее де-

формацией пренебречь) нагружена си-

лой F = 80 кН и подперта стальным

стержнем (подкосом) (рис. 2.9, а), пло-

щадь поперечного сечения которого А =

= 15 см2. Подкос расположен под углом

α = 30° к оси балки. Предел текучести

материала подкоса σт = 340 МПа.

Проверить прочность стержня.

Определить допускаемую нагрузку F для

заданного размера поперечного сечения

стержня. Выполнить проектный рас-

чет из условия прочности и жесткости,

если допускаемая величина перемещения

балки в точке приложения силы [δF] =

= 10 мм. Рис. 2.9

2а

α

N

а

F

Rx

Ry

B

2а

α

F

а

Δℓ

α

B

δF

C

D

D C

C

C

α

а

б

в

35

Решение

1. Поверочный расчет

А. Определение внутреннего усилия в стержне

Рассекаем стержень на две части (рис. 2.9, а). Отбрасываем одну из

частей и показываем внешнюю нагрузку F, внутреннее усилие N и две со-

ставляющих опорной реакции R (рис. 2.9, б). Составляем такое уравнение

равновесия, в которое не вошли бы опорные реакции Ry и Rx:

480 кН.

1 0,5

80 3 1

sinα

3

0; 3 sinα 0;

 



 

 





 

      

a

N F a

MB F a N a

Усилие в стержне сжимающее.

Б. Определение напряжения

В. Коэффициент запаса прочности

Фактический коэффициент запаса не входит в рекомендуемый (норматив-

ный) диапазон значений nт   1,3 2,3 (см. подразд. 2.4).

Вывод: прочность элемента конструкции недостаточна.

2. Определение допускаемой нагрузки на конструкцию

для заданного размера поперечного сечения стержня

Из условия прочности при растяжении σ   σ

A

N находим допус-

каемую нагрузку на стержень N Aσ  15104 170106  255 кН.

Здесь допускаемое напряжение     170 МПа.

2

σ σ 340

т

 т  

n

Нормативный

коэффициент запаса по текучести назначили из рекомендуемого (подразд.

2.4) диапазона значений nт   1,3 2,2.

Из условия равновесия (см. этап 1) находим связь между допускае-

мой внешней нагрузкой [F] на конструкцию и внутренним усилием [N] в

стержне:

    42,5 кН

3

255 0,5

3

sinα 

 



  



a

F N a .

Вывод: допускаемая нагрузка почти вдвое меньше заданной.

320МПа.

15 10

σ 480 104

3

 



 

  A 

N

1,06.

320

т 340

т 









n 

36

3. Проектный расчет из условия прочности

Требуемое значение площади поперечного сечения из условия проч-

ности при растяжении:

  2,82 10 м 28,2 см .

170 10

480 10

σ

3 2 2

6

3

  



 

A  N  

4. Проектный расчет из условия жесткости

Под действием внешней нагрузки стержень деформируется; сечения

балки изменяют свое положение в пространстве. Установим связь между

внутренним усилием, деформацией стержня и перемещением заданного

сечения конструкции. Покажем схему в исходном и деформированном

(пунктирные линии) состояниях (рис. 2.9, в). Контролируемое перемеще-

ние сечения балки в точке D приложения силы δF связано с перемещением

узла С точки прикрепления стержня к балке соотношением:

BDD BCC

a

a

CC

DD    





3 3, что следует из подобия треугольников и .

Вследствие перемещения узла С стержень укорачивается на Δ  CCsinα .

Деформацию стержня определяем по закону Гука:

cosα

Δ 2

 











E A

N a

E A

N 

 .

Здесь   2a cosα – длина стержня, определяется из схемы нагружения

(рис. 2.9, а). Тогда из условия жесткости конструкции: находим допускае-

мое значение площади поперечного сечения стержня

 

3 2 2

11 3,33 10 м 33,3 см

0,01 210 0,5 0,866

6 480000 1

δ sinα cosα

[ ] 3 2   

   

  



  

 

 

E

A N a

F

.

Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и

жесткости, назначаем большее из двух значений: 28,2 и 33,3 см2,

удовлетворяющее обоим условиям, то есть А ≥ 33,3 см2.

Выводы

1. Выполнен поверочный расчет стержня. Прочность элемента кон-

струкции недостаточна.

2. Для заданного размера поперечного сечения нагрузка F, прило-

женная к конструкции, не должна превышать 42,5 кН.

3. Из условий прочности и жесткости при растяжении найдено зна-

чение площади поперечного сечения элемента конструкции, удовлетво-

ряющее обоим условиям: 33,3 см2.

37

3. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

Если твердое тело нагружено системой сил, то через любую его точ-

ку можно провести бесчисленное множество различно ориентированных

площадок, по которым действуют нормальные и касательные напряжения,

вызывающие линейные и угловые деформации.

3.1. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Напряженное состояние – совокупность напряжений,

действующих по всевозможным площадкам, проходящим через

рассматриваемую точку.

Напряжение – величина, характеризующая интенсивность

внутренних усилий, возникающих в деформируемом теле под влия-

нием внешних воздействий, то есть внутренняя сила, приходящая-

ся на единицу площади в окрестности рассматриваемой точки.

Напряжение полное p – уравновешивающее внешнюю нагруз-

ку. Напряжение р – величина векторная, раскладывается на составляющие:

по нормали к сечению σ и в плоскости сечения τ, причем p2 = 2 + 2.

Напряжение нормальное σ – перпендикулярное к сечению.

Напряжение касательное  – действующее в плоскости к сечению.

Обозначение индексов при напряжениях (рис. 3.1): первый соответ-

ствует площадке, нормаль к которой совпадает с направлением оси (адрес

площадки); второй указывает направление напряжений. Нормальные на-

пряжения имеют только первый индекс.

Правила знаков

Нормальные напряжения вызывают удлинение

или укорочение граней параллелепипеда. Растяги-

вающие напряжения считают положительны-

ми (рис. 3.1).

Касательные напряжения вызывают смещение

граней, их сдвиг, изменение углов прямых на тупые и

острые. Касательное напряжение положительно, Рис. 3.1

+σ +σ

+

+

38

если изображающий его вектор стремится вращать грань по ходу ча-

совой стрелки.

Напряженное состояние характеризу-

ют тензором напряжений. Тензор (от лат.

tensus напряженный, натянутый) – вели-

чина особого рода, задаваемая числа-

ми и законами их преобразования; яв-

ляется развитием и обобщением век-

торного исчисления и теории матриц.

В первой строке тензора ставят на-

пряжения на первой площадке (х); во вто-

рой – на пло-щадке у; в последней строке – на

площадке z. Тензор содержит девять компо-

нентов (рис. 3.2).

Параллелепипед, выделенный в окрест-

ности рассматриваемой точки, должен находиться в равновесии при дейст-

вии сил, приложенных к его граням. Нормальные силы, приложенные к

граням параллелепипеда, взаимно уравновешены и, следовательно, три

уравнения равновесия тождественно удовлетворяются. Составив уравне-

ния суммы моментов всех сил относительно координатных осей x, y, z,

можно получить следующие три равенства:

 xy   yx ;  yz  zy ; xz  zx . (3.1)

Эти равенства называют законом парности касательных напря-

жений: если по какой-либо площадке действует некоторое касательное

напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать

касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку.

Вследствие закона парности касательных

напряжений тензор становится симметричным

относительно главной диагонали. Вместо девя-

ти компонентов независимыми оказываются

только шесть.

С изменением ориентации параллелепипеда в пространстве выде-

ленного объема напряженного тела соотношение между нормальными и

  





  





  

  

  

 

zx zy z

yx y yz

x xy xz

T

  





  





  

  

  

 

xz yz z

xy y yz

x xy xz

T

Рис. 3.2

τzy

σx

σy

σz

τxy

τxz

τyz τyx

τzx

x

y

z

dz

dy

dx

39

касательными напряжениями будет изменяться.

Следовательно, и запись тензора для одного и

того же напряженного состояния будет различ-

ной.

Примером сказанного могут служить разные

варианты описания одного и того же вектора R на

плоскости в зависимости от выбранной системы ко-

ординат (рис. 3.3). Так, в системе k, ℓ вектор R описывается координатами

(3, 4), в системе m, n координаты того же вектора R (4, 3); а в системе

o, p: R (5, 0). Очевидно, последний вариант описания более удобен, по-

скольку одна из проекций вектора равна его длине, а другая – равна нулю.

Поэтому необходимо найти такое положение элементарного объема,

чтобы количество действующих по его граням напряжений было мини-

мальным.

Аналогично, можно найти такую ориен-

тацию параллелепипеда, при которой по его

граням действуют только нормальные напря-

жения (рис. 3.4). Количество независимых

компонент тензора в этом случае уменьшается

до трех.

Главные площадки – площадки, на

которых касательные напряжения от-

сутствуют (рис. 3.4).

Главные напряжения – нормаль-

ные напряжения, действующие по главным

площадкам.

Главные напряжения – нормальные на-

пряжения, принимающие экстремальные значе-

ния.

Главные напряжения нумеруют в порядке убывания 1  2  3 .

Различают три вида напря-

женного состояния: линейное, или

одноосное (рис. 3.5, а), плоское,

или двухосное (рис. 3.5, б) и объ-

емное, или трехосное (рис. 3.5, в).

 





 







3

2

1

σ

0 0 σ

0 σ 0

σ 0 0

T

m

n

k

ℓ

o

p

R

Рис. 3.3

x

y

z

σ1

σ2

σ3

Рис. 3.4

Рис. 3.5

а

σ1

в

σ1

σ2

б

σ1

σ2

σ3

40

3.2. ЛИНЕЙНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Рассмотрим простейший случай нагружения – растяжение (рис. 3.6, а).

В поперечном сечении (рис. 3.6, б) внутреннее усилие N является равнодей-

ствующим внешней нагрузки F. Нормальное напряжение в поперечном се-

чении

A

F

A

  N  . В на-

клонном сечении (рис. 3.6, в)

(площадь которого больше

площади поперечного сече-

ния) A  A cos внеш-

нюю нагрузку F = N урав-

новешивают два внутрен-

них усилия – проекции (ко-

торые всегда меньше) век-

тора F на нормаль к на-

клонной плоскости Nα и на

наклонную плоскость Qα: N  F  cos; Q  F  sin . Напряжения в

наклонном сечении от этих внутренних усилий:

sin 2 .

2

sin cos sin cos

cos cos cos2 ;





     

   

  

  

   

  













A

F

A

Q

A

F

A

N

Таким образом, sin 2α.

2

σ σ cos α, τ σ α

2

α    (3.2)

Полное напряжение рα равно геометрической сумме напряжений σα и τα.

Выводы:

а) любое из значений напряжений на наклонных площадках pα, σα, α

меньше нормального напряжения σ в поперечном сечении, следовательно,

не столь опасно;

б) напряжения на наклонных площадках pα, σα, α зависят от угла α

наклона площадки, а таких площадок в нагруженном теле можно выделить

бесчисленное множество, значит, и вариантов описания одного и того же

напряженного состояния множество.

б в г

Рис. 3.6

F F

m

m

n

n

а

σ N

α

Qα

F α

σα

τα

α

pα

m

m

n

n

n

n

А Aα

Nα α

41

Для практики интересны площадки, на которых возникают экстре-

мальные значения напряжений. Для их отыскания приравнивают нулю

первую производную нормального напряжения по углу α.

Экстремальные нормальные напряжения

0 при sin 2 0; sin 0; 0.

d

d

2 cos sin sin 2 ;

d

d

      





       









На этой площадке α=0 = 0; σmax= σ. Следовательно, эта площадка являет-

ся главной.

Экстремальные касательные напряжения

0 при cos2 0; 2 90 ; 45 .

d

d

cos2 ;

d 2

d

        



















На площадке под углом α = 45° max= σ/2. Полученным соотношением объ-

ясняется связь между допускаемыми напряжениями:   0,5, которую

используют в расчетах при кручении и сдвиге.

Изображения одноосного растяжения (слева), сжатия (справа), а так-

же соответствующие им тензоры напряжений и круги Мора представлены

на рис. 3.7.

3.3. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Если к выделенному эле-

менту (рис. 3.8) приложено толь-

ко σ1, то напряжение на наклон-

ной площадке

    

2

1 cos .

Если действует только σ2, то

σ1

σ2 σα

α+90°

σ1

σ2

α

α

Рис. 3.8

σ1 σ3

σ1

σ



 





 







0 0 0

0 0 0

σ1 0 0

Тσ

 





 









3

σ

0 0 σ

0 0 0

0 0 0

Т

σ3

σ



Рис. 3.7

42

σ σ cos α 90  σ sin2 α

2

2

 α 2     .

В случае, когда действуют оба главных напряжения σ1 и σ2, то, пользуясь

принципом суперпозиций, получим

(3.3)

Для касательных напряжений только от σ1 или только от σ2,

sin 2 90 .

2

sin 2 ;

2

1 2   



  



  

В случае действия обоих главных напряжений



  

  sin 2

2

1 2 . (3.4)

Экстремальные значения нормальных и касательных напряжений

находят, приравнивая к нулю первые производные напряжений по углу α

0

d

0 и d

d

d 









  .

Получают σmax = σ1 при α = 0,  = 0. Это – главная площадка.

при 45

2

1 2

max  

  

  .

Площадки, по которым касательные напряжения имеют

экстремальные значения, называют площадками сдвига.

3.4. СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Для площадки (рис. 3.9), ориентированной

под углом :

β = α + 90°,

cos  90  sin  90 .

cos sin ;

2

2

2

1

2

2

2

1

            

        





        

2

2

2

1 sin cos . (3.5)

Сложив σα (3.3) и σβ (3.5)

σ σ σ cos α σ sin α σ sin α σ cos2 α

2

2

1

2

2

2

α  β  1   

и преобразовав, получим Свойство суммы нормальных напряжений:

σα  σβ  σ1  σ2  const . (3.6)

Рис. 3.9

σα

β

σ1

σ2

σβ

α

        

2

2

2

1 cos sin

43

Сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимно

перпендикулярным площадкам инвариантна по отношению к

наклону этих площадок и равна сумме главных напряжений.

Свойство второе: закон парности касательных напряжений

       

  

    

  

  

  

  sin 2

2

sin 2 90 ;

2

sin 2 ;

2

1 2 1 2  1 2 .

Получен закон парности касательных напряжений (см. подразд. 3.1)

   . (3.7)

Касательные напряжения, действующие на двух взаимно перпен-

дикулярных площадках, равны по абсолютной величине и противо-

положны по знаку. Направлены они по смежным граням к ребру,

либо от ребра.

3.5. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ

НА НАКЛОННЫХ ПЛОЩАДКАХ. КРУГ МОРА

Известны значения главных напря-

жений σ1 и σ2, требуется найти напряжения

на наклонных площадках. В системе

координат σ –  построен круг диаметром

АВ, равным разности главных напряжений

АВ = 0B – 0A = σ1 – σ2 (рис. 3.10). Из левой

точки (А) пересечения круга с осью

абсцисс проведен луч под углом α.

Абсциссой точки D пересечения луча с

кругом определяется нормальное напря-

жение σα на наклонной площадке, ординатой точки D – касательное α.

Напряженное состояние перпендикулярной площадки определяется

координатами точки F(σβ; –α). Радиус круга равен полуразности главных

напряжений

2

1  2

CD  CB  .

Абсцисса центра круга – среднее арифметическое главных напряжений

2

0 1 2   

C  .

 Инвариантность – неизменность какой-либо величины по отношению к некоторым преобразованиям.

σβ

σ2

σα

σ1

А

В

E

F

C

α

0 2α σ



α

Рис. 3.10

D

44

Нормальное напряжение σα на наклонной площадке равно сумме отрезков

  1 cos2α.

