САФУ. 3 ВАРИАНТ. Контрольная по По высшей математике
3 ВАРИАНТ
_
ПОЛНОЕ ЗАДАНИЕ В ДЕМО ФАЙЛЕ,
ЧАСТЬ ДЛЯ ПОИСКА ДУБЛИРУЮ НИЖЕ
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова»
Высшая школа информационных технологий и автоматизированных систем
Кафедра высшей математики
Комплект заданий для контрольных работ
по дисциплине «Высшая математика»
Контрольная работа №1
Тема: Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости.
Пределы последовательностей и функций.
Задание 1
а) Вычислите матрицу A ; б) найдите матрицу, обратную к матрице A .
1.
+
3 1 4
2 1 4
1 1 1
2
4 2 1
1 1 2
3 4 2
2 2 1
3 1 2
2 2 1
. 6.
−
1 2 3
1 3 3
2 3 2
2
1 1 3
3 3 1
1 1 3
2 1 1
3 3 2
3 1 3
.
2.
−
3 3 1
1 1 1
1 2 3
2
2 2 1
2 2 2
1 2 1
2 3 1
2 3 1
3 3 3
. 7.
−
3 3 3
2 2 3
1 2 3
2
3 1 2
1 2 3
1 4 2
3 3 2
3 1 4
4 2 4
3.
−
3 3 2
3 2 3
3 2 2
3
2 1 3
2 2 2
2 3 1
2 2 1
3 3 2
2 2 3
. 8.
−
2 2 3
1 2 2
3 3 3
2
2 3 3
2 1 1
4 2 3
1 2 1
2 4 1
1 3 2
4.
+
3 2 3
3 2 2
2 3 2
3
3 3 1
3 3 2
1 1 3
1 2 1
3 2 2
1 3 3
. 9.
−
1 2 3
3 2 1
2 2 2
3
1 2 3
1 4 4
3 1 3
4 2 4
1 3 4
1 2 1
5.
+
2 1 2
3 1 2
1 2 3
4
2 1 1
2 1 3
3 3 2
2 2 1
1 2 3
2 2 3
. 10.
−
2 2 3
1 1 2
1 2 1
4
4 4 2
4 3 1
3 1 4
4 4 3
3 3 3
1 3 1
Задание 2
Решите систему линейных уравнений методом Гаусса, Крамера и обратной матрицы.
1.
+ + =
+ + =
+ + =
6 4 7 9.
2 3 2 3,
7 3 8 9,
x y z
x y z
x y z
2.
+ + =
+ + =
+ + =
3 3 6 5.
7 8 9 9,
5 6 4 2,
x y z
x y z
x y z
3.
+ + =
+ + =
+ + =
7 2 2 3.
8 4 6 4,
4 3 5 3,
x y z
x y z
x y z
4.
+ + =
+ + =
+ + =
2 5 2 2.
9 9 8 5,
4 8 4 7,
x y z
x y z
x y z
5.
+ + =
+ + =
+ + =
3 7 8 9.
2 4 2 6,
3 8 9 4,
x y z
x y z
x y z
6.
+ + =
+ + =
+ + =
5 3 5 9.
5 4 4 8,
8 8 6 9,
x y z
x y z
x y z
7.
+ + =
+ + =
+ + =
4 4 5 8.
2 6 3 8,
2 9 3 2,
x y z
x y z
x y z
8.
+ + =
+ + =
+ + =
9 5 7 4.
3 2 4 4,
8 4 6 6,
x y z
x y z
x y z
9.
+ + =
+ + =
+ + =
6 5 3 5.
2 6 7 8,
9 8 5 9,
x y z
x y z
x y z
10.
+ + =
+ + =
+ + =
4 7 8 7.
4 7 7 4,
2 3 5 6,
x y z
x y z
x y z
Задание 3
Даны точки CBA, , на плоскости.
№ варианта
A B C
A x A y Bx By Cx Cy
1 3 10 2 6 7 7
2 3 8 7 1 1 9
3 2 9 8 10 1 3
4 7 6 1 4 4 1
5 6 4 7 8 10 9
6 7 9 2 10 6 2
7 3 9 9 4 5 10
8 3 4 7 7 2 6
9 5 5 9 4 3 1
10 2 8 10 9 5 4
a) Найдите уравнения прямой AB (параметрическое, каноническое, общее, с угловым
коэффициентом, в отрезках).
b) Найдите длину отрезка AB .
c) Найдите уравнение прямой, перпендикулярной прямой AB и проходящей через точку
C .
d) Найдите уравнение прямой, параллельной прямой AB и проходящей через точку C .
e) Найдите длину перпендикуляра, опущенного на прямую AB из точки C .
f) Найдите косинус угла ACB .
g) Найдите площадь треугольника ABC .
