Теория вероятностей/Росдистант/Практические задания (Вариант 10)

Теория вероятностей/Росдистант/Практические задания (Вариант 10)

Практическое задание 1

Тема 1.1. История возникновения и развития теории вероятностей. Основные понятия теории вероятности. Задачи комбинаторики

Вариант 10

1. Из 3 экземпляров учебника алгебры, 7 экземпляров учебника геометрии и 7 экземпляров учебника тригонометрии нужно выбрать по одному экземпляру каждого учебника. Найти число различных способов такого выбора.

2. Участники лыжных соревнований стартуют с интервалом в 30 секунд. Чтобы определить порядок старта, спортсмены тянут жребий, определяющий номер старта. Сколько существует различных последовательностей выхода лыжников на старт, если в соревнованиях принимает участие:

а) 6 лыжников; б) 8 лыжников?

3. Найти число разных способов, которыми можно пять студентов разместить в аудитории на 20 мест.

4. Из ящика, содержащего 25 деталей, среди которых 5 дефектных, вынимают 6 деталей. Найти число возможностей вытащить при этом 3 дефектных детали. 

Практическое задание 2

Тема 1.2. Понятие вероятности события. Классическое, статистическое, геометрическое определения вероятности

Вариант 10. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлечённая деталь окажется неокрашенной.

Практическое задание 3

Тема 1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Задание 3.1

В 3 «А» классе  a учеников, из которых b учатся только на пятёрки, c – хорошисты, d – троечники и e – неуспевающие ученики. Найти вероятность того, что случайным образом выбранный школьник учится только на пятёрки или хорошист.

Задание 3.2

Снайпер делает 5 выстрелов в мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна a. Найдите вероятность того, что снайпер первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых. 

Практическое задание 4 

Тема 1.4. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Задание

На конвейере производятся детали определенного вида на трех машинах. Первая машина изготавливает n %, вторая – k %, третья – z % всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно M %, L %, R %.  Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется бракованной?

Практическое задание 5 

Тема 1.5. Формула Бернулли. Асимптотические формулы

Задача 5.1

В группе детского сада n малышей. Найти вероятность того, что среди этих малышей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков. Вероятность рождения мальчика равна k.

Задание 5.2

Швея шьёт платья. Вероятность того, что платье окажется с браком, равна n. Какова вероятность того, что среди k платьев окажется 5 бракованных?

Задание 5.3

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно n раз в k испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25. 

Задание 5.4

Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р. Найти вероятность того, что событие появится не менее n раз и не более k раз. 

Практическое задание 6 

Тема 2.1. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Характеристики дискретной случайной величины

Задача 6.1

В урне n белых и k чёрных шаров. Шары вынимают из урны по одному без возвращения, пока не выберут чёрный шар. Пусть X – число вынутых шаров. Напишите закон распределения для случайной величины X и найдите её математическое ожидание.

Задача 6.2

В урне содержатся шары n различных цветов, причём шаров каждого цвета содержится k штук. Шары выбирают из урны по одному, пока среди выбранных не окажется двух шаров одного цвета. Пусть X – число извлечённых при этом шаров. Найдите закон распределения X и M(X). 

Задача 6.3

Цена лотерейного билета равна 50 руб. Величина выигрыша на один билет X имеет распределение. Саша приобрёл n билетов «Русского лото». Найдите средний выигрыш Саши в ближайшем тираже лотереи, на который он приобрёл билеты. 

Задача 6.4

Стрелок стреляет в цель, пока не попадёт либо пока не сделает m промахов. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна p. Пусть X – число произведённых выстрелов. Напишите закон распределения для случайной величины X и найдите её математическое ожидание M(X). 

Практическое задание 7 

Тема 2.2. Непрерывные случайные величины. Ряд распределения. Характеристики непрерывной случайной величины

Задача 7.1

Зона ответственности локатора определяется в полярных координатах неравенствами f_1<=f<=f_2 и p_1<=p<=100. В случайной точке зоны ответственности может появиться цель. Расстояние её до локатора – случайная величина X. Считая равновозможными все положения цели в зоне ответственности, найдите функцию распределения случайной величины X и её функцию плотности вероятности. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 

Задача 7.2

Случайная величина X имеет функцию распределения 

Найдите M(X), D(X), P(X<a+1/9), P(a+1/16<X<a+1/4), P(X>1/4).

Задача 7.3

Случайная величина X имеет функцию распределения 

Найдите M(X), P(X<a/4), P(a/8<X<a/4). 

Практическое задание 8 

Тема 2.3 Виды распределений  

Задача 8.1

Вероятность выхода изделия первым сортом равна p. Составить ряд распределения для числа Х – изделий первого сорта из общего числа n изготовленных изделий. Построить ее ряд распределения, многоугольник распределения, найти ее числовые характеристики. Найти вероятность того, что будет не менее m изделий первого сорта. 

Задача 8.2

Вариант 1

Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на отлично, наугад извлекаются 3 работы. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, равной числу оцененных на отлично работ среди извлеченных. Построить ее ряд распределения, многоугольник распределения, найти ее числовые характеристики.

Вариант 9

В коробке 20 одинаковых клубков ниток, из них – 4 клубка с красными нитками. Наудачу вынимают 2 клубка. ДСВ Х – число клубков с красными нитками. Построить ее ряд распределения, многоугольник распределения, найти ее числовые характеристики.

Задача 8.3

Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (a; b). Найти: а) дифференциальную и интегральные функции и построить их; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; в) вероятность попадания в интервал (c; d).

Практическое задание 9 

Тема 2.4. Нормальное распределение

Задача 9.1

Случайная величина X имеет плотность распределения вероятностей f(x).

Найти: 

а) M(X) и D(X); 

б) вероятность того, что X примет значение меньше;

в) вероятность того, что X примет значение больше;

г) вероятность того, что X примет значение в интервале;

д) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X от математического ожидания не превысит. 

Задача 9.2

Рост девочек в возрасте от 15 до 20 лет есть нормально распределённая случайная величина X с параметрами a см и d. Какую долю платьев для девочек, имеющих рост от a до b см, нужно предусмотреть в объёме производства для данной возрастной группы.