2

1 cos2α σ

2

cos2α; σ σ

2

σ

2

cos2α σ

2

σ

2

σ σ

cos2α;

2

σ σ

2

σ 0 0 0 cos2α σ σ

1 2

α

1 1 2 2

α

1 2 1 2

α

       







 E  C  CE  C  CD 

       

2

2

2

1 cos sin . (3.8)

Касательное напряжение на наклонной площадке α = DE = CD∙sin 2α



  

  sin 2

2

1 2 . (3.9)

Методика графического решения задачи получила название от имени немецкого

инженера и ученого в области теоретической механики и сопротивления материалов

Christian Otto Mohr (1835–1918). Формулы, полученные графическим решением,

совпадают с формулами аналитического решения (см. подразд. 3.3). На практике

нахождение напряжений на наклонных площадках иногда называют прямой задачей.

Пример 3.1. К элементарному параллелепипеду

(рис. 3.11) приложены два главных напряжения (в МПа),

Требуется найти нормальные и касательные

напряжения, действующие на площадке, наклоненной

под углом α = –30°.

Решение аналитическое. Руководствуясь

соотношением σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, присваиваем индексы главным напряжениям: σ1

= 200 МПа, σ2 = 0, σ3 = –400 МПа.

cos sin2 200 cos2  30   400 sin2  30  50 МПа

2

2

  1             

  .

 sin 2 30  260 МПа

2

sin 2 200 400

2

1 2   

 

 

  

 

 .

Решение графическое. В координатных

осях σ –  (рис. 3.12) откладываем напряженное

состояние площадок В и С, выраженное парой

координат (σ, ): В(–400; 0); С(200; 0). Эти точки

принадлежат диаметру круга. Из левой точки

пересечения круга с осью абсцисс проводим луч

под углом α = –30° (по ходу часовой стрелки).

Координаты точки пересечения луча с кругом –

искомые напряжения σα и α.

2 cos2α 2 sin2α

Рис. 3.11

α

400

200

n

C

B

Рис. 3.12

σα

α



α

В 0 С

σ

45

Вывод. Аналитическим и графическим способами найдены

нормальные и касательные напряжения, действующие на наклонной

площадке. Результаты решений совпали.

3.6. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

По сравнению с материалом, изложенным в подразд. 3.5, такую

задачу иногда называют обратной, поскольку на практике чаще

встречается ситуация, при которой напряжения на наклонных площадках

известны (например, по результатам тензометрических испытаний), а

главные напряжения требуется найти. Напряженное состояние грани D

(рис. 3.13, а) характеризуется парой координат в системе σ –  (рис. 3.13, б):

D (σx, xy). Аналогично для грани F (σy, yx).

Прямая DF – диаметр круга с центром в точке С. Круг отсекает на

оси абсцисс максимальное σ1 и минимальное σ2 напряжения:

1  0С СВ; 2  0С  АС .

Расстояние до центра круга

2

0С x y

  

 .

Радиус круга СA  CB  CD  CE2  DE2 .

Катеты треугольника CDE: xy

CE x y DE  

  

 ;

2

.

Радиус круга – гипотенуза треугольника CDE

2

2

2 xy

CA CB x y    





 

   

  .

Таким образом, величина главных напряжений

Рис. 3.13

σx

F

yx

xy

σy

D

а б

σ2

σx

А

Р

E

D

C

yx

0

σ1

1



F

xy

σ1

σy

В σ

σ2

1

2α

46

τ .

2

σ σ

2

σ σ

σ 2

2

max,min xy

x y x y   





 

 





 (3.10)

Положение главных площадок находим с использованием полюса

Р. Через точку D на круге проводим вертикальную линию (штриховка),

соответствующую вертикальному положению грани D (рис. 3.13, а). Для

грани F, ориентированной горизонтально, проводим горизонтальную

линию до пересечения с кругом. Точка пересечения этих линий является

полюсом Р. Соединив полюс Р с точкой В, найдем положение главной

площадки σ1, а с точкой А – главной площадки σ2.

Направление главного напряжения определяют тангенсом угла 2α

 



 

   



  

2

tg 2

x y

xy

CE

DE .

Для рассматриваемого случая главное напряжение σ1 повернуто по

ходу часовой стрелки относительно большего алгебраически напряжения

σх. Следовательно, в формуле должен быть знак минус:

x y

xy

  



  

2

tg2 . (3.11)

Примечание. Согласно приведенной формуле значение аргумента

2α функции тангенса не может превышать 90°, следовательно, значение

угла α не может превышать 45°. Из этого следуют правила:

направление большего из главных напряжений откладывают от

большего из заданных напряжений σх, или σу;

положительное значение угла α откладывают против хода часовой

стрелки;

направление σmax всегда проходит через те две четверти осей

координат, к которым сходятся стрелки xy и yx;

если одно из главных напряжений окажется отрицательным, то

полученные напряжения обозначают σ1 и σ3; если отрицательны оба, то σ2 и σ3.

47

Пример 3.2. На двух парах граней выделенно-

го элементарного объема материала (рис. 3.14) дей-

ствуют нормальные и касательные напряжения.

Требуется определить положение главных площадок

и величину главных напряжений.

Решение аналитическое. Присваиваем за-

данным напряжениям индексы и знаки и подставляем в формулу (3.10)

Величины главных напряжений

Индексы главным напряжениям присваиваем лишь после их вычисления

исходя из соотношения между ними σ1  σ2  σ3 , а также учитывая, что

одно из трех напряжений на площадке, обращенной к зрителю, равно нулю.

  1,0; 2α 45,0 ; α 22,5 .

200 300

2 250

σ σ

2τ

tg2α        

 

 









x y

xy

Положение главных площадок

Изображаем площадки под действием главных на-

пряжений (рис. 3.15). Знак угла α отрицательный, поэтому

угол откладываем по ходу часовой стрелки от вертикали,

то есть от направления большего алгебраически из задан-

ных напряжений (σу > σx и направлено вертикально, см.

рис. 3.14). Линия действия максимальных главных напряже-

ний σ1 проходит через I и III квадранты, где расположены

ребра кубика, к которым стягиваются касательные напряже-

ния , стремящиеся удлинить одну из его диагоналей, сдвигая грани так,

чтобы преобразовать квадрат в ромб.

σx = –200 МПа; σy = 300 МПа; xy = –250 МПа; yx = 250 МПа.

 250 ;

2

200 300

2

τ 200 300

2

σ σ

2

σ σ

σ 2

2

2

2

min max,   







  



 

   





 

 





 xy

x y x y

σmax  50  354  404МПа  σ1; σ2  0; σmin  50  354  304МПа  σ3 .

300

200

250

Рис. 3.14

Рис. 3.15

σ3

α

σ1

48

Решение графическое. В координатной системе σ – , используя

выбранный масштаб, отложим напряженное состояние

граней D(σx, xy) и F(σy, yx), то есть D(–200; –250) и

F(300; 250) (рис. 3.16).

Отрезок DF – диаметр круга; точка пересечения

отрезка DF с осью абсцисс – центр круга (рис. 3.17).

Расстояниями от начала координат до точек пересече-

ния окружности с осью абсцисс определяются величи-

ны главных напряжений. Полюс Р находим, продлевая

до пересечения с окружностью ли-

ний, соответствующих положению

грани D (вертикальная) и грани F

(горизонтальная). Линия, соеди-

няющая полюс Р с точкой, соответ-

ствующей σ1, определяет положе-

ние первой главной площадки, а с

точкой, соответствующей σ3 – по-

ложение второй главной площадки

(см. рис. 3.17).

Вывод. Аналитическим путем и графическим построением опреде-

лена ориентация главных площадок в выделенном объеме нагруженного

тела. Найдены значения главных нормальных напряжений. Результаты

аналитического и графического решения совпали.

3.7. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

При объемном напряженном состоянии, когда 1  2  3  0 в ок-

рестности исследуемой точки выделяют элементарный кубик с гранями

Рис. 3.16

σy

yx

xy

F σx

D

Рис. 3.17

σ1

σ1 σ3

σ3



100

200

300

100

200

300

σ3 σ1

D

P F

а

σ1

σ2

LI

σ1

σ2

σ3

σ1

σ2

σ3

σ3 LII LIII

б в

Рис. 3.18 а

49

параллельными главным площадкам. Через кубик проводят площадку (за-

штирихована) параллельно σ3 (рис. 3.18, а). Напряжения σα, α на этой

площадке зависят только от σ1 и σ2. Используют приемы и формулы (3.3) –

(3.8) для плоского напряженного состояния. Диаметр круга напряжений LI

(рис. 3.19) равен разности σ1 – σ2.

Аналогично для площадки, парал-

лельной σ1 (рис. 3.18, б); диаметр кру-

га напряжений LII определяется раз-

ностью σ2 – σ3. То же для площадки,

параллельной σ2 (рис. 3.18, в).

Для произвольно ориентирован-

ной площадки D напряжения опре-

деляют по формулам

cos cos cos .

cos cos cos ;

2

3

2 2

2 3

2 22

1

2 2

1

3

2

2 3

2

1 2

2

1

 



           

         

(3.12)

Здесь α1, α2 и α3 – углы между нормалью к рассматриваемой пло-

щадке и нормалями к главным площадкам. Для объемного напряженного

состояния справедливо свойство суммы нормальных напряжений,

инвариантной по отношению к наклону площадок (аналог (3.6)):

x  y  z  1  2  3  const. (3.13)

Сумма нормальных напряжений, действующих по любым

трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через

рассматриваемую точку, есть величина постоянная.

Из круга Мора (рис. 3.19) следует, что экстремальные касательные

напряжения действуют по площадкам, параллельным главному

напряжению σ2. Площадки наклонены к главным напряжениям σ1 и σ3 под

углом 45°. Значения экстремальных касательных напряжений:

2

τ σ1 σ3

max, min



 . (3.14)

Рис. 3.19

σ2

σ3

σα

σ1

D

α

0 σ



LI

max

LII

LIII

50

3.8. ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

Наряду с напряженным состоянием различают и деформированное

состояние – совокупность относительных удлинений и углов сдвига для

всевозможных направлений осей, проведенных через рассматриваемую

точку. Нормальные напряжения σ вызывают удлинение граней, оценивае-

мое относительной линейной деформацией ε. Касательные напряжения

вызывают сдвиг граней, оцениваемый относительным углом сдвига γ.

3

.

3.9. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

Согласно закону Гука в направлении каждого нормального

напряжения σ1, σ2, σ3 происходит продольная деформация ε1, ε2, ε3.

Напряжения, вызвавшие удлинения ребер

a

ε σ1 ;

1 E

  ε με μ σ2 ;

1 2 E

     ε με μ σ3 ;

1 3 E

    

b

ε με μ σ1 ;

2 1 E

     ε σ2 ;

2 E

  ε με μ σ3 ;

2 3 E

    

Деформации ребер

с

ε με μ σ1 .

3 1 E

     ε με μ σ2 .

3 2 E

     ε σ3 .

3 E

 

 





  





3

2

1

ε

0 0 ε

0 ε 0

ε 0 0

T

     





     







zx zy z

yx y yz

x xy xz

T

γ ε

2

γ 1

2

1

γ

2

γ ε 1

2

1

γ

2

γ 1

2

ε 1

ε

εx

εy

x

y

z

γyx

γxy

γxz

γyz

γzx

εz

γzy

Рис. 3.20

σ2

1

2

3

b

a

c

a

σ3

1

2

3

b

c

σ1

1

2

3

c a

b

51

Одновременно согласно эффекту Пуассона, в поперечных направ-

лениях происходят противоположные по знаку деформации. Таким обра-

зом, в каждом из трех направлений проходит по одной продольной и по

две поперечных деформации. Используя принцип суперпозиции и, скла-

дывая эти деформации, получим суммарные относительные удлинения в

направлениях напряжений:

  

  

1   .

1 ;

1 ;

3 3 1 2

2 2 3 1

1 1 2 3

       

       

       

E

E

E

(3.15)

Если грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главны-

ми площадками, то по ним действуют касательные напряжения, не удли-

няющие или укорачивающие грани, а вызывающие лишь изменение пря-

мых углов между его гранями. На основании инвариантности суммы нор-

мальных напряжений (3.6) обобщенный закон Гука может быть представ-

лен в виде:

  

  

ε 1 σ μσ σ ,

ε 1 σ μ σ σ ,

ε 1 σ μ σ σ ,

z z x y

y y z x

x x y z

E

E

E

  

  

  

γ τ .

;

τ

γ

;

τ

γ

G

G

G

xz

xz

yz

yz

xy

xy







(3.16)

3.10. ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА

Объем параллелепипеда (рис. 3.21) до деформации

V  a b  c .

Объем параллелепипеда в деформированном

состоянии

V  a1b1 c1 ,

где

 

 

1 .

1 ;

1 ;

1 3 3

1 2 2

1 1 1

        

        

        

c c c c c c

b b b b b b

a a a a a a

Рис. 3.21

b

c a

1

2

3

σ1

σ2

σ3

52

Изменение объема тела параллелепипеда

    1 ε 1 ε 1 ε 1 ε 1 ε 1 ε  1.

θ Δ

1 2 3

1 2 3

1 1 1 1

    

 

     





 

    





 

a b c

a b c abc

a b c

a b c a b c

V

V V

V

V

Пренебрегая величинами второго и третьего порядка малости (произведе-

ниями εi), получим  1  2  3.



 

V

V

(3.17)

Относительное изменение объема равно сумме трех

главных деформаций.

Подставив εi из обобщенного закона Гука (3.15), получим

1 2  .

1  2  3

 





 

V E

V

(3.18)

Для произвольно ориентированных площадок подставим (3.16)

1 2  .

V E x y z

V     

 





  (3.19)

Анализ формул (3.18) и (3.19) приводит к выводам:

для материалов (каучук, парафин) с большим значением μ = 0,47

(близко к 0,5) деформация будет происходить без изменения объема при

любом из способов нагружения;

для любого материала деформация происходит без изменения объе-

ма, если σ1 + σ2 + σ3 = 0. Например, при кручении σ2 = 0, σ3 = –σ1. Изменя-

ется лишь форма (углы между гранями);

изменение объема происходит без изменения формы, если

σ1 = σ2 = σ3 = σ0 (гидростатическое сжатие);

коэффициент Пуассона не может превышать значения 0,5, поскольку

при μ > 0,5 материал должен уменьшаться в объеме при растяжении.

Примечание: формулы действительны при напряжениях, не

превышающих предела пропорциональности.

3.11. ПРИМЕРЫ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Один и тот же материал может проявлять резко различные характе-

ристики прочности и пластичности в зависимости от схемы напряженного

состояния (НС).

53

1. Растяжение гладких образцов ДО образования шейки. Линейное НС

2. Сжатие образцов при смазке торцевых поверхностей. Линейное НС

3. Цистерна, баллон под давлением. Плоское НС

4. Вал под действием крутящих моментов. Плоское НС – чистый сдвиг

5. Растяжение образца с концентратором напряжений (надрезом)

Объемное одноименное НС

6. Измерение твердости НВ, закрытая ковка в штампах, прессование.

Объемное одноименное НС, трехосное сжатие

  





  



 

 

0 0 0

0 0 0

1 0 0

T

 





 









3

σ

0 0 σ

0 0 0

0 0 0

T

   



  









 

0 0 0

0 0

0 0

2

1

T

 





 









3

1

σ

0 0 σ

0 0 0

σ 0 0

T

  





  











 

3

2

1

0 0

0 0

0 0

T

σ1

σ



σ1

σ3

σ



σ3

σ1

σ2 σ

 σ2

σ1

σ3 σ1 σ



σ3 σ1

σ

 σ2

σ1

σ3

  





  





 

 

 

 

3

2

1

0 0

0 0

0 0

T

F

σ1

σ3

σ2

σ



σ3

σ2

σ1

σ2

σ3 σ1

F F

F F

рF

F F

M

M

54

7. Волочение проволоки, труб. Объемное разноименное НС

8. Быстрый нагрев шара. Трехосное растяжение внутренних слоев

9. Гидростатическое сжатие. Трехосное сжатие

3.12. ПОНЯТИЯ О ТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТИ

Теории прочности используются для оценки прочности конструкций

в случае плоского и объемного напряженных состояний. При двух- и

трехосном напряженном состояниях соотношения между нормальными и

касательными напряжениями настолько разнообразны (тензор напряжений

содержит девять компонентов, из которых шесть независимы), что экспе-

риментальная проверка опасного состояния для каждого из соотношений

практически исключается.