Постройте все найденные прямые, а также сам треугольника ABC , на одном чертеже.
Задание 4
Дана кривая второго порядка.
a) Приведите кривую второго порядка к каноническому виду.
b) Найдите эксцентриситет кривой.
c) Найдите уравнения директрис.
d) Найдите координаты фокусов кривой.
e) Найдите уравнения асимптот (для гиперболы).
f) Постройте кривую второго порядка, фокусы и директрисы на одном чертеже.
1. 25 16 250 256 1249 0 2 2 x + y − x − y + = . 6. 36 25 504 250 239 0 2 2 x − y + x + y + = .
2. 64 49 128 588 1308 0 2 2 x + y + x − y − = . 7. 81 64 810 128 3223 0 2 2 x − y + x − y − = .
3. 9 4 36 40 100 0 2 2 x + y + x − y + = . 8. 64 49 256 196 3076 0 2 2 x − y − x − y − = .
4. 16 9 160 72 400 0 2 2 x + y − x + y + = . 9. 81 64 972 512 3292 0 2 2 x − y − x − y − = .
5. 64 49 512 196 1916 0 2 2 x + y − x − y − = . 10. 25 16 150 32 191 0 2 2 x − y + x − y − = .
Задание 5
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1. а) ;
6 4 3
2 7 2
lim
3
3 2
− +
+ −
→ x x
x x
x
б) ;
2 4
12
lim
2
3 x x
x x
x − − −
+ −
→
в) 4 ;
sin
lim
2
2
0 x
x
x→
г) x
x
x
x −
→
− 1
1
) 2 3 ( lim
2. а) ;
3 2
1 4
lim
2 4
4
x x x
x x
x + +
+ −
→
б) ;
2 8
12 4
lim
4 2 + −
+ − −
→− x x
x x
x
в) ;
1 cos5
lim
0 x2
x
x
−
→
г) lim (3 2x)ln(x 2) ln x;
x
+ + −
→
3. а) ;
5 3 1
3 2 10
lim
2
3
+ −
− +
→ x x
x x
x
б) ;
2 21
10 4
lim
3 2 − −
+ − −
→− x x
x x
x
в) ;
cos cos
lim
2
5
0 x
x x
x
−
→
г) lim (x 4)ln(2 3x) ln(5 3x);
x
− − − −
→−
4. а) ;
2 1
4 2
lim
6
6 3
−
− +
→ x
x x x
x
б) ;
6
2 6
lim
2 2 − −
− − +
→− x x
x x
x
в) ;
1
1 tg
lim
3 2
3
1 −
+
→− x
x
x
г) ; ) 3 2 ( lim2
3
2
−
→
− x
x
x
x
5. а) ;
2 1
3 4 8
lim
4
2 4
+
− +
→ x
x x
x
б) ;
3 4 1
3 2 4
lim
1 2 − +
+ − +
→ x x
x x
x
в) ;
4 cos1
10 cos 1
lim
0 x
x
x −
−
→
г) lim (3 x)ln(1 x) ln(2 x);
x
− − − −
→−
6. а) ;
3 7 1
2 3 5
lim
4
3 2
− +
− +
→ x x
x x
x
б) ;
1
lim
2
1 x
x x
x −
−
→
в) ;
tg2
cos5 1
lim
0 x x
x
x
−
→
г) lim(2 )1 ;
2
1
x
x
x
x −
→
−
7.а) ;
6 2 1
10 5 5
lim
5
5 2
+ −
− +
→ x x
x x
x
б) ;
3 5 3
3 4 1
lim
2
1 x x
x x
x + − +
+ +
→−
в) ;
sin
1 cos
lim
0 x x
x
x
−
→
г)
x
x x
x
+
+
→+ 2 1
2 3
lim ;
8. а) ;
3 4 2
2 6 3
lim
4
2 4
x x
x x
x + −
− +
→
б) ;
2 7 15
1 2 6
lim
5 2 − −
+ − +
→ x x
x x
x
в) ;
1
sin cos
lim
3
4
tg x
x x
x −
−
→
г) lim (2x 7)ln(4 3x) ln(3x);
x
− + −
→
9. а) ;
7 2 8
14 3
lim
2
2
+ −
+
→ x x
x x
x
б) ;
2 1
5 2
lim
1 − −
− −
→ x
x
x
в) ;
1 1
sin 4
lim
→0 x + −
x
x
г) lim(2 1) 1;
2
1
−
→
− x
x
x
x
10. а) ;
3 2 3
7 1
lim
5 3
5
+ −
+ −
→ x x
x x
x
б) ;
49
2 3
lim
7 2 −
− −
→ x
x
x
в) ;
sin
arcsin 2
lim
0 x
x
x→
г) .
