Макроэкономика
ПОЛНОЕ ЗАДАНИЕ В ДЕМО ФАЙЛЕ,
ЧАСТЬ ДЛЯ ПОИСКА НИЖЕ
Задача 1. Рассмотрите модель Солоу с леонтьевской производственной функцией 𝐹(𝐾, 𝐿) =
min{ 𝐴𝐾, 𝐵𝐿 }, где 𝐴 > 0, 𝐵 > 0, темпом роста населения 𝑛 ⩾ 0, нормой амортизации 𝛿 > 0,
нормой накопления 𝑠 ∈ (0, 1). Пусть также выполняется условие 𝐴 > 𝑛 + 𝛿.
(1) Докажите, что производственная функция имеет постоянную отдачу от масштаба.
(2) Нарисуйте на диаграмме функцию 𝑓(𝑘) = 𝐹(𝑘, 1). Выполняются ли для нее условия
Инады?
(3) Докажите, что найдется такое 𝑠 > 0, что при всех 𝑠 > 𝑠 в экономике существуют два
стационарных состояния, а при 𝑠 < 𝑠 только одно. Найдите 𝑠.
(4) Что вы можете сказать об устойчивости стационарных состояний при 𝑠 > 𝑠? При
𝑠 < 𝑠? Объясните интуитивно.
Задача 2. Даны две страны — Север (N) и Юг (S), экономики которых описываются моде-
лью Солоу в непрерывном времени с техническим прогрессом. Производственные функ-
ции Севера и Юга имеют вид:
𝑌𝑖(𝑡) = 𝐹(𝐾𝑖(𝑡), 𝐴𝑖(𝑡)𝐿𝑖(𝑡)) (𝑖 = 𝑁, 𝑆),
где 𝐹( ⋅ , ⋅ ) — вогнутая функция с постоянной отдачей от масштаба, для которой выполня-
ются условия Инады. Технический прогресс Севера экзогенный и описывается уравнением
𝐴𝑁(𝑡) = 𝐴𝑁(0)𝑒𝑔𝑡, где 𝐴𝑁(0) задано. Юг заимствует технологии Севера с запаздыванием в 𝜏
лет:
𝐴𝑆(𝑡) = 𝐴𝑁(𝑡 − 𝜏).
Обе страны характеризуются одинаковыми нормой накопления 𝑠 ∈ (0, 1), нормой аморти-
зации капитала 𝛿 > 0 и темпом роста населения 𝑛.
(1) Обозначьте через 𝑘𝑖(𝑡) =
𝐾𝑖(𝑡)
𝐴𝑖(𝑡)𝐿𝑖(𝑡) — капиталовооруженность в экономике 𝑖 и
выпишите уравнение движения капитала и капиталовооруженности.
(2) Докажите, что в устойчивых стационарных режимах значение капиталовооружен-
ности 𝑘∗ одинаковое для обеих стран.
(3) Пусть обе экономики находятся в устойчивых стационарных режимах. Чему рав-
ны темпы роста их ВВП? Чему равно отношение значений их подушевого ВВП
𝑌𝑁(𝑡)/𝐿𝑁(𝑡)
𝑌𝑆(𝑡)/𝐿𝑆(𝑡) ?
(4) Пусть величина 𝑔 = 0.03 (что приближенно соответствует росту 𝐴𝑁(𝑡) в 3% в год).
Чему равно запаздывание 𝜏, если подушевой ВВП в стационарном состоянии на
Севере в 10 раз больше, чем на Юге? Прокомментируйте полученный результат.
Указание: ln 10 ≈ 2.3.
Задача 3. Постройте централизованную модель Рамсея в непрерывном времени с техни-
ческим прогрессом, воплощенным в росте производительности труда, с производственной
функцией 𝐹(𝐴, 𝐾, 𝐿) = 𝐹(𝐾, 𝐴𝐿), где 𝐴𝑡 = 𝑒𝑔𝑡, 0 < 𝑔 < 𝜃, где 𝜃 — норма временных предпо-
чтений. Мгновенная функция полезности потребителя зависит от подушевого потребления
𝑢(𝐶/𝐿) = (𝐶/𝐿)𝛾, 0 < 𝛾 < 1. Население растет с темпом 𝑛 > 0, норма амортизации капитала
𝛿 = 0.
(1) Сформулируйте задачу центрального планирования, введя переменные 𝑘 = 𝐾/𝐴𝐿,
𝑐 = 𝐶/𝐴𝐿.
(2) Выпишите необходимые условия оптимальности (дополнив их условием трансвер-
сальности).
2
(3) На фазовой диаграмме в координатах (𝑘, 𝑐) изобразите траекторию, по которой
движется экономика.
(4) Пусть в момент времени 𝑡 = 0 экономика находится в стационарном состоянии. С
помощью фазовой диаграммы опишите, что произойдет с экономикой при неожи-
данном скачкообразном увеличении темпа роста технологии 𝑔 (при этом так как
темп роста производительности 𝑔 увеличивается в момент 𝑡 = 0, то сама траектория
𝐴𝑡 является непрерывной). Как при этом поведут себя 𝑘𝑡 и 𝑐𝑡? Как поведут себя
подушевые величины 𝐾𝑡/𝐿𝑡 и 𝐶𝑡/𝐿𝑡? Объясните получившееся поведение.
Задача 4. Рассмотрите централизованную модель Рамсея закрытой экономики в дискрет-
ном времени
∞
Σ
𝑡=0
(1 + 𝜃)−𝑡𝑢(𝑐𝑡) → max
𝑠.𝑡. (1 + 𝑛)𝑘𝑡+1 − 𝑘𝑡 = 𝑓(𝑘𝑡) − 𝑐𝑡, 𝑡 = 0, 1, 2, …
𝑐𝑡 ⩾ 0, 𝑘𝑡 ⩾ 0, 𝑡 = 0, 1, 2, …
𝑘0 задано,
где 𝑢(𝑐) и 𝑓(𝑘) — строго возрастающие строго вогнутые функции, для которых выполняется
условие Инады. Кроме того 𝑓(0) = 0.
(1) Найдите необходимые условия оптимальности с помощью метода Лагранжа.
(2) Дополните полученные условия первого порядка условием трансверсальности и
докажите (аналогично тому, как это было доказано на лекции для случая непрерыв-
ного времени), что этого становится достаточно для того, чтобы траектория была
оптимальной.
(3) Воспользуйтесь вогнутостью 𝑢(𝑐) и 𝑓(𝑘) и докажите единственность оптимальной
траектории.
(4) Докажите правило Кейнса–Рамсея
𝑢′(𝑐𝑡−1)(1 + 𝜃)
𝑢′(𝑐𝑡)
=
1 + 𝑓′(𝑘𝑡)
1 + 𝑛
.