Задача несколько упрощается, если вместо шести компонентов на-

пряжений рассматривать эквивалентные им три главных напряжения и

найти такую их комбинацию, которая была бы равноопасной линейному

напряженному состоянию, то есть простому растяжению или сжатию. Ха-

рактеристики прочности и пластичности, полученные при испытании на

растяжение, достаточно полно приведены в справочной литературе.

Суть теорий (гипотез, критериев) прочности состоит в том, что, оп-

ределив главную причину разрушения материала (преимущественное

  





  





 

 



 

3

2

1

0 0

0 0

0 0

T

σ2

σ3 σ1

σ



σ2

σ1

σ3

  





  











 

3

2

1

0 0

0 0

0 0

T

F σ σ1 2

σ3

р

σ



σ2

σ1

σ3

σ2

σ3 σ1

Δt

  





  





 

 

 

 

3

2

1

0 0

0 0

0 0

T

σ



σ2

σ1

σ3

55

влияние того или иного фактора), можно подобрать соответствующее эк-

вивалентное напряжение при сложном напряженном состоянии, а затем со-

поставить его с допускаемым или предельным напряжением (σт, σв, …) при

простом одноосном растяжении, как показано на схеме (рис. 3.22).

Эквивалентное напряжение э к в – напряжение, которое

следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное

состояние стало равноопасным с заданным.

Создан ряд теорий (гипотез, критериев) прочности (более 20), позво-

ляющих функциональные зависимости, описывающие сложное напряжен-

ное состояние, заменить эквивалентным ему одноосным напряженным со-

стоянием – растяжением. В академической литературе рассматриваются

лишь некоторые из них.

В качестве причин наступления опасного состояния считают: а) нор-

мальные напряжения – разрушение хрупкое, путем отрыва; б) линейные

деформации; в) касательные напряжения – разрушение пластичное, путем

сдвига; г) энергия деформации и другие.

Следует заметить, что опасное состояние как для пластичных мате-

риалов (момент появления больших остаточных деформаций), так и для

хрупких (момент появления трещин) лежит на границе области упругого

деформирования. Это позволяет при всех дальнейших вычислениях, отно-

сящихся к проверкам прочности, пользоваться формулами, выведен-

ными при условии применимости закона Гука.

ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

(первая теория прочности)

Прочность при любом напряженном состоянии будет

обеспечена, если максимальное нормальное напряжение не пре-

взойдет допускаемого, определенного при простом растяжении:

σэкв(I)  σ1  [σ] .

Рис. 3.22

σ3

σ2

σ1 σэкв

[σ] или σпред

Заменить Сравнить

56

Здесь [σ] – допускаемое напряжение при растяжении. Эту гипотезу связы-

вают с именем Г. Галилея (XVII). Гипотеза пренебрегает действием двух

других главных напряжений и не учитывает появления пластических де-

формаций; дает удовлетворительные результаты для хрупких материалов:

стекло, керамика, камень, кирпич, бетон, гипс.

ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ ЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

(вторая теория прочности)

Прочность при любом напряженном состоянии будет

обеспечена, если наибольшее относительное удлинение не пре-

взойдет допускаемого, определенного при простом растяжении:

max  [].

Гипотеза предложена Э. Мариоттом (1682), развита Б. Сен-Венаном (XIX).

Из первой строки обобщенного закона Гука для объемного напряженного

состояния (3.12) следует:

1    .

1  1   2  3  max

E

Для линейного напряженного состояния, когда σ2 = σ3 = 0 и ε2 = ε3 = 0,

   , .

E E



 



 

Решая совместно последние три равенства, получим:

экв(II)  1  2  3  

Экспериментально гипотеза подтверждается слабо, в расчетной практике

применялась в начале ХХ века.

ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

(третья теория прочности)

Прочность при любом напряженном состоянии будет

обеспечена, если наибольшее касательное напряжение не пре-

взойдет допускаемого, определенного при простом растяжении:

max  [].

Гипотеза предложена Ш. Кулоном (1773 г.), развита Б. Сен-Венаном

(1871). Для объемного напряженного состояния

2

1 3

max

  

  . (3.20)

При простом растяжении (линейном напряженном состоянии, σ2 = σ3 = 0)

57

.

2

; [ ] [ ]

max 2



 



 

Решая совместно последние два равенства, получим:

σэквIII  σ1  σ3  σ. (3.21)

Гипотеза не учитывает действие второго главного напряжения σ2. Хорошо

согласуется с опытом для пластичных материалов.

ГИПОТЕЗА УДЕЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ

ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ – ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ

(четвертая теория прочности)

Прочность при любом напряженном состоянии будет

обеспечена, если удельная потенциальная энергия деформации,

идущая на изменение формы, не превзойдет допускаемого значе-

ния, определенного при простом растяжении

uф  [u].

Согласно гипотезе, высказанной Д. Максвеллом в 1856 г. и разработанной

М. Губером совместно с Р. Мизесом в 1904 г., удельную потенциальную

энергию деформации необходимо разложить на две компоненты, одна из

которых отвечает за изменение объема, а другая – за изменение формы. В

расчетах следует учитывать лишь одну из них – последнюю. Напряжения

σ1, σ2 и σ3, действующие по граням параллелепипеда, тоже раскладывают

на две компоненты, как показано на схеме:

Главные напряжения можно представить в виде

суммы:

где

3

σ σ σ

σ 1 2 3  

m  – среднее напряжение.

Рис. 3.23

σ3

σ2

σ1 =

σm

σm

σm

σ3-σm

σ2-σm

σ1-σm

Шаровой

тензор

Девиатор

+

 

 

σ σ σ  σ ,

σ σ σ σ ;

σ σ σ σ ;

3 3

2 2

1 1

m m

m m

m m

  

  

  

58

Первая компонента – шаровой тензор, по граням которого действует

среднее напряжение σm (рис. 3.23), отвечает только за изменение объема

(одинаковое удлинение всех ребер). Вторая компонента – девиатор (от лат.

deviatio – отклонение) отвечает за изменение формы элементарного парал-

лелепипеда. Именно эту компоненту и учитывают.

Энергия формоизменения для объемного напряженного состояния

(вывод опускается):

     2 

3 1

2

2 3

2

ф σ1 σ2 σ σ σ σ

6

1 μ     





E

u .

При одноосном растяжении, когда σ2 = σ3 = 0, приняв σэкв = σ1, получим:

2

ф σ1

3

1 μ

E

u 

 .

Тогда условие прочности по четвертой теории можно записать так:

σ σ  σ σ  σ σ   σ

2

σ 1 2

3 1

2

2 3

2

экв(IV)  1  2      . (3.22)

Четвертая теория учитывает все три главных напряжения, более точ-

но, чем третья, описывает появление в материале малых пластических де-

формаций. Теория хорошо согласуется с результатами опытов над пла-

стичными материалами, одинаково работающими на растяжение и сжатие.

ГИПОТЕЗА КУЛОНА-МОРА (ТЕОРИЯ

ПРОЧНОСТИ МОРА, 1882)

Прочность при любом напряженном

состоянии будет обеспечена, если круг

Мора не выходит за пределы огибающих

кругов, построенных на допускаемых на-

пряжениях при простом растяжении и

сжатии.

Гипотеза (ее иногда называют пятой и обозначают римской цифрой

V) применяется для материалов, обладающих разным сопротивлением рас-

тяжению и сжатию (чугун, бетон…). Строят круг Мора 1 (рис. 3.24) по до-

1

2

3 4 [σ]

[τ]

Рис. 3.24

 

   



   





экв(V)  1  3

59

пускаемому напряжению при растяжении, а также круг 2 по допускаемому

напряжению при сжатии и проводят огибающие кругов (упрощенная мето-

дика). Круг Мора 3, выходящий за пределы огибающей, соответствует

опасному напряженному состоянию. Напряженное состояние, описывае-

мое кругом 4, является безопасным. В случае, если допускаемые напряже-

ния при растяжении [σ+] и сжатии [σ-] одинаковы, теория Мора совпадает с

третьей теорией прочности.

Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать

четвертую или третью теории прочности (строго говоря – теории перехода

локального объема в пластическое состояние) для материалов, одинаково

сопротивляющихся растяжению и сжатию, то есть пластичных, а теорию

Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Пример 3.3. В опасном сечении детали, выполненной из серого чу-

гуна СЧ25, выделен элемент, по граням которого действуют напряжения

(в МПа), как показано на рис. 3.25, а. Проверить прочность элемента.

Решение. Напряжениям, показанным на рисунке, дадим обозначе-

ние согласно координатной системе xyz (рис. 3.25, б):

Площадка, нормаль к которой параллельна оси z – главная, посколь-

ку касательные напряжения на ней отсутствуют. Покажем напряженное

состояние на двух других площадках в плоскости x0y (рис. 3.25, в).

Величины главных напряжений

σx = –30 МПа; σy = 50 МПа; σz = –70 МПа; xy = 20 МПа; yx = –20 МПа.

20 ;

2

30 50

2

τ 30 50

2

σ σ

2

σ σ

σ 2

2

2

2

min max,  







  



 

   





 

 





 xy

x y x y

70

30

50

20

Рис. 3.25

σy

xy

σx

F

D

yx

а б

y x 0

z

в

60

Назначаем индексы при главных напряжениях:

1  54,7 МПа; 2  34,7 МПа; 3  70МПа.

Проверка результатов расчета с использованием свойства

суммы нормальных напряжений:

30 50 70 54,7 34,7 70 50.

σ σ σ σ1 σ2 σ3 const;

       

x  y  z    

Положение главных площадок

0,5; 2α 26,6 ; α 13,3 .

30 50

2 20

σ σ

2τ

tg2α     

 

 









x y

xy

Угол α (положительный) от-

ложен (рис. 3.26) против хода

часовой стрелки от направле-

ния большего из заданных на-

пряжений в плоскости x0y, то

есть от σy (см. пояснение к рис.

3.15).

Полученный результат

можно проверить с помощью

кругов Мора, методика по-

строения которых подробно

описана в примере 3.2. Запи-

шем координаты граней, нормали к которым параллельны осям x и y (рис.

3.25, в): D(σx, xy), F(σy, yx), D(–30, 20), F(50, –20). Строим круги Мора (рис.

3.27), определяем величины главных напряжений и положение главных

площадок. Результаты аналитического и графического решений совпали.

Проверка прочности

Назначим допускаемые напряжения, выбрав коэффициент запаса

прочности [nв] = 3, рекомендуемый для хрупких материалов, по-разному

сопротивляющихся растяжению и сжатию

σmax  10  44,7  54,7 МПа; σmin  10  44,7  34,7 МПа.

Рис. 3.26

σ1

σ3

α

σ3

σ,

МПа

σ2

σ3

σ1

, МПа

Рис. 3.27

20

D

P F

σ1

40

20

–70

61

   

    327МПа.

3

σ σ 980

83МПа;

3

σ 250

σ

в

вс

с

в

вр

р

  

  

n

n

Согласно первой гипотезе прочности

 

σ σ 70 МПа σ  327 МПа.

σ σ 54,7 МПа σ 83МПа;

экв,I 3 с

экв,I 1 р

   

   

Прочность обеспечена.

Согласно второй гипотезе прочности

     

σ σ μσ σ  70 0,2554,7 34,7 75МПа σ  327МПа.

σ σ μ σ σ 54,7 0,25 34,7 70 80,9 МПа σ 83МПа;

экв,II 3 1 2 с

экв,II 1 2 3 р

          

         

Прочность обеспечена.

Согласно третьей гипотезе прочности

σэкв,III  σ1  σ3  54,7   70  124,7 МПа  σр  83МПа.

Прочность недостаточна.

Согласно четвертой гипотезе прочности

      

54,7 34,7  34,7 70  70 54,7  111МПа σ  83МПа .

2

1

σ σ σ σ σ σ

2

σ 1

р

2 2 2

2

3 1

2

2 3

2

экв,IV 1 2

          

      

Прочность недостаточна.

Согласно теории прочности Кулона-Мора

 70 72,6 МПа σ  83МПа .

980

σ 54,7 250

σ

σ

σ σ 3 р

вс

вр

экв,V  1       

Прочность обеспечена

Вывод. Рассмотрены варианты использования различных теорий

прочности при выполнении поверочного расчета элемента из хрупкого ма-

териала. Третья и четвертая теории прочности, обычно применяемые для

пластичных материалов, дали отрицательный ответ.

62

4 . С Д В ИГ , СМ Я Т И Е

Сдвиг – простой вид деформирования, ха-

рактеризующийся взаимным смещением парал-

лельных слоев материала под действием прило-

женных сил при неизменном расстоянии между

слоями.

При сдвиге в поперечном сечении из шести внут-

ренних усилий действует только одно – поперечная сила Q (рис. 4.1).

В некоторых источниках внутреннее усилие Q называют перерезывающей силой.

Порядок вывода расчетных формул в сопротивлении материалов

При выводе любых аналитических зависимостей в сопротивлении

материалов рассматривается существование малого элемента тела с целью

последовательного определения его перемещений, деформаций и напря-

жений в нем. Проинтегрировав установленные зависимости по всему объ-

ему тела, находят связь перемещений, деформаций и напряжений с внеш-

ними силами.

Всякий расчет состоит из четырех этапов:

статический анализ – устанавливает связь напряжений с внеш-

ними нагрузками путем интегрирования уравнений равновесия элемента

по всему объему тела;

геометрический анализ – устанавливает связь между перемеще-

ниями и деформациями малого элемента тела;

физический анализ – устанавливает связь между деформациями

элемента и напряжениями в нем. При упругой деформации используется

закон Гука;

синтез установленных зависимостей. Подставляя найденные

на трех предыдущих этапах выражения одно в другое и упрощая их, полу-

чают окончательные расчетные формулы.

Для установления связи внутренних усилий с напряжениями и де-

формациями при сдвиге последова-

тельно рассмотрим перечисленные

выше этапы.

I. Статическая сторона

задачи – условие равновесия

(рис. 4.2)

Рис. 4.1

Q

Q

B

Q

y

Q

dA



A



Рис. 4.2

63

    

A

Y 0; Q τ d A.

В действительности, касательные напряжения распределяются по се-

чению неравномерно. Однако если принять допущение о равномерном

распределении напряжений, что широко используется на практике, то

Q    A, откуда

A

  Q . (4.1)

II. Геометрическая (деформационная) сторона задачи

В элементе В, выделенном на рис. 4.1, ΔS – абсо-

лютный сдвиг; γ – относительный сдвиг

a

S

  tg   . (4.2)

III. Физическая сторона задачи

В области упругих деформаций справедлив закон Гука

  G  . (4.3)

IV. Математическая сторона задачи

Подставляя (4.1) и (4.2) в (4.3), получим закон Гука при сдвиге

a

G S

A

Q  Δ , откуда

G A

S Q a





Δ  . (4.4)

Произведение G·A – жесткость сечения при сдвиге.

G – модуль сдвига, модуль касательной упругости, модуль упругости

второго рода. Для стали в расчетах принимают G = 80 ГПа = 8·104 МПа.

Установлена связь между упругими постоянными G, E и  (разд. 2)

21 μ

G  E , (4.5)

где μ – коэффициент поперечной деформации (Пуассона). Для стали при-

мерное соотношение G ≈ 0,4 E.