1
lim
x
x x
x
→ +
Задание 6
Задана функция y = f(x). Найдите точки разрыва функции, если они существуют. Сделайте
чертеж.
1.
+ −
+ −
=
2 , если 1.
2, если 1 1,
4, если 1,
( ) 2
x x
x x
x x
f x
2.
− +
+ −
+ −
=
3, если 1.
1, если 1 1,
2, если 1,
( ) 2
x x
x x
x x
f x
3.
−
− −
−
=
3, если 2.
( 1) , если 0 2,
, если 0,
( ) 2
x x
x x
x x
f x
4.
+
=
, если 1.
1, если 0 1,
cos , если 0,
( ) 2
x x
x x
x x
f x
5.
+
−
=
1, если 2.
, если 0 2,
, если 0,
( ) 2
x x
x x
x x
f x
6.
−
−
=
2, если .
sin , если 0 ,
, если 0,
( )
x x
x x
x x
f x
7.
+ −
− − −
=
, если 0.
( 1) , если 1 0,
1, если 1,
( ) 2
x x
x x
x x
f x
8.
+
−
=
2, если / 4.
tg 1, если 0 / 4,
, если 0,
( ) 2
2
x
x x
x x
f x
9.
+
−
=
2, если 1.
1, если 0 1,
2 , если 0,
( ) 2
x
x x
x x
f x
10. 𝑓(𝑥) = {
−2𝑥,если𝑥 ≤ 0,
√𝑥,если0 < 𝑥 < 4,
1,если𝑥 ≥ 4.
Критерии оценки:
Максимум баллов за контрольную работу – 20 баллов. Менее 10 баллов – не зачтено, 10-20 баллов – зачтено.
№ задания
1
2
3
4
5
6
мах баллы
3
3
4
3
4
3
_
1
Контрольная работа №2
Тема: Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной.
Дифференциальные уравнения
Задание 1
Найти производные
dx
dy
данных функций.
1. а) 5 (5 1) ; 3 4 4 3 y = x + x − x − б) y = arctg x − x ; в) xsin y − y cos x = 0 .
2. а) 6 2 ;
2
3 3
3
x
x
x
y − +
+
= б) y sin 2x 3 = ; в) 0 2 2 =+−y x exy .
3. а) ;
1
1
2
2
x
x
y
−
+
= б) x y e
2 ln 1+ = ; в) y y x x y cos ) cos( sin = − + .
4. а) ;
1
1
2 + +
= +
x x
y x б) 3 lnctg x y = ; в) xyyexe y x = + .
5. а) ;
1
2 3
x
y x
+
= б) x
x
y +
−
= 1
1
2 ; в) xy + ln y − 2ln x = 0 .
6. а) 3 3 1 ++=x x y ; б)
2
1
x e y = ; в)
x
y
e x y sin = + .
7. а) ;
x x
x x
y
−
+
= б) x y e 5 4 cos − = ; в) 2 3 (x + y) = (x − 2y) .
8. а) ;
2 3
1 3
2
2
x
x
y
+
+
= б) − 2 cos3(2 +3) = x x y e ; в) y ln x − x ln y = x + y .
9. а) ;
1
1 2
x
x
y x
−
+
= б) arctg(tg ) 2 y = x ; в)
2
(cos )x y = x .
10. а) 4 3 2 3
5 2
x
y = x + x − ; б) 2tg ( 1) 5 3 y = x + ; в)
x
y
5y = tg .
Задание 2
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график,
используя результаты исследования.
1. ;
x
e
y
x
= 2. ; 3 x y x e− =
3. ln ; 2 y = x x 4. ;
1
1
−
=
x e
y
5. y = x − ln( x +1); 6. ;
1
1
2 −
=
x e
y
7. ;
2
1
ln
+
+
=
x
x
y 8.
2 ;
1
y = e x+
9. ln( 2 3); 2 y = x + 10. y = x − ln x.
Задание 3
Найдите неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.
2
1. а) xdx e x sin 2
sin2 ; б) dxx arctg ; в)
+ 8 3 x
dx
; г) ++3 1 1 x
dx
.
2. а)
+ 2 6 (x 4)
xdx
; б) +dxe e x x ln(1 3 ) ; в)
+
+ −
dx
x
x x
1
2 3 1
3
2
; г) +x x
dx
tg sin
.
3. а)
− 8
3
1 x
x dx
; б) dx x x 3 ; в)
+ + +
−
4 4 16
(3 7)
3 2 x x x
x dx
; г)
+ + 3 + 2 x 3 (x 3)
dx
.
