Технология транспортных процессов

Практическая работа 1 (40 вариантов)

По фамилии Кискин вариант

_

ПОЛНОЕ ЗАДАНИЕ В ДЕМО ФАЙЛЕ,

ЧАСТЬ ДЛЯ ПОИСКА ДУБЛИРУЮ НИЖЕ

_

 МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по выполнению домашней контрольной работы по дисциплине КОМПЬЮТЕРНАЯ МАТЕМАТИКА В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Направленность (профиль) образовательной программы

«Организация перевозок и управление на автомобильном транспорте»

Направление подготовки

23.03.01 Технология транспортных процессов

является единой для всех форм обучения

Челябинск 2020

СОДЕРЖАНИЕ

Введение........................................................................................................ 3

Методические рекомендации по выполнениюконтрольныхзаданий.......... 3

Задания для домашнейконтрольнойработы.............................................. 21

Списоклитературы...................................................................................... 26

Цель контрольной работы по дисциплине - закрепление практических навыков применения теоретических подходов и методов анализа на учебных примерах и за- дачах.

Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине указан в рабочей программе дисциплины

Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы

Изучите методические указания к работе средствами MathCAD

Средствами MathCAD согласно вашему варианту выполните практические ра- боты №1 или № 2. Номер варианта соответствует начальной букве фамилии студен- та.

Начальная буква фамилии

Вариант задания

А, Е, Л

Первый

Р, Х, Э

Второй

Б, Ж, М

Первый

С, Ц, Ю

Второй

В, З, Н

Первый

Т, Ч

Второй

Г, И, О

Первый

У, Ш

Второй

Д, К, П

Первый

Ф, Щ, Я

Второй

1.  Практическая работа №1. Определение значений функций и определение производных, Решение системы линейныхуравнений.

2.  Практическая работа №2. Определение интегралов, Построение графиков MathCAD  является  математическим  редактором,  позволяющийпроводить

разнообразные математические и научные расчеты, начиная от элементарной ариф- метики и заканчивая сложными арифметическими вычислениями. Пользователь по- лучаетвозможностьпростоинаглядновпривычнойдляматематикаформевводить

с помощью редактора формул математические выражения и тут же получать резуль- тат.

В число выполняемых действий входит:

-     ввод математическихвыражений;

-     проведение различныхрасчетов;

-     подготовка графиков различных результатоввычислений;

-     ввод данных из внешнегофайла;

-     ввод данных во внешнийфайл;

-     оформлениявеб-страниц;

-     предоставление доступа к справочному материалу поматематике.

Краткое описание элементов интерфейса

MathCAD имеет стандартный интерфейс Windows.

-       Строка меню.

-       Строкаинструментов.

-       Строкаформатирования.

-       Рабочаяобласть.

-       Строкасостояния.

-       Всплывающее или контекстное меню (нажимается правая кнопка мыши), содержание зависит от меставызова.

-       Панель инструментов Математика и доступные из нееинструменты.

Среди особых элементов интерфейса следует отметить панель инструментов Математика (рис. 32). Эта панель служит для доступа к панелям инструментов, обеспечивающих вставку математических вычислений или символов. При необхо- димости панели инструментов можно установить: View – Toolbars – v Resources.

Рис. Панель инструментов Математика и доступные из нее инструменты

-       Панель Calculator служит для вставки основных математическихопераций.

-   Панель Graph служит для вставки графика вдокумент.

-   Панель Matrix служит для вставки матрицы, для работы с матрицами и мат- ричнымиоперациями.

-   Панель Evaluation представляет операторывычисления.

-   Панель Calculus представляет операторы интегрирования, дифференцирова- ния, суммирования,..

-   Панель Boolean представляет булевы операторы и предназначена для вставки логических или булевыхопераций.

-   Панель Programming служит для программирования средствами MathCad.

-   Панель Greek представляет греческиесимволы.

-   Панель Symbolic служит для вставки символьныхоператоров.