Напряженное состояние при сдвиге

По граням выде-

ленного на рис. 4.1 эле-

мента В действуют толь-

ко касательные напря-

жения ; нормальные

напряжения σx = 0, σy = 0.

Q

ΔS

γ

Q

a

Рис. 4.3

D(σy, yx)



σ3 σ1

0

Р σ

σ3 σ1

C(σx, xy)

σ3 σ1

yx D

C

xy

а б

64

Графическим построением (рис. 4.3, а) и аналитическим решением по

формулам (3.10) и (3.11)

; 2α 90 ;

0

2τ

σ σ

2τ

tg 2α     









 xy

x y

xy

2

2

max,min τ

2

σ σ

2

σ σ

σ xy

x y x y   





 

 





 ;

σmax  τxy  σ1; σ2  0; σmin  τxy  σ3 получаем: главные площадки

ориентированы под углом 45° к направлению сдвигающих напряжений

(рис. 4.3, б), величины главных нормальных напряжений равны касатель-

ным напряжениям.

Имеет место чистый сдвиг – частный случай плоского на-

пряженного состояния, при котором по граням элемента дей-

ствуют только касательные напряжения.

При чистом сдвиге главные нормальные напряженияσ1  σ3 τmax .

Допускаемые напряжения. Расчет на прочность

Эквивалентные напряжения по I гипотезе прочности:

экв,I  1  , но σ1 = , следовательно  .

Соотношение справедливо для хрупких материалов.

Эквивалентные напряжения по III гипотезе прочности:

экв,III  1  3  , но 1  , 3   . Тогда 2 , откуда

 0,5.

Эквивалентные напряжения по IV гипотезе прочности:

              2  

3 1

2

2 3

2

2 1 2

1

экв,IV .

Подставив σ1 =  , σ2 = 0 и σ3 = –, получим

               4   3  

2

1

2

1 2 2 2 2

3 1

2

3

2

экв,IV 1 ,

откуда

     



  0,577

3

.

65

Таким образом, при расчете деталей из пластичных материалов, ра-

ботающих на срез (болты, заклепки, шпонки…) условие прочности может

быть записано так:

   

A

Q

, где  0,5 0,6. (4.6)

Смятие – вид местного пластиче-

ского деформирования, возникающей при

сжатии твердых тел, в местах их кон-

такта.

Смятие материала начинается в случае,

когда интенсивность напряжений достигает

величины предела текучести материала. Раз-

меры смятого слоя зависят от величины, ха-

рактера и времени воздействия нагрузки, а

также от температуры нагрева сжимаемых

тел. Смятие наблюдается не только у пла-

стичных, но и у хрупких материалов (зака-

ленная сталь, чугун и др.). Смятие возникает

в соединениях (болтовых, заклепочных, шпоночных и др.), в местах опи-

рания конструкций и в зонах контакта сжатых элементов. Напряжения

смятия в зонах контакта, например шара (рис. 4.4, а) или заклепки с лис-

том (рис. 4.4, б) распределяются неравномерно. Однако для простоты в

расчетной формуле принимают закон распределения напряжений равно-

мерный. Смятие широко используется для создания заклепочных, врубо-

вых и других плотных соединений; является начальной стадией таких про-

цессов холодной и горячей обработки металлов, как прокатка, вальцовка,

ковка. Величину напряжений смятия в конструкциях обычно ограничива-

ют допускаемым напряжением смятия, которое определяется характером

соприкасающихся поверхностей, свойствами используемого материала и

его ориентацией относительно действующих нагрузок (например, в случае

древесины – вдоль или поперек волокон). Условие прочности при смятии:

 см

см

σсм   σ

A

F

.

Для сталей часто принимают [σсм] = (1,5…2,0)[σр].

F

σсм

F

σсм

а

б

Рис. 4.4

66

Пример 4.1. Подобрать диа-

метр заклепок, соединяющих накладки

толщиной t2 = 3 мм с листом толщи-

ной t1 = 5 мм; проверить прочность за-

клепок на смятие и листов на разрыв.

Материал листов и заклепок – прокат

из стали Ст3, имеющей предел теку-

чести σт = 235 МПа. Нагрузка, прило-

женная к соединению, F = 8 кН. Ши-

рина листов b = 50 мм.

Решение. Элементы заклепоч-

ного соединения работают на срез (сдвиг), растяжение и смятие. Для опре-

деления допускаемых напряжений воспользуемся как известными (2.11),

(4.6) соотношениями на основе механической характеристики – предела те-

кучести и нормативного коэффициента запаса, так и рекомендациями, при-

веденными в справочной литературе.

1. Определение диаметра заклепок

Из двух значений допускаемого напряжения на срез (96 и 75 МПа)

принимаем меньшее значение допускаемого напряжения [τср] = 75 МПа.

Из условия прочности при срезе (4.1)

τ τ

ср

 

A

Q

определяем требуемую площадь поперечного сечения заклепок.

Стержень заклепки подвергается перерезыванию в двух плоскостях

(рис. 4.6); средняя часть заклепки сдвигается вправо. Суммарная площадь

среза

[σр ]  σт [nт ]  235 1,5 156,7 МПа 160МПа ;

[τ]  0,6[σ]  0,6160  96МПа;

[σсм ]  1,5...2,0[σр ]  1,5...2,0160  240...320МПа.

Допускаемые напряжения согласно рекомендациям табл. П.2.4:

[σр] = 125 МПа; [ср] = 75 МПа; [σсм] = 190 МПа.

Рис. 4.5

t1 t2

F/2

F

F/2

d

b

t2

67

   ,

π τ

, 4

4

π

τ

2

ср   

    

m n

A Q d m n d Q

где m = 2 – количество плоскостей среза заклепки;

n = 3 – количество заклепок.

0,00476 м.

π 2 3 75 10

4 8000

6 

   



d 

Принимаем d = 5 мм.

2. Проверка заклепок на смятие

Давление, передающееся на поверхность за-

клепки от листа, распределяется неравномерно, по

сложной зависимости, изменяясь от нуля до зна-

чительных величин (см. рис. 4.4). На практике,

чтобы вычислить условное напряжение смятия необходимо разделить силу,

приходящуюся на заклепку, на площадь диаметрального сечения. Эта

площадь представляет собой прямоугольник, одной стороной которой

служит диаметр заклепки, другая сторона равна толщине листа, передаю-

щего давление на стержень заклепки. Так как толщина среднего листа (5

мм) меньше суммы толщин обеих накладок (3+3=6 мм), то в худших (наи-

более опасных) условиях по смятию будет находится именно средняя часть

заклепки. Условие прочности на смятие:

σ σсм,

см

см  

A

F

где 2

Асм  d  t1  n  553  75 мм .

Тогда 106,7 МПа

мм

106,7 Н

75

σ 8000 2

см

см    

A

F .

Прочность на смятие обеспечена.

3. Проверка прочности листа на разрыв

Опасным считают сечение листа, проходя-

щее через заклепочные отверстия; здесь рабочая

ширина листа является наименьшей. Площадь се-

чения листа, ослабленного заклепочными отвер-

стиями (площадь «живого» сечения)

  550 3 5 175мм2;

Аразр  b t1  n d  t1  t1 b  n d    

Рис. 4.6

d

t

F/2

смятие F/2

срез

Асм

F

Рис. 4.7

d

t1

b

68

45,7 МПа

175

σ 8000 разр  , что меньше допускаемого [σ] = 125 МПа.

Вывод. Из условия прочности на сдвиг подобран диаметр двухсрез-

ных заклепок. Условия прочности на смятие заклепок и разрыва листа вы-

полняются.

Примечание. В нормативных документах приведены рекомендации по выбо-

ру расположения заклепок на листе (рядное, шахматное), расстоянию между заклепка-

ми, расстоянию отверстий под заклепки от края листа и др.

Пример 4.2. Опреде-

лить длину ℓ флангового свар-

ного шва, необходимую для со-

единения двумя накладками с

двух сторон стальных листов,

растягиваемых усилием F = 500

кН (рис. 4.8). Допускаемое на-

пряжение на срез металла

шва [τ] = = 180 МПа, размер катета сварного шва k = 8 мм.

Решение. При смещении накладки 2 относительно листа 1 трещина 3

среза (сдвига) в сварном шве "находит" кратчайший путь от вершины тре-

угольника к его основанию, разделяя шов на две части (рис. 4.9). Трещина

расположена под углом β, близким к 45°. Ее длина

равна k∙cos β ≈ 0,7∙k, где k – катет сварного шва.

Площадь сдвига (среза) одного шва Aср  0,7  k   , где

ℓ – длина флангового шва.

Рассчитываем необходимую длину одного из

четырех фланговых швов на одном из листов

  

  

  

k

F

k

F

A

Q

ср 4  0,7 2,8 

,

откуда   0,124 м

2,8 180 10 0,008

500000

2,8 τ 6



  

 

k

F

 .

Полученный размер длины ℓ сварного шва округляем до 13 см. Полная

длина сварных швов, соединяющих два листа (для учета затрат труда, ма-

териалов, электроэнергии), составляет L = 2×4×ℓ = 2∙4∙13 = 104 см.

Примечание. В практике расчета сварных соединений применяют формулы,

содержащие коэффициенты для учета некоторых особенностей процессов сварки,

например, изменение свойств металла на границе сплавления.

Рис. 4.8

F F

k

F F

2ℓ

Рис. 4.9

k

2

1

β

3

69

5. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА

КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Кручение – вид сопротивления, при котором в поперечных сечени-

ях бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий

момент Т. Остальные силовые факторы (N, Qy, Qz, My, Mz) отсутствуют.

Вал – брус, работающий на кручение.

Принято внешние силовые факторы называть вращающими или скру-

чивающими моментами и обозначать М; внутренние усилия – крутящим

моментом Т (от англ. torsion, torque)

В расчетах на прочность и жесткость при кручении знак крутящего

момента значения не имеет, но для удобства построения эпюр принято

правило:

Крутящий момент считают положительным, если при

взгляде в торец отсеченной части бруса он стремится вращать

сечение против хода часовой стрелки.

Положительный крутящий момент вызывает положи-

тельные касательные напряжения

5.1. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ

На основании метода сечений крутящий момент в произвольном по-

перечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних

скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рас-

сматриваемого сечения.

На рис. 5.1, б: Mx  0; TI  M1  0; TI  M1.

На рис. 5.1, в: Mx  0; TIII  M4  0; TIII  M4.

х х

I II III

М1 М2 М3 М4

ТIII

ТI ТII

Т

+

–

TIII М4

n n

М1 TI

а б в

Рис. 5.1

70

Эпюра крутящих моментов – график изменения крутящих

моментов по длине бруса.

Во всех случаях эпюры внутренних усилий строят на осевой линии

бруса. Величину силового фактора откладывают по нормали к оси.

5.2. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ

Теория брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое попе-

речное сечение, основана на следующих положениях.

 Поперечные сечения бруса плоские до деформации остаются пло-

скими и в деформированном состоянии – гипотеза твердых дисков (гипо-

теза Бернулли).

 Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою

длину. Поперечные сечения остаются круглыми.

 Расстояния между поперечными сечениями вдоль оси бруса не изме-

няются.

Для установления связи напряжений с внутренними усилиями рас-

смотрим несколько этапов решения задачи.

I. Условие равновесия – статическая сторона задачи (рис. 5.2, в).

∙dA – элементарное усилие;

ρ∙(∙dA) – элементарный крутящий момент;

Т – равнодействующий момент касательных напряжений.

а

dφ

ρ

dS

r

γmax

x dx

φ

dx

M

б

ρ

dA

∙dA

T

в

max

г

Рис. 5.2

71

   

A

T d A. (5.1)

Для нахождения сдвигающих напряжений  рассмотрим физическую

сторону задачи.

II. Физическая сторона задачи – закон Гука при сдвиге

  G  , (5.2)

связывающий касательные напряжения  с деформацией сдвига γ. Дефор-

мацию сдвига γ найдем, рассмотрев геометрическую сторону задачи.

III. Деформационная (геометрическая) сторона задачи

Левый торец бруса длиной х (рис. 5.2, а) под действием внешнего

скручивающего момента М повернется на угол φ. В элементе длиной dx

аналогичный угол dφ (рис. 5.2, б). Образующая цилиндра отклоняется от

исходного положения на угол γ. На поверхности элемента радиусом r угол

γ принимает максимальное значение

x

r

x

S

d

d

d

tg d max max

 

     .

В цилиндре произвольного радиуса ρ внутри элемента угол γ:

d x

d 

   . (5.3)

Рассмотренные ранее этапы объединяет математическая сторона задачи.

IV. Математическая сторона задачи

Уравнение (5.3) подставляем в уравнение (5.2),

x

G

d

d 

   , (5.4)

а уравнение (5.4) – в уравнение (5.1):

 







 

A A

A

x

A G

x

T G d

d

d d

d

2 d 2 .

Обозначая p

A

2 d A  J как полярный момент инерции (геометрическая

характеристика поперечного сечения), получим:

72

p

p G J

T

x x

T J G





 



d

, откуда d

d

d . (5.5)

Относительный угол закручивания элементарного участка dφ/dx (5.5) под-

ставим в (5.4):

G J p

G T



  

и получим напряжение в произвольной точке сечения

J p

T 

  . (5.6)

Закон распределения касательных напряжений – линейный. В центре  = 0,

так как ρ = 0, на периферии  = max, так как ρmax = r (рис. 5.2, г).

5.3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

Принимая отношение p

p p W

r

J J

 

max

, условие прочности при кру-

чении можно представить как

τ max τ

max  

Wp

T

, (5.7)

где Tmax – максимальный крутящий момент (из эпюры внутренних усилий);

Wp – полярный момент сопротивления поперечного сечения.

Для круглого сечения .

16

,

32

4 D3 J p D Wp









Для кольцевого сечения    4 

3

4

4

1

16

1 ,

32

J p D c Wp D  c



 



 ,

где

D

c  d – коэффициент пустотелости.

Если сечение некруглое (прямоугольное, треугольное, эллиптиче-

ское…), используют Jк, Wк, которые вычисляют по специальным форму-

лам (табл. 6.2).

Допускаемое напряжение при кручении [] = (0,5–0,6)[σ].

Виды расчетов на прочность:

73

а) поверочный – вычисляют max и сравнивают его с [], определяя не-

догрузку или перегрузку в процентах, либо находят коэффициент запаса

прочности и сравнивают его с нормативными значениями;

б) проектный – вычисляют диаметр вала D при известных значениях

крутящего момента T и допускаемого касательного напряжения [];

в) определяют допускаемый крутящий момент при известных диамет-

ре вала D и допускаемом касательном напряжении [].

5.4. ДЕФОРМАЦИЯ ВАЛА ПРИ КРУЧЕНИИ

Из уравнения (5.5)

G J p

T

x 





d

d (5.8)

находим угол закручивания элементарного участка

x

G J

T

p

d d



  ,

а угол закручивания всего вала

 

 



x

G J

T

p

d .

Для вала постоянной жесткости сечения (произведение G∙Jp) на длине

ℓ и постоянного крутящего момента Т угол закручивания вала

G J p

T





   . (5.9)

Полученную зависимость называют законом Гука при кручении.

Произведение G·Jp – жесткость сечения при кручении.

5.5. РАСЧЕТ ВАЛОВ НА ЖЕСТКОСТЬ

За меру жесткости принимают относительный (погонный) угол за-

кручивания, то есть угол, приходящийся на единицу длины вала (1 м)

G J p

T







 



.

Условие жесткости:  



 

G J p

T ,

74

где [θ] имеет размерность рад / м. Чаще пользуются условием

  



  

 

  max 180

G J p

T

. (5.10)

Допускаемое значение угла [θ°] закручивания зависит от назначения вала.