4. а)
cos (3tg +1) 2 x x
dx
; б)
−
dx
x
x x
2 1
arcsin
; в)
+ + 2 + 2 3 2 x x x
dx
; г) +
+ +
dx
x
x x
3
2
1
1
5. а) + x
xdx
4 sin 3
3 cos
; б) dxe x 2 3x ; в)
+ 5 + 8 + 4 3 2
2
x x x
x dx
; г) + x
xdx
cos 1
cos
.
6. а) 3 2 cos
sin
x
xdx
; б) dx
x
x
1
arcsin ; в)
− +
+
x x x
dx x
2
( 3)
3 2
; г)
+
+
4 3
4
( 4)
( 1)
x x
dx x
.
7. а)
+
+
2 1
( arctg )
x
dxx x
; б) +dxx x ) 1 ln( 2 ; в)
+ +
−
5 6
( 3)
4 2
2
x x
dx x
; г) + +
+
1 3 5
5
x
dx x
.
8. а) +
dx
x x
x
(1 )
arctg
; б) xdxx x cossin ; в)
− 81 4
2
x
dx x
; г) +x x
dx
sin 4 cos3
.
9. а) +3 cos 2 3
sin
x
xdx
; б) x sin 4xdx 2 ; в)
− +
+ −
2 3
( 1)
4 2
2
x x
dxx x
; г)
− +
dx
x
x x
3 2
( 1)(6 1)
.
10. а)
+
dx
x
3 4 ln x
; б) x xdx 2 ln ; в)
+ +
−
6 8
( 6)
4 2
3
x x
x dx
; г) 2sin x + cos x + 2
dx
.
Задание 4
Вычислите определенные интегралы.
1.
−
+
0
2
(5x 6) cos 2xdx .
2.
−
−
0
2
(x 4) cos 3xdx.
3.
−
+
0
1
(4x 3) cos xdx.
4.
−
+
0
1
(4x 4) cos 3xdx .
5.
−
+
0
4
(7x 12) cos xdx.
6. +
0
(4x 7) cos 2xdx.
7. +
0
(9x 11) cos3xdx .
8. +
0
(16x 17) cos 4xdx.
9. +
2
0
(3x 5) cos 2xdx .
10. −
2
0
(2x 15) cos3xdx.
Задание 5
Найдите общее решение дифференциального уравнения
1. (x y )y' 2xy 2 2 − = ; xy'= y ln( y / x) .
3
2. ' 0 / xy+xe − y = y x ; 2 2 xy'−y = x + y .
3. ' 2 0 2 2 x y +y − xy = ; (1 ) '' ' 2 xyy x =− .
4. y''+y' tg x = sin 2x ; 1 ( ') '' 0 2 + y + yy = .
5. 3 ' 2 ' ' x y xy=+ ; x x y y sin tg ' 2 ' ' = − .
6. 2 2 2 ) 1 ( 2 ' ) 1 ( x xy y x + = − + ; 3 ' =+y xy .
7. y'cos x = ( y +1)sin x ; ' 2 3 2 =−xyy x .
8. 1 ' +=+x y xy ; 0 ) ' ( ) ' ( ' ' 2 2 4 yy + y + y = .
9. 2 ' ) / 1 ( ' ' x y x y =+ ; 0 ) ' ( 5 ' ' ) 1 ( 2 + y y − y = .
10. 2 ) ' ( 2 tg' ' y y y = ; 0 ) ' ( ' ' 3 2 = + y yy .
Задание 6
Решите задачу Коши
1. y''+4y'−12y = 8sin 2x; y(0) = 0, y'(0) = 0 .
2. '' 6 ' 9 3; (0) 4/3, '(0) 1/ 27 2 y − y + y = x − x + y = y = .
3. '' 4 ; (0) 0, '(0) 0 2 + = = = − y y e y y x .
4. '' 2 ' 5 ; (0) 1, '(0) 0 2 y − y + y = xe y = y = x .
5. y''+5y'+6y =12cos 2x; y(0) =1, y'(0) = 3.
6. ''−5 '+6 = (12 − 7) ; (0) = 0, '(0) = 0 − y y y x e y y x .
7. y''−4y'+13y = 26x + 5; y(0) =1, y'(0) = 0 .
8. '' 4 ' 6 1; (0) 2, '(0) 3 2 y − y = x + y = y = .
9. y''−2y'+y =16e ; y(0) =1, y'(0) = 2 x .
10. '' 6 ' 9 10 ; (0) 3, '(0) 2 3 + + = = = − y y y e y y x .
Оценивание контрольной работы
Если выполнено правильно более 50% заданий контрольной работы, то балл за
контрольную работу равен 20k%, где k% – процент правильно выполненных заданий
контрольной работы; если выполнено правильно меньше 50% заданий контрольной работы,
то балл за контрольную работу равен 0.