Ввод символов

Большую часть окна занимает рабочая область, в которую можно вводить ма- тематические выражения, текстовые поля и элементы программирования.Чтобы

отметить место, куда вносить формулу (или текст) имеется курсор ввода + («щелк- нуть» указателем мыши в нужном месте либо передвинуть его клавишами клавиату- ры ¬­®¯. По мере ввода на месте курсора появляется вертикальная и горизон- тальная линия ввода синего цвета, отмечающее место редактирования в данный мо- мент. Символы, цифры, формулы … вводят с клавиатуры, но лучше вводить с пане- ли. Редактирование производится подобно редактированию формул, созданных в WORD редактором формул, однако есть различия, а именно, редактирование зависит от того, как будет выделяться запись, слева на право или наоборот.

Особенности некоторых операторов и символов

-   Вводя знак = (равенство) для вычисления математических выражений, мы фактически применяем оператор вычисления или численного вывода. Его также можно ввести, вызывая инструмент = с панели инструментов Evaluation. Действия происходят с числами или числовымивыражениями.

-       Оператор присваивания := (двоеточие и равенство) применяется для зада- ния именипеременным.

-       Наряду с численным выводом MathCad имеется возможность символьного или аналитического вычисления значения выражения. Для символьного вычисления применяется операция символьного вывода ®(стрелка).

-       Знак = (равенство, как после написания жирным шрифтом) можно найти на панелиBoolean(илинажимаясразудвеклавишинаклавиатуреctrlи=).Этотсим-

вол используют для записи уравнения,например,

x2+ 2 ×y - 5×z = 7 .

К допустимым символам относятся: большие и маленькие буквы; числа от 0 до 9, ¥¢, греческие буквы, символ подчеркивания, символ % , нижний индекс. Имя не может начинаться с цифры, символа подчеркивания, штриха или процента. Сим- вол ¥ может быть только первым в имени. Все буквы имени должны иметь один стиль и шрифт. Имена не могут совпадать с именами встроенных функций, констант иразмерностей.

Массивы: векторы, матрицы и ранжированные переменные

В MathCad выделяются 2 типа массивов (рис. 33):

-       векторы (или одномерные массивы), двумерные матрицы и многомерные массивы(тензоры);

-                   ранжированные переменные (векторы, элементы которых определенным образом зависят от ихиндекса).

Существует несколько способов создания массивов. Один из наиболее простых способов: ввести имя массива (например, а) и знак присваивания (:=), затем на па- нели инструментов Matrix выбрать первый инструмент (Insert Matrix), указать ко- личество строк и столбцов, подтвердить свой выбор (т.е. нажать OK), ввести все элементы массива вручную.

а                                                                        б

в                                                            г

д                                                          е

Рис. Пример ввода массива и проведение операций с ним: а – вызов инструмен- та Matrix; б – создание шаблона матрицы; в – отображение шаблона матрицы; г – представление матрицы; д – отображение шаблонов для проведения некоторых опе- раций с матрицей; е – отображение результатов выполненных операций с матрицей

К матрицам, содержащим только числовые значения, можно применять раз- личные алгебраические действия сложение, вычитание, умножение.

Ранжированные переменные являются разновидностями векторов и предна- значены для циклов или итерационных вычислений (рис. 34, 35). Например, для создания ранжированной переменной c элементами

0 1 2 3 4 5

необходимо ввести имя переменной (например, r), оператор присваивания, выбрать на панели Matrix инструмент ранжированная переменная (m..n), в результате будем иметь следую- щее: r:= .. . В первое место заполнения ( ) ввести число (или два числа через за- пятую, тем самым укажем шаг изменения последующих чисел), во второе место за- полнения следует ввести значение правой границы ранжированной переменной (рис.34).

а                                                                       б

в                                                                       г

Рис. Пример ввода ранжированной переменной с шагом 1: а – вызов шаблона ранжированная переменная; б – отображение шаблона ранжированная перемен- ная; в – ввод величин для создания ранжированной переменной; г – отображение результата создания ранжированной переменной

Рис. Пример ранжированной переменной с шагом отличным от 1

Существует 2 типа отображения массивов: в форме матрицы (см рис. а) и в форме таблицы (см рис. б).