В трансмиссиях принимают [θ°] = (0,3–1,0) град/ м. В подвеске гусенич-

ных машин (танков, тракторов), а также артиллерийских орудий в качестве

упругих элементов используют торсионы – валы, углы закручивания кото-

рых достигают ≈ 20 град/ м. Схема торсионной подвески приведена на об-

ложке учебного пособия.

При расчете валов на прочность и жесткость часто задают мощность

N, передаваемую валом и частоту его вращения n. Для вычисления крутя-

щего момента по этим данным удобно воспользоваться табл. 5.1.

Пример 5.1. Из условия прочности и жесткости выполнить про-

ектный расчет: определить диаметры валов в двух вариантах

исполнения – сплошного и полого с

коэффициентом пустотелости с =

= d/D = 0,8. Результаты округлить

согласно ГОСТу. Построить эпюры

углов закручивания вала. Варианты

исполнения валов сопоставить по

металлоемкости и жесткости.

Таблица 5.1



M  N Н м

с

Вт

1   



 30

n

M N

n

 9549 N Н м

мин

кВт

1   

9,807

30





n

M N

n

 973,8 N кг м

мин

кВт

1   





 30 0,736

n

M N

n

 7028 N Н м

мин

л.с.

1   

9,807

30 0,736







n

M N

n

 71620 N кг см

мин

л.с.

1   

Да но:

М1 = 5 кН·м; a = 0,6 м;

М2 = 7 кН·м; b = 0,8 м;

М3 = 6 кН·м; е = 0,7 м;

[σ] = 160 МПа; [θ] = 0,8 град/м.

75

I. Определение внутренних усилий

Значение ведущего момента Мвед определим из условия равновесия

вала: Σ Мх = 0;

Мвед – М1 – М2 – М3 = 0, откуда

Мвед = М1 + М2 + М3 = 5 + 7 + 6 = 18 кН·м.

Для расчетов на прочность и

жесткость необходимо найти поло-

жение опасных сечений и величины

крутящих моментов, действующих в

этих сечениях вала (рис. 5.3, а).

Воспользовавшись методом сечений

определим внутренние усилия и

построим эпюру крутящих моментов

(рис. 5.3, б). Стрелками показаны

скачки момента. Опасными являются

все сечения на участке II, где

действует Тmax = 12 кН·м.

II. Проектный расчет валов

сплошного и полого

сечений

Предварительно найдем допускаемое касательное напряжение,

связанное с допускаемым нормальным напряжением. Принимаем по

третьей теории прочности

[τ] = 0,5 [σ] = 0,5·160 = 80 МПа.

Из условий прочности (5.7) и жесткости (5.10) при кручении находим

требуемые значения полярных момента сопротивления и момента инерции

   

3 4 3

6

max

p

max

max 0,00015м 1,5 10 м

80 10

12000

τ

τ τ ,    



   W  T 

W

T

p .

   

5 4

9 1,074 10 м

80 10 0,8

180 , 180 12000 180   

   





  

   

 

 

 

G

J T

G J

T

p

p

.

Для наглядности сходства и различия расчетов сплошного и пусто-

телого валов результаты и представляем их в виде двух колонок.

а

х

а

M1 M2 Mвед M3

T,

кНм

+

0

–

12

Рис. 5.3

b е

5

6

I II II

e f g h

б

в

г

βс10–3

+

0

– 3,14

13,19

8,79

βп10–3

+

0

–

3,12

13,11

8,7

76

Этапы расчетов

Сплошное сечение Полое сечение

Моменты сопротивления полярные

16

π 3

,спл

W D p    4

3

,пол 1

16

W πD c p  

Диаметры, рассчитанные из условия прочности

0,0914 м

π

16 1,5 10

;

π

16

3

4

спл

спл 3



 







D

W

D p

0,1090 м

π (1 )

16 1,5 10

;

π (1 )

16

3

4

4

пол

пол 3 4



 

 









с

D

с

W

D p

Моменты инерции полярные

32

4

спл

J D 

  4 

4

пол 1

32

J D  с





Диаметры, рассчитанные из условия жесткости

32 1,074 10 0,1023 м

32

4

5

спл

4 спл

спл





 











D

D J

0,1167 м

(1 0,8 )

32 1,074 10

(1 )

32

4

4

5

пол

4 4

пол

пол



 

 



 







D

с

D J

Диаметры, округленные согласно ГОСТу 6636–69 (табл. П. 2.3)

Dспл = 105 мм Dпол = 120 мм

Площади поперечных сечений

2 2

спл

2

спл

спл

0,105 86,6 см

4

π

4

π

 



А

A D

 

2  2  2

пол

2

2

пол

пол

0,120 1 0,8 40,7 см

4

π

1

4

π

  

 

A

A D с

Моменты инерции сечений, вычисленные по принятым диаметрам

5 4

4

спл 1,193 10 м

32

0,105   

 

J   4  5 4

4

пол 1 0,8 1,202 10 м

32

0,120    



J 

Жесткость поперечных сечений

G∙Jp = 80∙109∙1,19∙10-5 = 0,955∙106 Н∙м2 G∙Jp = 80∙109∙1,20∙10-5 = 0,961∙106 Н∙м2

77

Углы закручивания участков вала

0,00440

0,955 10

6 10 0,7

0,01005

0,955 10

12 10 0,8

0,00314

0,955 10

5 10 0,6

6

3

III

III

6

3

II

II

6

3

I

I





 

  

 



  

  

 



  

  

p

p

p

G J

T е

G J

T b

G J

T a

0,00437

0,961 10

6 10 0,7

0,00999

0,961 10

12 10 0,8

0,00312

0,961 10

5 10 0,6

6

3

III

III

6

3

II

II

6

3

I

I





 

  

 



  

  

 



  

  

p

p

p

G J

T е

G J

T b

G J

T a

Углы закручивания характерных сечений вала

 

3,14 10,05 4,40 10 8,79 10 .

β φ φ φ

13,19 10 ;

β φ φ 3,14 10,05 10

β φ 3,14 10 ;

β 0;

3 3

спл, I II III

3

3

спл, I II

3

спл, I

спл,

 







     

   

 

     

  



h

g

f

e

 

  3 3

пол, I II III

3

3

пол, I II

3

пол, I

пол,

3,12 9,99 4,37 10 8,74 10

β φ φ φ

13,11 10

β φ φ 3,12 9,99 10

β φ 3,12 10

β 0

 







     

   

 

     

  



h

g

f

e

Строим эпюры углов закручивания вала сплошного и полого сечений

(рис. 5.3, в и г). Результаты расчета вала в двух вариантов исполнения

сведены в табл. 5.2

III. Сопоставление металлоемкости валов двух вариантов

Металлоемкость вала определяется его объемом, то есть произ-

ведением длины на площадь поперечного сечения. Поскольку длина вала

Таблица 5.2

Наружный диаметр вала, мм

Поперечное

сечение

вала

Из условия

прочности

Из условия

жесткости

Принято

по ГОСТу

Площадь

поперечного

сечения, мм2

Угол закручи-

вания край-

него сечения

Сплошное 91,4 102 105 8659 0,00879

Полое 109 116,7 120 4072 0,00874

78

по условию задачи неизменна, сопоставим площади поперечных сечений

сплошного вала с полым

 

  2,13

120 (1 0,8 )

105

4 (1 )

4

2 2

2

2 2

пол

2

спл

пол

спл 





 





D с

D

А

А .

Выводы:

 Из условий прочности и жесткости найдены диаметры вала двух

вариантов исполнения, сплошного и пустотелого: 105 и 120 мм

соответственно.

 Вычислены деформации валов на каждом из участков, построены

эпюры углов закручивания валов сплошного и пустотелого. Жесткости

валов практически одинаковы.

 Сопоставлены металлоемкости валов двух вариантов исполнения.

Расход металла для вала сплошного сечения вдвое больше, чем для вала

пустотелого.

Примечание. Полученный ре-

зультат по сопоставлению металлоем-

кости валов ожидаем, поскольку доста-

точно большой объем материала, со-

средоточенный около центра тяжести

сечения, испытывает напряжение ниже

допускаемого и вклад его в общую прочность конструкции невелик.

Поэтому целесообразно убирать неработающий материал из этой области.

Конструкции из полого сечения созданы природой: камыш, тростник,

бамбук, злаковые культуры, трубчатые кости птиц и млекопитающих. В

авиации и космонавтике используют полые валы, в строительстве – пус-

тотные плиты перекрытий.

τmax τmax

Рис. 5.4

79

5.6. ПОНЯТИЕ О КРУЧЕНИИ ВАЛОВ

НЕКРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Задача определения напряжений в брусе с некруглым поперечным

сечением методами сопротивления материалов решена быть не может.

Упрощающая гипотеза плоских сечений в данном случае неприемлема.

Деформация скручиваемого стержня состоит из двух частей: кроме пово-

ротов поперечных сечений, как в круглом вале (рис. 5.5, б), происходит еще

и депланация (искривление, коробление) поперечных сечений (рис. 5.5, в).

Характер деформаций можно наблюдать на резиновой модели стержня

прямоугольного поперечного сечения с нанесенной на его гранях квадрат-

ной сеткой (рис. 5.5, а). Наибольшие искажения (сдвиги) квадратиков на-

блюдаются у

центра длинных

сторон прямо-

угольника, то

есть там, где

действуют наи-

большие каса-

тельные напря-

жения. Квадра-

тики у ребер, то

есть в углах се-

чения, не пере-

кашиваются,

напряжения там

отсутствуют.

Общий метод решения задачи о кручении стержня некруглого сече-

ния впервые был дан Б. Сен-Венаном в 1864 г. Теоретические исследова-

ния кручения бруса некруглого сечения приводятся в теории упругости.

При экспериментальном решении задач о кручении ценной оказалась мем-

бранная аналогия, введенная Л. Прандтлем (1903 г.). Дифференциальные

уравнения поверхности упругой мембраны, опертой по краям того же

очертания, что и поперечное сечение скручиваемого стержня, и подверг-

нутые равномерному гидростатическому давлению, аналогичны уравне-

ниям, описывающим распределение касательных напряжений в этом же

сечении. Существуют аналогии между задачами о кручении и гидродина-

мическими задачами о движении жидкости в трубах.

Рис. 5.5

б в

а

80

Анализируя различия в эпюрах касательных напряжений в круглом

(подразд. 5.3 и рис. 5.6, а) и некруглом сечениях (рис. 5.6, б и в) можно

сделать выводы.

 В брусе любой формы поперечного сечения касательные напряже-

ния в центре тяжести равны нулю.

 В брусе круглого поперечного сечения максимальные напряжения –

на периферии, в точках наиболее удаленных от центра тяжести; закон рас-

пределения напряжений – линейный.

 Если сечение имеет внешние углы (они наиболее удалены от центра

тяжести), то в них касательные напряжения обращаются в нуль. Закон рас-

пределения напряжений – нелинейный.

 Наибольшие напряжения возникают по серединам сторон;

максимальные – по серединам длинных сторон (расстояние до них

минимальное).

В расчетах на прочность и жесткость используют формулы, анало-

гичные (5.7) и (5.9)

   

к

max W

T ,

G Jк

T





   ,

где Wк и Jк – момент сопротивления и момент инерции сечения при круче-

нии – геометрические характеристики, аналогичные полярным моменту

сопротивлению и моменту инерции круглого сечения; вычисляются по

формулам, содержащим размеры сторон фигуры и коэффициенты, завися-

щие от их отношения (см. таблицу в конце раздела 6).

τ τmax max τmax

а б в

Рис. 5.6

81

6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

При растяжении стержня напряжения во всех точках одинаковы, по-

этому его напряженное состояние определяется внешней нагрузкой и пло-

щадью поперечного сечения, но не зависит от его формы.

В случае изгиба и кручения брусьев напряжения в точках поперечно-

го сечения зависят от его формы и размеров, а при изгибе еще и от его

ориентации к направлению нагрузок. Кроме площади А (англ. area) сечение

характеризуется:

статическим моментом площади S (англ. area-moment ratio);

моментами инерции J (англ. moment of inertia);

радиусами инерции i (англ. radius of inertia);

моментами сопротивления сечения W (англ. modulus of section).

У большинства характеристик физического смысла нет, но есть гео-

метрическая интерпретация и аналогия с физическими и механическими

понятиями.

6.1. СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ

Статический момент площади – рас-

пространенная на всю площадь сумма произ-

ведений элементарных площадок dA на рас-

стояние от них до этой оси (рис. 6.1)

     

A

y

A

Sz y d A, S z d A. (6.1)

Это понятие аналогично моменту силы относительно оси. Если предполо-

жить, что А – вес пластины, имеющей форму нашего сечения, то статиче-

ский момент Sz – это момент силы тяжести

пластины относительно оси z. Размерность:

единицы длины в третьей степени (см3; м3).

Знаки: плюс, ноль и минус (рис. 6.2).

Ось центральная – ось, относи-

тельно которой статический момент

площади равен нулю.

z

y

y A

0

dA

Рис. 6.1

z

А

Рис. 6.2

yC

C

y

0 zy

C

0

0





z

C

S

y

0

0





z

C

S

y

0

0





z

C

S

y

C

yC

А

82

Центр тяжести сечения – точка пересечения централь-

ных осей.

Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является центральной.

Статический момент составного сечения равен сумме статических

моментов элементов этого сечения. Это следует из свойства определенного

интеграла, который можно вычислять по частям – свойство аддитивности

(от англ. add – прибавлять, присоединять, складывать). При известных

статических моментах частей сечения можно найти координаты центра тя-

жести составной фигуры:

; .

1 2

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

n

z n n

с

n

y n n

с A A A

y A y A y A

A

y S

A A A

z A z A z A

A

S

z

  

     

 

  

     

 









Пример 6.1. Определить

положение центральных осей, па-

раллельных основанию и высоте

фигуры (рис. 6.3).

Решение. Разбиваем слож-

ную фигуру на две простые, в кон-

кретном примере – на два прямо-

угольника. Их центры тяжести С1

и С2 расположены посредине высоты и посредине ширины каждого из

прямоугольников.

Координаты центров тяжести и площади простых фигур

2 10 20 см ;   8 22 12 см .

1 см;

2

2

2

5 см;

2

10

2

5 см;

2

2 8 2

2

1 см;

2

2

2

2

2

2

1

1 2

1 2

         

     





 



    

A H A L h

y H y h

z z L

 







Размеры фигуры:

H = 10 см; h = 2 см;

L= 8 см; ℓ = 2 см.

Рис. 6.3

yC

h

H

z1

L

zС

z2

zC

С1

ℓ

y1

y2

С

2

1

yС

z

y

С2

83

Статические моменты площадей простых фигур

1 12 12 см ; 5 12 60 см .

5 20 100 см ; 1 20 20 см ;

3

2 2 2

3

2 2 2

3

1 1 1

3

1 1 1

         

         

S y A S z A

S y A S z A

z y

z y

Координаты центра тяжести составной фигуры

3,5 см.

20 12

2,5 см; 100 12

20 12

20 60

1 2

1 2

1 2

1 2 











 













A A

y S S

A A

S S

z z z

с

y y

с

Через найденную точку С (рис. 6.3) проводим центральные оси zC и yC, па-

раллельные основанию фигуры и ее высоте.

Примечание. Центр тяжести фигуры, составленной из двух частей,

лежит на линии, соединяющей центры тяжести простых фигур ее состав-

ляющих, причем расстояния до них обратно пропорциональны площадям

простых фигур. Если сложная фигура составлена из нескольких простых,

то общий центр тяжести находится внутри многоугольника, вершинами

которого являются центры тяжести простых фигур.

6.2. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ

Момент инерции – распространенная на всю площадь сум-

ма произведений элементарных площадок dA на квадраты рас-

стояний от них до этой оси.

Осевые моменты инерции      

A

y

A

J z y d A, J z d A. 2 2 (6.2)

Полярный момент инерции   

A

J p d A, 2 (6.3)

где ρ – расстояние от площадки dA до точки

(полюса), относительно которого вычисляется

полярный момент инерции. Полярный момент

инерции связан с осевыми моментами инерции

          

A A A

J p d A z y d A z y d A, 2

1

2

1

2 2 2

то есть для любой пары взаимно перпендику-

лярных осей, проходящих через полюс 0

J p  J z  J y  J z1  J y1. (6.4)

ρ

y1

A

0

dA

Рис. 6.4

z1

z1

z

y y 1 z

y

84

Сумма моментов инерции относительно любых двух взаимно

перпендикулярных осей с общим началом постоянна.

Центробежный момент инерции определяется интегралом произ-

ведений элементарных площадей на их расстояния до двух взаимно пер-

пендикулярных осей (рис. 6.4)

   

A

J zy z y d A. (6.5)

Размерность моментов инерции – единицы длины в четвертой степе-

ни. Осевые и полярный момент инерции всегда положительны (так как пе-

ременные z, y во второй степени), центробеж-

ный момент инерции может принимать значе-

ния (+), (–) и ноль. Если фигура имеет ось

симметрии, то относительно этой оси центро-

бежный момент инерции равен нулю. Действи-

тельно, произведения z1y1 и z2y2 для фигур А1 и

А2 (рис. 6.5) различаются лишь знаком, следо-

вательно, их сумма равна нулю.

Пример 6.2. Найти моменты инерции пря-

моугольника относительно центральных осей, па-

раллельных основанию и высоте.

Решение. Обозначим ширину b и высоту h

сечения соответственно от английских слов breadth

и height. Выделим элементарную площадку

dA= b∙dy.

.

3 12

d d

2 3

2

2 3

2

J y2 A b y2 y b y bh

h

h

h

A h

z     

 

 

Аналогичное решение относительно оси у. Таким образом

12

bh3 J z  .

12

b3h J y  . (6.6)

Момент инерции прямоугольника пропорционален первой

степени основания и кубу высоты.

y dy

h/2

z

y

b

dA

Рис. 6.6

h/2

z1 z2

C1 C2

y1

y2

0 z

y

Рис. 6.5

А1 А2

85

Пример 6.3. Найти моменты инерции круглого и кольцевого сечений.

Решение. Площадь dA элементарного кольца радиусом ρ (рис. 6.7) –

произведение длины окружности кольца на его толщину dρ: d A  2πρ d ρ.

Полярный момент инерции круга:

  .

4 32

d 2 d 2 2

2 4

0

4

J 2 А 3 D D

D

A

p          

Поскольку имеется связь J p  jz  J y (6.4), а для круга

J z  J y , то .

2

p

z y

J

J  J 

Таким образом, полярный и осевые моменты инерции

круга соответственно равны

32

D4 J p



 .

64

D4 J z J y



  . (6.7)

Кольцо 







 



















4

4 4 4 4

1

32 32 32 D

J D d D d p . Обозначая

D

с  d – коэффициен-

том пустотелости, получим полярный и осевые моменты инерции кольца:

 4 

4

1

32

J p D  с



 ,  4 

4

1

64

J z J y D  с



  . (6.8)

Пример 6.4. Найти момент инерции треугольника (рис. 6.8) отно-

сительно центральной оси, параллельной основанию.

Решение. Выделенную элементарной площадку dA можно предста-

вить в виде прямоугольника, основание которого by переменно, так как за-

висит от координаты у. Площадь выделенного

элемента dA = by∙dy.

Из подобия Δ DBC ~ Δ dBc следует:







  



 h y

h

b b

h

h y

b

b

y

y

3

2 3 , откуда 2 .

Тогда h y y

h

A b d

3

d 2 







   .

Момент инерции относительно оси z

y

z

ρ

dρ

dA

D

Рис. 6.7

⅓h ⅔h

b

by

c

dA

C

B

z

D

y dy

d

y

Рис. 6.8

86

 

 

 







 





  







   

h

h

h

A h

z

h y y bh

h

h y y y b

h

J y A b

3

2

3

2 / 3 3

/ 3

3 4

2 2 .

3 3 4 36

d 2

3

d 2

Окончательно

36

bh3 J z  . (6.9)

6.3. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ

ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

С – центр тяжести фигуры площа-

дью А; оси z, y – центральные; a, b –

расстояния между параллельными ося-

ми. Новые координаты для произволь-

ной площадки dA:

z1  z  b; y1  y  a.

 

  

 

    

  

A A A

z

A A

z

J y A a y A a A

J y dA y a A

d 2 d d .

d ;

2 2

1

2 2

1 1

Интеграл I – момент инерции фигуры относительно центральной оси;

интеграл II – статический момент площади A относительно оси y равен

нулю, поскольку эта ось является центральной (см. подразд. 6.1);

интеграл III – площадь А фигуры.

J y J y b A

2

1   . (6.10)

Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту

инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс

произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Для центробежного момента инерции

J z1y1  J zy  ab A. (6.11)

Эти соотношения часто называют формулами Гюйгенса - Штейнера.

I II III

y

y1

b

a

z

z1

y

0

A

dA

z

y1

z1

C

Рис. 6.9

2 ;

Jz1  J z  a A

87

Пример 6.5. Определить моменты инерции составной фигуры от-

носительно центральных осей, параллельных основанию и высоте фигуры.

Решение. Используем результаты

решения примера 6.1:

2,5 см; 3,5 см.

5 см; 1см;

5 см; 1см;

20 см ; 12 см ;

1 2

1 2

2

2

2

1

 

 

 

 

zC yC

y y

z z

A A

Расстояния между центральными

осями zC и y осями составляющих

простых фигур zi, yi

5 2,5 2,5 см.

1 2,5 1,5 см;

1 3,5 2,5 см;

5 3,5 1,5 см;

2 2

1 1

2 2

1 1

    

     

     

    

C

C

C

C

b z z

b z z

a y y

a y y

Фигура 1 выше центральной оси –

расстояние а1 > 0; фигура 2 ниже оси zc – расстояние а2 отрицательно. Ана-

логично с координатами b1 и b2. Моменты инерции относительно цен-

тральных осей, параллельных основанию и высоте (используем формулы

(6.10) и (6.11)):

 

   2,5 12 212 75 287 см ;

12

1,5 20 8 2 2

12

2 10

12 12

2 4

3

2

3

1

2

2

3

1

2

1

3

  

 



 



  





 



 



 







 



 





 



 



 







J zc  H a A L h a A

 

 

    2,5 12 52 111 163 см .

12

1,5 20 8 2 2

12

2 10

12 12

2 4

3

2

3

2

2

2

3

1

2

1

3

  

 



 



 





 



 



  







 



 





 



 



 







J yc  H b A L h b A

 

Центробежный момент инерции

           4

J zc yc  0  a1b1A1  0  a2b2A2  1,5 1,5 20   2,5 2,5 12  120 см .

Оси z1, z2 и y1, y2 являются осями симметрии, поэтому относительно них

центробежные моменты инерции равны нулю.

a1

b1

zС

b2

z1 С1

y1

y2

С

2

1

yС

С2

a2

z2

zС

z2

z1

y1

y2

yC Рис. 6.10

88

Пример 6.6. Определить мо-

мент инерции таврового се-

чения (рис. 6.11) относи-

тельно центральной оси и

оси, проведенной через осно-

вание.

Решение. Сложную фигуру разбиваем

на простые: два прямоугольника, центры тяжести которых, находятся по-

средине ширины и посредине высоты. Через основание фигуры проводим

ось z, от которой определяем расстояние до центральных осей z1 и z2 эле-

ментарных фигур. Вычисляем абсциссы центров тяжести фигур и их пло-

щади.

3 мм;

2

6

1 2 y  m  

6 4 24 мм2;

A1  m t   

8 мм;

2

6 4

2 2 y  m  t   

20 4 80 мм2.

A2  b  t   

Моменты инерции элементарных фигур относительно оси z

 

  8 80 5227 мм .

12

20 4

12

3 24 288 мм ;

12

4 6

12

2 4

3

2

2

2

3

2

2 4

3

1

2

1

3

1

  



  





  



  





J b t y A

J t m y A

z

z

Момент инерции составной фигуры относительно оси z

    4

J z  J z 1  J z 2  288  5227  5515 мм .

Положение центральной оси

6,85 мм.

24 80

3 24 8 80

1 2

1 1 2 2 



  





  



A A

y y A y A c

Момент инерции относительно центральной оси (м и н и м а л е н ! )

J zc  J z  yc2  A  5515  6,852 24  80 635 мм4.

6.4. ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ

Свяжем новые координаты z1, y1 элементарной площадки dA с коор-

динатами в исходной системе z, y (рис. 6.12):

.

0 0 0 ;

1

1

y BE BF EF BF DC

z E D DE D CF

    

    

Длины отрезков в исходной системе координат:

Дано:

m = 6 мм

t = 4 мм

b = 20 мм

b

y

z1

z2

z

y1

t

y2

t

1

2

m

Рис. 6.11

yс

zс

89

cosα; sinα.

0 cosα; sinα;

   

   

BF y DC z

D z CF y

Таким образом:

cosα sinα.

cosα sinα;

1

1

   

   

y y z

z z y

Момент инерции в новой системе координат

Выполнив аналогичные действия относительно другой оси, получим:

sin 2 cos2 .

2

cos sin sin 2 ;

cos sin sin 2 ;

1 1

2 2

1

2 2

1

  





     

     

zy

z y

z y

y y z zy

z z y zy

J

J J

J

J J J J

J J J J

(6.12)

Примечание. Относительно главных осей центробежный момент

инерции равен нулю (см. подразд. 6.2).

Складывая первые два равенства, получим (см. формулу (6.4)

J z1  J y1  J z  J y  J p . (6.13)

Сумма моментов инерции относительно любых двух взаимно-

перпендикулярных осей не меняется (инвариантна) при их повороте.

6.5. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

При изменении угла α значения Jz1, Jy1, Jz1y1 (6.12) изменяются, и при

некотором значении угла α0 они принимают экстремальные значения. Взяв

первую производную по углу α от формул (6.12) и приравняв ее нулю, по-

лучим:

z y

zy

J J

J





 

2

tg 2 0 . (6.14)

Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной

из которых осевой момент максимален, а относительно другой – минима-

лен. Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно

Рис. 6.12

z1

dA

z

y1

y1

y

0

z1

α

z

y

D

z

y1

y

0

z1

α

α

E

F

C

B

 

  

 

          

       

A A A

A A

z

y A z y A z A

J y A y z

cos d 2 cos sin d sin d .

d cos sin

2 2 2 2

2 2

1 1

90

главных осей называют главными моментами инерции. Их вычис-

ляют следующим образом:

2

2

max,min 2 2 zy

z y z y J

J J J J

J   





 

 





 . (6.15)

Главные оси обладают свойствами:

 центробежный момент инерции относительно них равен нулю;

 моменты инерции относительно главных осей экстремальны;

 для симметричных сечений оси симметрии являются главными.

Главные оси, проходящие через центр тяжести фигуры,

называют главными центральными осями инерции.

Пример 6.7. Определить, каким обра-

зом изменяется момент инерции квадратного

сечения (рис. 6.13) при его повороте.

Решение. Момент инерции относитель-

но повернутой оси (6.12):

cos2 sin2 sin 2 .

J z1  J z   J y   J zy 

Поскольку оси z, y квадрата являются осями симметрии, то есть

главными, то центробежный момент инерции относительно них Jzy = 0:

  .

12

cos sin

12

sin

12

cos

12

4

2 2

4

2

4

2

4

1

J a a a a z         

Выводы. 1. Моменты инерции квадратного сечения с изменением

положения центральных осей остаются постоянными.

2. В квадрате и других правильных многоугольниках (треугольниках,

пятиугольниках) любая центральная ось является и главной. Такие фигуры

называют фигурами равного сопротивления.

Пример 6.8. Для фигуры, представленной в примере 6.1, опреде-

лить главные центральные моменты инерции.

Решение. Используем результаты решения примеров 6.1 и 6.5. Мо-

менты инерции относительно центральных осей инерции, параллельных

основанию и высоте:

J zc  287 см4; J yc 163 см4; J zc yc  120 см4 .

Рис. 6.13

α

y1

a

a

z

z1

y

91

Направления главных осей инерции (6.14)

 

2 62,6 ; 31,3

1,935;

287 163

2 2 120

tg 2

0 0

0

   







 





 

zс yс

zс yс

J J

J

.

Угол α0 (положительный) откладываем

против хода часовой стрелки от оси с бόльшим

моментом инерции, то есть zC .

Значения главных центральных моментов

инерции (6.15)

 120 360 см ;

2

287 163

2

287 163

2 2

2 4

2

2

2

max

   







 







   





 

 





  zc yc

zc yc zc yc

u J

J J J J

J J

 120 90 см .

2

287 163

2

287 163

2 2

2 4

2

2

2

min

   







 







   





 

 





  zc yc

zc yc zc yc

v J

J J J J

J J

Для проверки вычислений используем свойство (6.4) суммы моментов

инерции: J zc  J yc J uJv  const.

287 163  360  90; 450  450. Вычисления выполнены верно.

6.6. РАДИУС ИНЕРЦИИ

Радиус инерции i – геометрическая характеристика сечения,

связывающая момент инерции J фигуры с ее площадью A формулами

J y  iy2  A; J z  iz2  A. (6.16)

Радиус инерции можно понимать как расстояние от оси до той точки, в ко-

торой следует условно сосредоточить площадь сечения А, чтобы момент

инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения. Из

(6.16) следует

; .

A

i J

A

J

i z

z

y

y   (6.17)

Рис. 6.14

zС

α

С1

С

2

1

yС

С2

u

v

92

Таким образом, радиус инерции отражает отношение жесткости сечения на

изгиб (EJ) и на сжатие (EA). Эту характеристику используют преимущест-

венно в расчетах при внецентренном растяжении или сжатии (см. примеры

8.4, 8.5 и 8.6) и продольном изгибе (см. раздел 11).

6.7. МОМЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Момент сопротивления – отношение момента инерции к

расстоянию до наиболее удаленной точки.

В расчетах на прочность при изгибе используют

осевые моменты сопротивления

ymax

W J z

z  и

zmax

J

W y

y  . (6.18)

Например, для прямоугольника

6

2

12

3 2

max

bh

h

bh

y

W J z

z    .

6

2

12

3 2

max

b h

b

b h

z

J

W y

y    .

В расчетах на прочность при кручении сечений круглого профиля

используют полярный момент сопротивления

max

 p

p

J

W . (6.19)

Так, для круга и кольца соответственно

16

2

32

4 3

max

D

D

J D

W p

p











 .    4 

3

4

4

max

1

16

2 1

32

c D c

D

J D

W p

p 



 







 .

Примечание. Для сечений некруглого профиля, например прямо-

угольного, моменты инерции и моменты сопротивления при кручении вы-

числяют по специальным формулам, включающим высоту и ширину про-

филя, а также коэффициент, зависящий от отношения высоты к ширине

(см. подразд. 5.6 и табл. 6.1).