а

б

Рис. Пример отображения матрицы в форме таблицы: а – вызов шаблона мат- рицы, б – отображение матрицы в форметаблицы

Функции

В MathCad формально функции можно разделить на 2 группы: встроенные и заданные пользователем. Имена функций можно вводить с клавиатуры или вызы- вать с панели инструментов (f(x)), некоторые можно ввести с панели Calculator. Функции записываются в обычной для математика форме. Например,

g(x,y):=x+2·y

g(1,1)=3

f(x):=cos(x)

z:=5

h(x):=x+z

h(1)=6

Символьные вычисления

Имеется возможность символьного или аналитического вычисления выраже- ния. Для символьных выражений имеется ряд специальных средств. Одно из них – это оператор символьного вывода ® (стрелка) (рис. 37). Результат получается после аналитического преобразования. Используя символ ® можно упрощать результаты.

Рис. Пример использования символа вывода

Выполнять символьные преобразования можно при помощи меню. В частно- сти, Expand раскладывает на тригонометрические множители (рис. 38).

Рассмотрим процедуру дифференцирования и интегрирования с использова- нием инструментов, расположенных на панели

Calculus и символьного вычисления (рис. 39). Выберем на панели Calculus инструмент интеграл ( ò), в результате поя- вится шаблон òd , в первое место заполнение записать выражение, которое  нужно проинтегрировать, во второе – переменную, по которой ведетсяинтегрирова-

ние. Для дифференцирования используется инструмент панели Calculus « d ».

dx

а                                                                                       б

Рис. Пример символьного преобразования с использованием Expand: а – обра- щение к Expand; б – отображение результата Expand

а                                                                   б

в

Рис. Пример работы с инструментами панели Calculus: а – вызов шаблонов, б – ввод выражений в места заполнений шаблонов и получения результатов, в – получе- ние результата с предварительным заданием функции

Решение уравнений в MathCAD

Многие уравнения и системы из них не имеют аналитического решения. Од- нако они могут решаться численными методами с заданной погрешностью (не более значения, заданного системной переменной TOL). Для простых уравнений вида

f (x) =0

решение находится с помощью функции: root(Выражение Имя перемен-

ной). Функция реализует вычисления итерационным методом, причем можно задать начальное значение переменой, это полезно, если возможны несколько решений и тогда выбор решения определяется выбором начального значения переменой. На рисунке 40 приведен пример применения функции root для вычисления корня урав- нения.

Рис. Пример решения уравнения с использованием функции root

Применяя функцию root надо помнить, что корень функции – это не то зна- чение аргумента, при котором выражение равно нулю, а то значение аргумента, при котором значение выражения не превышает значения системной переменой TOL. Чтобы функция сработал правильно, необходимо переменной TOL присвоить новое значение, например 10-7, заменив им предопределенное значение (10-3).

Для поиска корней полинома степени nMathCAD содержит функцию: poly-

roots(V). Она возвращает вектор корней многочлена (полинома) степени n, коэффи- циенты которого находятся в векторе V, имеющим длину, равную n+1. Вектор ко- эффициентов заполняется в обратном порядке. Включая все коэффициенты много- члена, даже если они равны нулю.

При решении систем нелинейных уравнений используется специальный вычис- лительный блок, открываемый служебным словом Given и имеющий следующую структуру:

Given

уравнения ограничительные условия

выражение с функцией find или miner.

Между функциями find и miner существует принципиальное различие. Функция find используется, когда решение реально существует (хотя и не является аналитическим), а функция miner пытается найти максимально приближение даже к несуществующему решению путем минимизации среднеквадратической погрешно- сти решения.

Рассмотрим пример решения системы нелинейных уравнений с помощью функции find.

ìïx2

ía2

+y 2 =

1

  b2

ïîy-x2

=-1

Первое решение найдем, приняв ограничение x<0 (рис. a), второе, приняв x>0 (рис. б). Следует отметить, что для решения системы уравнений указали на- чальные значения x и y (т.е. x:=-1 y:=1)

а                                                                   б

Рис. Пример решения системы нелинейных уравнений: а – первая часть реше- ния при условии x>0; б – вторая часть решения при условии x<0

Создание графиков

Графики создаются панелью инструментов Graph. В MathCAD можно по- строить графики 2 типов:

-         двумерные графики (декартовы и полярныеграфики);

-         трехмерные графики (линии уровня в трехмерном пространстве, трехмер- ная гистограмма, трехмерное множество точек, векторноеполе).

Рассмотрим одну из процедур построения двумерного графика. Введем зна- чения аргумента х как ранжированную переменную. Запишем функцию в зависимо- сти от этого аргумента. Укажем место, где будет располагаться область графика. Выберем на панели Graph значок 

. В обозначенном месте документа поя- витсяобластьграфикаснесколькимиместамизаполнителями.Введемвместаза-

полнений на осях имена переменных и функций, которые должны быть изображены на графике (рис.). Вид графика можно изменить, изменяя его данные, форматируя его внешний вид или добавляя элементы оформления. Для форматирования графи- ков можно воспользоваться контекстным меню, выбрав Format (или «щелкнуть» по той области, форму которой планируется изменить).

а                                                            б

Рис. Пример построения графика: а – задание функции, ее аргументов и вызов шаблона для построения графика, б – иллюстрация результата

На одном графике можно построить до 16 зависимостей. Для этого через за- пятую в место заполнения для наименования оси ординат (ось у) вносят наименова- ния функций (рис.).

Рис. Пример построения нескольких зависимостей на одном рисунке

Общие положения работы в MathCAD

Пакет MathCAD является средой для работы с числами, текстами, формулами и графиками. Он предназначен для выполнения инженерных и научных расчетов. По форме MathCAD является электронной таблицей без предварительного фиксирован- ного разграничения ячеек, но с направлением описания слева – направо и сверху – вниз.

Особенности пакета MathCAD:

-   Используется привычный для математиков способ записи уравнений, мате- матических операций,графиков.

-   Для создания простых выражений достаточно их набрать с помощью клавиш клавиатуры и (или) обратиться к соответствующей панелиинструментов.

-   Ввод уравнений облегчается специальным инструментарием, содержащим многие более редкие математические операторы. Формулы или изображения могут перетаскиваться из электронных книгMathCAD.

-   В MathCAD используется принцип заполнения шаблонов. MathCAD позволя- ет создать график или математическое выражение (интеграл, сумму и т.п.) путем за- полнения свободных полей в вызываемыхшаблонах.

-   Вычислительные алгоритмы имеют модульнуюструктуру.

-       Численные методы, используемые в MathCAD, являются общепринятыми, отличаются надежностью иустойчивостью.

-       Для вызова контекстной справочной системы следует отметить указателем сообщение об ошибке, оператор или функцию, и, нажав F1, можно сразу получить нужную справочную информацию с пошаговыми разъяснениями и примерами. В MathCAD имеется полный указатель тем с поиском по ключевымсловам.

-       В комплект поставки MathCAD входят электронные книги с множеством констант, формул, графических изображений, которые можно переносить в рабочий документ.

-       В MathCAD, как в Excel, любое изменение содержимого рабочего докумен- та вызывает обновление (пересчет) всех зависимых результатов и перерисовку гра- фиков (слева– направо и сверху–вниз).

-       В MathCAD, как в текстовых редакторах, имеются различные шрифты, фор- маты, средства работы с файлами ипечать.

Основные правила для построения графиков

-         «Щелкнуть» мышью там, где нужно создатьграфик.

-       Выбрать Декартов график из меню Графика или нажать @, появится бланк с 6 пустыми полями, которые нужнозаполнить.

-       Пустое поле в середине горизонтальной оси предназначено для независимой переменной. Введите туда дискретную переменную, переменную с индексом или любое выражение, содержащеепеременную.

-       Пустое поле в середине вертикальной оси предназначено для переменной, график которой нужно построить. Введите туда дискретную переменную, перемен- ную с индексом или любое выражение, содержащее переменную, находящуюся на горизонтальнойоси.

-       Другие 4 поля предназначены для указания диапазонов и заполняются по умолчанию иливручную.

-       Для отображения графика следует щелкнуть мышью вне его поля или на- жатьF9.

-       Чтобы представить несколько зависимостей на одном графике, введите пер- вую переменную по оси ординат с запятой в конце. Ниже появится пустое поле для второй переменной (выражения), введите вторую переменную с запятой в конце, ниже появится третье поле и т.д. (до 16графиков).

П.1. Практическая работа №1. Определение значений функций и опреде- ление производных

Варианты заданий 1–40.

I). Найдите значения функций прих=1.

II).   Найдите производные указанных функций.

1. а)

f (x) =3x5

5

-  1  -   2  + 7 ;б)

2

x4

f(x)=                 ;

в) f

(x) =4x2+ ln x .