Геометрические характеристики для некоторых простых сечений:

прямоугольника, треугольника, круглого сплошного, пустотелого а также

тонкостенного профилей приведены в табл. 6.1.

ymax

zmax

z

y

Рис. 6.15

Таблица 6.1. Геометрические характеристики простейших сечений

Площадь При изгибе При кручении

Сечение A J z J y Wz Wy Jк Wк

b  h

12 12

b h3 h b3

6 6

bh2 h b2

 

0,01972

0,04632ln

3 , где





 



h b

b h

 

0,04295

0,025 ln

2 , где









h b

b h

64

π D4

32

D3

32

D4

16

πD3

 



 







2

2 2

1

4 D

D d

 





 









4

4 4

D

1 d

64

D

 





 









4

3 4

D

1 d

32

D

 





 









4

4 4

D

1 d

32

D

 





 









4

3 4

D

1 d

16

D

Dср t t

D

8

3

 ср

t

D

4

2

ср 

t

D

4

3

 ср

t

D

2

2

 ср

2

bh

36 48

bh3 hb3

24 24

bh2 hb2

Равносторонний

15 3

h4

Равносторонний

0,05b3

h

b

y

z

Dср

z

y

t

D

z

y

d

D

z

y

z

y

b

h

4

D2

93

94

7 . ПЛ ОС К ИЙ П ОП Е Р Е Ч НЫЙ ИЗ Г И Б

Изгиб – вид деформирования, при котором происходит ис-

кривление продольной оси прямого бруса или изменение кривизны

кривого бруса.

Изгиб плоский (прямой изгиб) – случай изгиба, при кото-

ром внешние силы лежат в главной плоскости инерции и являют-

ся перпендикулярными к геометрическим осям. Если сечение имеет

ось симметрии, то внешние силы располагаются в плоскости симметрии.

Главная плоскость инерции – плоскость, проходящая че-

рез геометрическую ось бруса и главную ось инерции.

Изгиб чистый – вид

деформации, при котором

из шести внутренних усилий

не равно нулю одно – изги-

бающий момент Mz или My .

Изгиб поперечный –

случай изгиба, при котором

в сечениях бруса наряду с из-

гибающим моментом М дей-

ствует и поперечная сила Q.

В нагруженном состоянии

балка прогибается так, что часть волокон укорачивается, другая часть во-

локон удлиняется.

Нейтральный слой – слой волокон, в котором нормальные

напряжения равны нулю.

Нейтральная ось – след пересечения нейтрального слоя с

плоскостью поперечного сечения.

Балка – конструктивный элемент, с прямолинейной геометриче-

ской осью, обычно в виде бруса, работающий глав-

ным образом на изгиб.

Балка простая – однопролетная балка

без консолей, лежащая на двух опорах: шар-

нирно-подвижной и шарнирно-неподвижной

(рис. 7.2, а). Расстояние между опорами на-

зывают пролетом.

Рис. 7.2

а

б

в

q

M F

y

x

z

Силовая

плоскость

Главные

плоскости

инерции

Рис. 7.1

95

Консоль – балка с одним защемленным концом (рис. 7.2, б)

или часть балки, свешивающаяся за опору (рис. 7.2, в).

Опоры и опорные реакции

Схемы реальных опорных устройств можно свести к трем типам.

Шарнирно-подвижная опора допускает поворот опорного сече-

ния и перемещение его в одном направлении. Опорная реакция перпенди-

кулярно к плоскости опирания катков.

Шарнирно-неподвижная опора допускает только поворот

опорного сечения балки. Реакция имеет две составляющие: горизонталь-

ную и вертикальную.

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Рис. 7.3

96

Жесткая заделка (защемление) не допускает поворота опорно-

го сечения и любых его перемещений. Имеет три реакции: горизонтальную

и вертикальную составляющие, а также опорный момент.

7.1. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

Из шести внутренних усилий, действующих в сечении в общем слу-

чае, при плоском поперечном изгибе только два не равны нулю: Qy и Mz

(индексы часто опускают).

Правила знаков устанавливают не по направ-

лению действию сил, как в теоретической механике,

а по виду деформации (рис. 7.6).

Поперечная сила Q в сечении положи-

тельна, если ее векторы стремятся вращать

части рассеченной балки по ходу часовой стрел-

ки (положительная поперечная сила вызывает

положительное касательное напряжение).

Изгибающий момент М в сечении положителен, если он

вызывает сжатие в верхней части бруса, а растянутая область

изгибаемого элемента – в нижней.

Часто эпюры изгибающего момента строят со стороны сжатой зоны

элемента, но удобнее – со стороны растянутой. В этом случае эпюра мо-

мента соответствует виду изогнутой оси балки.

Иногда, в связи со сложившейся традицией, употребляют термины «растянутые

волокна», «сжатые волокна», хотя структура большинст-

ва материалов, используемых в машиностроении и

строительстве, не волокнистая.

Пример 7.1. Определить внутренние

усилия в поперечном сечении консольной балки,

нагруженной сосредоточенной силой (рис.

7.7).

Решение. Опора (защемление) наклады-

вает три связи, обусловливающие возникновение

трех реакций: вертикальную и горизонтальную

составляющие реакции Rx и Ry, а также опорный

Рис. 7.6

+Q

+Q

+M

х

ℓ

M(x)

Ry M

F

х Rx

Q(x

F

 

М

 

Q

F∙ℓ

F

Рис. 7.7

97

момент М. В целях упрощения расчета внутренние усилия определяем со

свободного конца. Используем метод сечений:

Р а с с е к а е м балку на две части;

О т б р а с ы в а е м одну из частей;

З аменяем действие отброшенной части внутренни-

ми усилиями (положительными в соответствие с ус-

тановленными правилами знаков), составляем

У р а в н е н и я равновесия, из которых находим внутренние усилия. Сис-

тема координат помещена в центр тяжести С рассматриваемого сечения

(рис. 7.8).

I участок: 0 ≤ х ≤ ℓ.

 

       

    

0; 0; .

0; 0; ;

( ) ( )

( ) ( )

M F x M M F x

Y F Q Q F

z x x

x x

Поперечная сила Q(x) – функция от абсциссы х – величина постоянная.

Изгибающий момент M(x) – линейная функция от абсциссы х, описывается

уравнением прямой; для построения прямой достаточно найти значения

функции в двух точках – в начале и в конце участка:

0 0;  . Mx  Mx  F 

Строим эпюры Q и M. Опасным является сечение в защемлении.

Пример 7.2. Определить внутренние

усилия в поперечном сечении консольной балки,

нагруженной равномерно распределенной на-

грузкой интенсивностью q (рис. 7.9, а).

Решение. В защемлении возникают три

опорные реакции, но определять их не станем,

поскольку внутренние усилия в произвольном

сечении участка удобно рассматривать со сво-

бодного конца. Расстояние до произвольного

сечения от начала участка изменяется в

 Количественная характеристика меры силы. Измеряется величиной силы, приходящейся на единицу

длины: Н/м. Аналогичные производные единицы широко распространены в технике и быту: скорость

линейного перемещения – км/час; скорость вращения – об/мин; плотность вещества – г/см3; экономич-

ность ДВС – л/100 км пути; вес (масса) прокатного профиля – кг/пог. м длины; цена продукта – руб/кг;

цены проводов, тканей – руб/м и др.

Рис. 7.8

M(x)

Q(x)

F

yx

z

x x

x

C

Рис. 7.9

ℓ а

Ry M

х Rx



 М



 Q

Q(x)

qℓ

q

M(x)

q

qx х/2

2

2 q

х

б

в

г

98

пределах: 0 ≤ х ≤ ℓ. Сила q∙x (рис. 7.9, б) является эквивалентной (резуль-

тирующей) действию распределенной нагрузки q на длине x отсеченной

части балки и приложена посредине участка. Расстоя-

нием х/2 определяется плечо от силы q∙x до сечения, в

котором определяют внутренние усилия (рис. 7.10).

  



     

      

.

2

0; 2 0,

0; 0, .

2

( ) ( )

( ) ( )

M M qx x M q x

Y Q qx Q qx

z x x

x x

Функция поперечной силы Q(x) – уравнение прямой.

Для ее построения можно найти значения Q в двух

точках: в начале и в конце участка

Qx0  0; Qx  q.

Функция изгибающего момента М(x) – уравнение параболы (переменная х

во второй степени). Для ее построения двух точек, в начале и в конце уча-

стка, недостаточно. Следует найти положение экстремума функции, при-

равняв нулю ее первую производную

;

2

0;

2

0



Mx  Mx  q

; 0; 0.

d

d

экст

( )  qx  qx   x 

x

M x

Парабола выпукла вниз, ее вершина в начале координат, правая ветвь яв-

ляется огибающей ординат эпюры моментов. Строим эпюры Q и M (рис.

7.9, в и г). Опасным является сечение в заделке, где действуют оба макси-

мальных усилий: изгибающий момент и поперечная сила. Именно эти зна-

чения будут участвовать в расчетах на прочность.

Общий подход к определению внутренних усилий при изгибе

В балке бесконечной протяженности (рис. 7.11) выберем начало ко-

ординат на левом конце. Внутренние

усилия находим методом сечений

          

n x

Y Fi q x x Q x

1 0

0; d 0;

       

n x

Q x Fi q x x

1 0

откуда : d .

Рис. 7.10

х/2

x

z

x x

qx

C

Q(x)

M(x)

yx

х

а1

а2

х dx

F1 M1 F2 M2 M(x)

y

x

Q(x)

q(x)

Рис. 7.11

99

Поперечная сила в произвольном сечении равна алгебраической сум-

ме всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения х.

откуда:          

n x

i i q

n

M x Mi F x a C q x x

1 1 0

d .

Здесь Сq – множитель, имеющий смысл координаты центра тяжести

распределенной нагрузки.

Изгибающий момент в произвольном сечении равен алгеб-

раической сумме моментов от всех внешних сил, действующих

по одну сторону от сечения х, взятых относительно центра

тяжести рассматриваемого сечения.

7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ

В балке, находящейся под действием плоской системы сил, двумя

поперечными сечениями выделим эле-

мент протяженностью dx (см. рис. 7.11),

к которому не приложены сосредоточен-

ные силы и моменты. Поскольку вся

балка находится в равновесии, то в рав-

новесии находится и элемент dx.

 

d d 0,

0; d d 0;

   

      

Q q x

Y Q Q Q q x

откуда q

x

Q 

d

d

. (7.1)

Первая производная от поперечной силы по абсциссе х равна ин-

тенсивности распределенной нагрузки, перпендикулярной оси балки.

  0 ;

2

M  0; M  M  dM Qdx  qdxdx  C

dM Qd x  0, откуда Q

x

M 

d

d

. (7.2)

             

n x

i i q x

n

Mz Mi F x a C q x x M

1 1 0

0; d 0;

→ 0

Рис. 7.12

Q Q+dQ

M+dM

C

q∙dx

dx/2

dx

q

M

100

Первая производная от изгибающего момента по абсциссе

х равна поперечной силе.

С учетом формул (7.1) и (7.2) получаем дифференциальные зависи-

мости Д. И. Журавского

( ).

d

d

d

d

2

2

q x

x

Q

x

M   (7.3)

Полученные зависимости действительны в правой системе коор-

динат, то есть когда ордината х возрастает от левого конца балки к пра-

вому. В левой системе координат знаки перед Q и q обратные.

7.3. ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР Q И M

Напомним, геометрический смысл первой производной неко-

торой функции – тангенс угла наклона касательной к кривой,

отображающей эту функцию, и положительным направлением

оси абсцисс. На основании дифференциальных зависимостей (7.3) при

изгибе установлены следующие правила.

1. На участках, свободных от распределенной нагрузки, эпюра Q ог-

раничена прямыми линиями, параллельными базовой (поперечная сила по-

стоянна), а эпюра М – наклонными (изгибающий момент изменяется по

линейному закону).

2. На участке с равномерно распределенной нагрузкой эпюра Q –

наклонная прямая, а эпюра М – парабола выпуклостью в направлении дей-

ствия распределенной нагрузки q.

3. В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:

а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил;

б) на эпюре М будут изломы, причем острие излома направлено по дейст-

вию силы.

4. В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент, эпюра

М имеет скачок на величину этого момента. На эпюре Q действие пары сил

не отражается.

101

5. На участках, где Q > 0, момент М возрастает, то есть положитель-

ные ординаты увеличиваются, отрицательные – уменьшаются. На участках,

где поперечная сила Q отрицательна, момент М убывает.

6. В том сечении, где эпюра Q, изменяясь, пересекает базисную ли-

нию (поперечная сила Q = 0), изгибающий момент достигает экстремума

(максимума или минимума). Касательная к линии, ограничивающей эпюру

М в этом сечении, параллельна оси эпюры.

7. На концевой шарнирной опоре поперечная сила равна реакции

этой опоры, а изгибающий момент равен нулю, если в опорном сечении не

приложена пара сил.

8. В защемленном конце балки (заделке) значения Q и M равны

опорной реакции и опорному моменту.

7.4. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

Рассмотрим простейший случай изгиба – чистый изгиб, при котором

в поперечных сечениях бруса действует только одно внутреннее усилие

– изгибающий момент. Например, в условиях чистого изгиба работают

участки балки (рис. 7.13), на которых изгибающий момент постоянен, а

поперечная сила отсутствует (dM/dx = 0).

При расчете балки на изгиб будем считать справедливыми принятые

ранее гипотезы, из которых выделим следующие:

Рис. 7.13

М0

Q

чистый

изгиб

MF

F

F

F a

Fa

Q

чистый

изгиб

MF

F F

a

Fa

Q

чистый

изгиб

MF

a

F

F

qℓ2/8

Q

чистый

изгиб

M

q

qℓ/2

102

 гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сечения бруса

плоские до деформации, остаются плоскими и в деформированном со-

стоянии;

 гипотеза постоянства напряжений по ширине бруса;

 гипотеза отсутствия боковых давлений: боковые волокна бруса

не давят друг на друга.

Геометрический анализ

Двумя сечениями ad и bc на расстоянии dx выделим малый элемент

(рис. 7.14, а, б) и рассмотрим его деформацию (рис. 7.14, в). Длина отрезка

нейтрального слоя dx = ρ∙dφ. Волокно нейтрального слоя не деформируется

ε = 0, σ = 0. Любое другое волокно, находящееся на расстоянии у изменит

свою длину и станет равным (ρ + y)dφ. Его относительное удлинение

   

d

d d

d

d

 

     





  y

x

x

x .

После преобразования получим



  y

x . (7.4)

Деформация волокон пропорциональна их расстоянию до

нейтрального слоя.

Физический анализ

В общем случае нагружения продольная деформация по закону Гука

(см. систему уравнений (3.16))

   x E x y z

  1      ,

a b

d c

M M

a b

d c

а

б

dx

x

Рис. 7.14

σ

ρ

a b

c

dφ

– +

d y

x

в

dA

y

σx∙dA

M

г

x

y

z

103

однако в силу гипотезы отсутствия боковых давлений σz = 0 и

σy = 0, то есть волокна бруса испытывают только деформацию растяжения.

Имеет место линейное напряженное состояние

E

x

x



  (7.5)

Статический анализ (рис. 7.14, г)

σх∙dA – элементарное усилие; y(σх∙dA) – элементарный момент.

Момент во всем сечении

   

A

Mz σх y dA. (7.6)

Синтез установленных зависимостей

Приравниваем правые части уравнений (7.4) и (7.5):

E y

E

y

x

x



 







, откуда . (7.7)

Зависимость (7.7) подставляем в (7.6)

z

A

z J M E y A E







  2d ,

где  

A

J z y d A 2 – момент инерции, геометрическая характеристика по-

перечного сечения (см. (6.2)). Из последнего равенства найдем отношение

z

z

J

E  M



(7.8)

и подставим его в (7.7). Опуская индекс при σ, получим уравнение

А. Навье (1826)

y

J

M

z

  z . (7.9)

Следствия из формулы Навье

 Центр тяжести сечения является началом координат для анализа на-

пряжений и приведения внешних сил.

 Напряжения изгиба зависят от значений изгибающего момента, мо-

мента инерции сечения и координаты точки.

104

 Напряжения в любой точке, лежащей

на одинаковом расстоянии от нейтральной

линии, равны между собой.

 Наибольшие по величине напряжения

возникают в точках, наиболее удаленных от

нейтрального слоя.

Условие равновесия

Из статического анализа (рис. 7.14, г) следует:

  0;   σ d  0

A

X N x A .