2. а)

f (x) =2x3- 1+ 5- 6 ; б)

3       3x9

f (x) =(1-x2)(tgx + 3x);

в) f (x) =esin5x-3.

3. а)

f (x) =4x5-    1  +   7

+ 2 ; б)

f (x) =lnx - tgx ;

в) f (x) =

5       6x6

.

7x- 5

4. а)

f(x)=3x2-

1  +

7x7

3  +1;б)              5x-ln x;

f (x) =

  cos x - 3

в) f (x) = arcsin(5x3+1).

5. а)

f(x)=4x5-

7  -

4

x4

3  + 2 ;б)

f (x) =sin x - cos x ;

3x- ln x

в) f (x) = cos(2x2+ 3).

6. а)

f (x) =2x5+ 4-

5x5

2 + 3; б)

f (x) =(x2- 3)(sin x + 5x);

в) f (x) =esin7x+3.

7. а)

f(x)=6x5

-5 +       6  + 2 ;б)

3

x3

f (x) =

3x+ cos x

;

в) f (x)=arctg       x2+1.

8. а)

f (x) = 3x4- 5- 2; б)

6x6

f (x) =(ex+tgx)(ln x -2);

в) f (x) = tg(3x- 5).

9. а)

f(x)=5x3-

3

4x4

- 75x3- 2; б)

f (x) =6x-cosx ;

в) f

(x) =e2x+ 3x × tg2x.

10. а)

f (x) = 4x5- 3- 2-1; б)

x3

f(x)=(lnx+tgx)(

- ex);

в) f

(x) =(tg3x)5 .

11. а) f (x) =2x7-       1  +

5   +3;б)

f(x)=                ;

7        4x4

в) f (x) = ln(x3+ex- 2).

3x- sin x

12. а)

f (x) = 4x2+ 3- 6; б)

5x3

f (x) =(sin x + 2x)(ln x -ex);

в) f (x) =etg( x2 -5) .

13. а) f (x) =2x5-     3  -63x -4;б)

f (x)=

ln x -ex

;

5       4x4

в) f (x)=arcsin              .

ctgx - cos x

14. а)

f (x) =5x3- 2+

3       3

x6

1 ;б)

f(x)=(2+

x )(ctgx -ex);

в) f(x)=(3x-lnx)2.

15.

а) f (x) =7 x9-4 -55x3-1;б)

f (x) =ctgx - 3 ;

9        3x3

в) f (x) = ln(lnx -sin x).

16. а)

f (x) =2x3- 3-7

3       5

x5

; б)

f(x)=(lnx-5)(tgx+

x );

в) f (x) =ln(ex-x3).

17. а)

f (x)=

2x5-    3 -7 +1;б)

5       4

x

8

f (x)=

x5-ex

;

в) f (x) =(ln x + sin 3x)5 .

18. а)

f (x) =2x5- 3- 4; б)

5       2x2

f(x)=(lnx-2)(

+ 3ex);

в) f(x)=(3xsinx)7.

19. а)

f(x)=2x3-

1  +

5x5

4  + 3 ;б)

ex- tgx f (x) =sin x + 2x

;

  в) f (x)=arccos                 . 

20. а)

f (x) =3 x8-2 +7

4        

x

4

+ 5 ; б)

f (x) =

x - ctgx ;

sin x + 3x

в) f (x) =(ln x - tgx)3 .

Решите систему линейных уравнений и сделайте проверку.

í

  í

í

ìx+2y-z=5,

ì2x+3y-5z=1,

ì7x - 3 y +z = 5,

21.

î

  î

ï2x-y+5z=-7,

22.

ï3x+4y-3z=2,

23.

ïx + 2 y -z =-4,

î

  ï5x-y+2z=-4.

ïx-3y+7z=5.

ï3x+y -z =-3.

24.  

ì5x+y+6z=-3,

í

  ï4x+3y-z=2,

25.

î

ì5x-3y+z=-3,

í

  ï3x-y+2z=1,

26.

î

ì8x + 2 y - 7z = 3,

í

  ïx - 3y + 5z = 3,

î

  ïx+2y-5z=3.

ïx+5y+z=1.

ï5x - 2 y + 4z = 7.

í

  í

í

ì3x - 4 y +z = 5,

ì7x-y+2z=5,

ìx - 4 y -z =-3,

27.  

ï2x-y+3z=1,

28.

ï2x+y-3z=-7,

29. ï3x + 7 y +z =-1,

î

  ïx+5y-z=3.

í

  ì  x+y+z=3,

ïx-5y+z=7.

ï

  î

ìx-5y+z=1,

ï2x + 3y -z =-4.

î

  í

ì3x - 4 y + 7z =-1,

30.

ï3x-2y+z=2,

î

  ï5x+2y-7z=0.

31.

í3x+y-2z=-7,

î

  ï2x+7y+z=0.

32. ï

ï

î

x+7y+2z=0, 2x-3y+z=3.

ì5x-3y+z=9,

ï

ìx+2y+5z=-1,

ï

ìx -y + 7z =-3,

ï

î

  î

33.

í3x-7y+6z=0,

34. í5x +y - 3z = 5,

35.

í2x +y - 5z = 0,

ï

  î

ïx+2y+z=1.

ï7x-4y-3z=-5.

ï3x + 2 y - 5z = 1.

í

  í

ìx -y - 2z = 3,

ì2x+3y-z=4,

ìx + 2 y +z = 3,

î

  36.

ï2x+3y-7z=1,

37. ïx +y - 5z = 1,

38.

í3x -y + 2z =-4,

39.

ï5x+3y-4z=7.

î

  ì2x+3y-z=1,

í

  ïx+3y-4z=-1,

î

  ï3x-2y+5z=8.

40.

ï3x+y-3z=-1.

î

  ìx-5y+2z=9,

í

  ï3x -y +z = 3,

î

  ï7x +y -z =-3.

ï5x + 3y -z = 7.

П.2. Практическая работа №2. Определение интегралов Варианты заданий 1–40.

Найдите интегралы указанных функций.

1.  f(x)=x3-9x2+24x-15.

2.  f(x)=-x3-12x2-45x+51.

3.  f(x)=x3-3x+2.

4.  f(x)=-x3+9x2-24x+21.

5.  f(x)=x3+3x2-2.

6.  f(x)=-x3-3x2-1.

7.  f(x)=x3-9x2+24x-12.

8.  f(x)=-x3+9x2-24x+15.

9.  f(x)=x3-12x2+45x-45.

10.  f(x)=-x3+3x-7.

11.  f(x)=x3+6x2+9x+3.

12.  f(x)=-x3-9x2-24x-18.

13.  f(x)=x3-3x2+9.

14.  f(x)=-x3-6x2-9x-6.

15.  f(x)=x3-6x2+9x+2.

16.  f(x)=-x3+18x2-105x+193.

17.  f(x)=x3+6x2+9x+6.

18.  f(x)=-x3+15x2-72x+107.

19.  f(x)=x3-12x2+45x-51.

20.  f(x)=-x3+3x2-6.

Построение графиков

Постройте график функции на интервале х от

− 10 до 10.

21.

f (x) =x3- 9x2+ 24x -15.

22.

f (x) =-x3-12x2- 45x + 51.

23.

f (x) =x3- 3x + 2 .

24.

f (x) =-x3+ 9x2- 24x + 21.

25.

f (x) =x3+ 3x2- 2 .

26.

f (x) =-x3- 3x2-1.

27.

f (x) =x3- 9x2+ 24x -12 .

28.

f (x) =-x3+ 9x2- 24x +15 .

29.

f (x) =x3-12x2+ 45x - 45 .

30.

f (x) =-x3+ 3x - 7 .

31.

f (x) =x3+ 6x2+ 9x + 3.

32.

f (x) =-x3- 9x2- 24x -18 .

33.

f (x) =x3- 3x2+ 9 .

34.

f (x) =-x3- 6x2- 9x - 6.

35.

f (x) =x3- 6x2+ 9x + 2.

36.

f (x) =-x3+18x2-105x +193.

37.

f (x) =x3+ 6x2+ 9x + 6.

38.

f (x) =-x3+15x2- 72x +107 .

39.

f (x) =x3-12x2+ 45x - 51.

40.

f (x) =-x3+ 3x2- 6 .

представлен в рабочей программе дисциплины «Компьютерная математика в профессиональной деятельности»