В полученное равенство подставляем (7.7): E y

x ρ

σ  .

Тогда 0

ρ

d

ρ

   z 

A

E y A E S ,

где   

A

Sz y d A – статический момент площади, геометрическая характе-

ристика (см. подразд. 6.1). Поскольку отношение 0

ρ

E  , то Sz = 0,

следовательно, нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения.

Радиус кривизны нейтрального слоя является и радиусом кривизны

изогнутой оси бруса.

Деформация балки при изгибе – кривизна ее геометрической оси.

Из (7.8)

z

z

J

E  M

 следует

z

z

E J

M







1

. (7.10)

Это равенство называют законом Гука при изгибе.

Следствия из закона Гука при изгибе

 Момент инерции сечения Jz характеризует способность бруса сопро-

тивляться искривлению в зависимости от размеров и формы его попереч-

ного сечения. Чем больше значение Jz при заданной величине изгибающего

момента М, тем большим окажется радиус ρ кривизны нейтрального слоя

бруса, то есть брус искривляется меньше.

Рис. 7.15

y

ymin ymax

σmax

σmin

z

y

105

 Модуль упругости Е материала характеризует способность бруса со-

противляться искривлению.

Произведение E·Jz называют жесткостью сечения при изгибе.

7.5. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ

ПО НОРМАЛЬНЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

Максимальные напряжения в опасном (где действует Mmax) сечении

max

max

max y

J

M

z

  .

Принимая отношение z

z W

y

J 

max

, получим условие прочности при изгибе

   

Wz

M max

max , (7.11)

где Wz – осевой момент сопротивления сечения (см. подразд. 6.7).

Для прямоугольника

6

b h2 Wz



 .

Для круга 3 0,1 3

32

Wz D  D



 .

Для кольца 31 4  0,1 31 4 

32

Wz D  c  D  c



 , где с = d/D – коэффициент

пустотелости. Здесь d – внутренний диаметр полого сечения.

Используя условие прочности (7.11) выполняют три вида расчетов.

 Поверочный. Вычисляют σmax, а затем вычисляют перегрузку или

недогрузку в процентах по отношению к допускаемому напряжению, либо

находят коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текуче-

сти для пластичных материалов или пределу прочности для хрупких.

 Проектный. Из условия прочности при изгибе (7.11) находят необ-

ходимое значение момента сопротивления. Размеры нестандартных сече-

ний (круг, прямоугольник…) округляют в соответствие с ГОСТом. Стан-

дартные прокатные профили выбирают из таблиц сортамента. Если размер

сечения выбран меньше требуемого, то выполняют поверочный расчет.

Перегрузка более 5 % не допускается.

106

 Определение допускаемой нагрузки. При известных характеристи-

ках прочности материала и заданном размере поперечного сечения опреде-

ляют допускаемое внутреннее усилие (изгибающий момент), а затем, ис-

ходя из схемы нагружения, находят допускаемые внешние силовые факторы.

Если сечение несимметрично относительно оси z (трапецеидальное,

треугольное, тавровое…), а также при использовании хрупкого материала

(чугун, керамика…), условие прочности проверяют отдельно по макси-

мальным и минимальным напряжениям, используя формулу (7.9).

7.6. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

От поперечной силы Qy в поперечном сечении возникают касатель-

ные напряжения у. Для их определения приняты следующие гипотезы.

 Касательные напряжения у параллельны поперечной силе Qy и соот-

ветственно оси 0у.

 Касательные напряжения равномерно распределены по ширине по-

перечного сечения на любом уровне их определения, задаваемом орди-

натой у.

 Для определения нормальных напряжений используют выражения,

выведенные для случая чистого изгиба.

Д. И. Журавским предложена формула

z

y z

b j

Q S



 

  , (7.12)

где Qy – поперечная сила в рассматриваемом сечении;

Sz – статический момент площади А' (рис. 7.16 и 7.17) отсеченной

части сечения относительно центральной оси z;

b – ширина сечения на уровне исследуемой точки;

Jz – момент инерции сечения относительно центральной оси z.

Знак касательных напряжений у определяется знаком поперечной

силы Qy.

107

Пример 7.3. Построить эпюру распределения касательных на-

пряжений  для прямо-

угольного сечения (рис.7.16).

Решение. Момент

инерции сечения

.

12

bh3 J z 

Площадь А отсеченной

части сечения

.

2







A  b h  y

Ордината yC центра тяжести С′ площади отсеченной части сечения

.

2 2

1







y   h  y C

Статический момент Sz площади отсеченной части сечения

1 4 .

2 2 2 2 4 8

2

2

2

2

2







   







 





  







  







       y

h

S A y b h y h y b h y bh z C

S 

z изменяется по параболической зависимости (координата у во второй

степени) и определяет характер изменения напряжения :

 



 



   





 



 



 

  2

2

2

2

2

3

1 4

2

1 4 3

8

12 y

bh h

y Q

h

bh

b bh

Q

b J

Q S

z

z .

При у = 0 (на центральной оси)

τ 

A

Q

2

τ 3 max  . (7.13)

При у = h/2 (на периферии)  = 0.

Пример 7.4. Построить

эпюру распределения каса-

тельных напряжений  для

круглого сечения (рис. 7.17).

Выполняя аналогичные

рассуждения (здесь не приво-

дятся), получим

Рис. 7.17

A

1,33Q А max 

by

С′



– +

A

  Q 2R ср

y

yC

yС

h/2 h/2

y

A′

b



– +

A

 Q τср

Рис. 7.16

A

Q

2

τ 3 max 

Сʹ

108

 





 









  2

2

2 1

3

4

R

y

R

Q .

Как и в предыдущем примере, закон распределения напряжений по попе-

речному сечению параболический (переменная у в формулах во второй

степени). Максимальное напряжение на центральной оси

max 1,333 2

R

Q



  , или

А

Q

3

4

max  . (7.14)

О влиянии касательных напряжений при поперечном изгибе

Касательные напряжения переменны по высоте, вызывают искрив-

ление поперечного сечения, причем в тем большей степени, чем больше ,

то есть в центральной части сечения больше, на периферии – меньше. Сле-

довательно, ги пот еза п лос к их с еч ен ий, на которой основывался вы-

вод формулы нормальных напряжений, непр и мен и ма. Однако это ис-

кривление весьма малό, почти не отражается на продольных деформациях

волокон, что позволяет пользоваться формулой (7.9) y

J

M

z

  z и при нали-

чии поперечной силы.

Пример 7.5. Оценить соотношение нормальных и касательных

напряжений при поперечном изгибе.

Решение. Для консольной балки (рис. 7.18) прямоугольного попе-

речного сечения bh максимальные нормальные напряжения

2 2

max

max

6

6 bh

F

bh

F

W

M

z

      ,

а максимальные касательные –

bh

F

bh

Q

2

3

2

τ 3 max   .

Сопоставив эти напряжения, получим

F h

b h

b h

F   4

3

6 2

max 2

max  





.

Аналогичное соотношение для круглого поперечного сечения диаметром d:

Рис. 7.18

Fℓ

ℓ

F

F

–

+

+

Q –

M

109

F d

d

d

F   6

4 4

32 3 2

max 3

max 











.

Вывод: касательные напряжения в длинных (ℓ > 5h и ℓ > 5d)

балках более чем на порядок меньше нормальных.

7.7. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

В рассмотренном выше примере 7.5 сравнивались нормальные и ка-

сательные напряжения в одном сечении (в защемлении), одинаково опас-

ном с точки зрения изгибающего момента М и

поперечной силы Q. Для этого же сечения, на-

пример, прямоугольной формы, показаны (рис.

7.19) эпюры распределения по высоте нормаль-

ных и касательных напряжений. При положи-

тельном изгибающем моменте (см. рис. 7.18)

нижняя часть бруса растягивается, нормальные

напряжения положительны, в верхней части бруса напряжения отрица-

тельны.

Отметим, что σmax и max действуют в разных точках сечения. Макси-

мальное нормальное напряжение σmax – на периферии, в точках B и B′ наи-

более удаленных от нейтральной оси, где  = 0, а максимальное касатель-

ное max – в центре C, на нейтральной оси, где σ = 0. С этих позиций со-

поставление нормальных и касательных напряжений не совсем корректно.

Кроме того, в сопоставляемых точках разные виды напряженного состоя-

ния. В точках B и B′ возникает линейное напряженное состояние, а в точке С

– плоское напряженное состояние, чистый сдвиг, (см. разд. 4 и подразд. 3.11).

Часто сечения, где действуют максимальный момент и максимальная

поперечная сила, расположены в разных участках балки (см. рис. П.1.3

примера решения задачи 3: в сечении с Mmax значение Q = 0, а в сечении,

где Qmax изгибающий момент равен нулю). По этой причине сопоставление

между собой нормальных и касательных напряжений можно считать не

совсем правильным.

Особенность расчета балки двутаврового сечения (рис. 7.20) за-

ключается в том, что опасной может оказаться точка К в сопряжении стен-

Рис. 7.19

– 0 +



σmax

max

y σ

z

B′

В

C

– 0 +

110

ки с полкой, где действуют достаточно большие нормальные, а также каса-

тельные напряжения:

K

z

z

К y

J

  M ;

z

z

K d J

Q S



 

  .

Здесь координату точки К и статический момент Sz отсеченной части

площади А (на рис. 7. 20 заштрихована) находят как

yK  h  t

2

; 







       

2 2

S A y b t h t z c .

Линия 1 на эпюре касательных напряжений отражает закон распределения

, рассчитанных для тол-

щины стенки d, а линия 2 –

ширины полки b. Указан-

ные размеры отличаются

примерно в 20 раз, чем и

обусловлен скачок напря-

жений  в окрестности

точки К.

Эквивалентные на-

пряжения в точке К вычисляют по теориям прочности, например (3.18)

σэквIII  σ1  σ3  σ,

где главные напряжения σ1 σ3 вычисляют по формуле (3.10)

.

2 2

2

2

1, 3 xy

x y x y    





 

   



  

 

Примечание: упомянутые выше расчеты выполняют для ОДНОГО

сечения, выбранного на основе анализа эпюр M и Q, отдавая предпочтение

изгибающему моменту.

Особенность расчета коротких балок. По мере укорочения длины

пролета или участка балки роль момента М, а, следовательно, и нормаль-

ных напряжений σ, снижается (в рассмотренном примере 7.5 момент М за-

висит от длины ℓ, а усилие Q – величина постоянная). Превалирующими в

этом случае могут оказаться касательные напряжения. В сложившейся

практике подбор размеров поперечного сечения выполняют по максималь- h/2

t

C A 

d

K

σmax

max

σK

σ K

1

2

Рис. 7.20

yC

b

111

ным нормальным напряжениям (как при чистом изгибе), а проверку проч-

ности проводят – по максимальным касательным.

Пример 7.6 (Беляев Н. М.

Сборник задач…, № 4.80). Подобрать

размеры поперечного сечения дере-

вянного бруса с отношением сторон h/b = 4/3 для балки, схема нагружения

которой представлена на рис. 7.21.

Решение. Для рассчитываемой симметричной схемы нагружения

опорные реакции определяем в уме: R = F.

Внутренние усилия

I участок: 0  х  с II участок: 0  х  а

Q( x)  R  F; M( x)  R  x ; Q( x)  R  F  0; M( x)  Rс  x F  x;

Вычисляем значения внутренних усилий

в характерных сечениях и строим эпюры

поперечных сил и изгибающих моментов.

На среднем участке имеет место чистый

изгиб. Опасными являются сечения в ок-

рестности точек приложения сил. Макси-

мальные значения внутренних усилий:

Qmax= F = 100 кН;

Mmax= F∙с = 100·0,2 = 20 кН·м.

Из условия прочности по нормальным напряжениям

σ max σ

max  

Wz

M

находим требуемое значение момента сопротивления

 

3

6

3

max 0,002 м

10 10

20 10

σ







Wz  M  ; 3

2 2

27

8

3

4

6 6

b b b bh Wz  







   , откуда

0,002 0,189 м

8

b  3 27  .

Из условия прочности по касательным напряжениям для прямоугольного

сечения (см. пример 7.3)

Дано: a = 1,6 м [σ] = 10 МПа

F = 100 кН с = 0,2 м [] = 2,5 МПа

Рис. 7.21

I

с

x

с

F

R=F F R=F

Q,

кН

F

F∙с F∙с

–

+

М,

кН·м

F

+–

a

II

112

τ

2

τ 3 max

max 

A

Q

находим требуемое значение площади поперечного сечения

 

2

6

3

max 0,06 м

2,5 10

100 10

2

3

2 τ

3 





A  Q  ; A b h b b

3

   4 , откуда

0,06 0,212 м

4

b  3  ; h 1,333b 1,3330,212  0,283м.

Из двух найденных значений ширины бруса b выбираем большее, удовле-

творяющее условиям прочности по нормальным и касательным напряже-

ниям. Принимаем брус с размерами поперечного сечения bh = 2228 см.

Вывод. Балки, у которых отношение длины пролета (или его участка) к

размеру поперечного сечения менее пяти, считают короткими. В рассматри-

ваемом примере указанное отношение c h  0,2 0,28  0,714  5 . Действие

касательных напряжений оказалось превалирующим.

7.8. ПОНЯТИЕ ОБ ЭКОНОМИЧНОСТИ СЕЧЕНИЯ

Поставщики металлопроката в прайс-листах указывают цену товара в

рублях за тонну. Масса элемента конструкции определяется произведением

его длины ℓ, площади А и плотностью γ материала: m    A  . Изменяемым

элементом в этой формуле является площадь А поперечного сечения элемен-

та конструкции. Следовательно, одной из задач проектного расчета на изгиб

является подбор рациональной формы поперечного сечения, обеспечи-

вающего наибольшие значения момента инерции J и момента сопротивле-

ния W при минимальной площади A поперечного сечения. Обе эти геомет-

рические характеристики содержатся в знаменателях формул условия

прочности (7.11) и вычисления деформации (9.2) при изгибе. Чем больше

знаменатели этих формул, тем меньше деформация и напряжение в эле-

менте конструкции, следовательно, выше его прочность и жесткость при

изгибе.

Проанализируем варианты образования различных форм поперечно-

го сечения, имеющих одну и ту же площадь.

113

Момент инерции квадрата (рис. 7.22, а) размером bb = 2020 мм

4

3 4

13 333мм

12

20

12

 



J z  b b .

Вычленим из квадрата (рис. 7.22, а) два тавровых профиля

(1) и восемь прямоугольников (2) размером m  t = 64 мм. При-

ложив прямоугольники (2) к полкам тавров (1), получим двутав-

ровое сечение (рис. 7.22, б). Момент инерции этого двутавра

8 6 4 23 574 мм .

12

2 5515 4 6 4

;

12

2 4

2 4

3

2

2

3

,T



 





 





 





 





  



 

 





 





 





 





  



 

z

z z

J

J J m t y m t

Здесь Jz,T = 5515 мм4 – момент инерции таврового сечения, взятый из при-

мера 6.6. Там же взято значение расстояния от оси z до центральной оси

полки тавра y2 = 8 мм.

Если прямоугольники (2), выбранные из квадрата (рис. 7.22, а), рас-

положить так, как показано на рис. 7.22, в, то момент инерции более высо-

кого двутавра

     

    20 20 2 64 118 293мм .

12

2 20 2 6 4

12

4 6 6

2 ;

12

2 2

12

6

2 4

3 3

2

3

3 3



 



 



  

 



 



 



 



  

 







z

z

J

J t m b m t y b m t

Здесь y3  3m  t 2  36  4 2  20 мм – расстояние от оси z до центра

полки двутавра.

2

t

m

2 2

2

2 2

2 2 2

b

1

1

b

z

Рис. 7.22

y2

2 2 2

2 2 2 2

1

1

2

z