Материалы по запросу: проективная геометрия
Проективная геометрия в изобразительном искусстве
Введение в проективную геометрию и её основы
Проективная геометрия, окутанная вуалью мистики и точности, занимает особое место в истории науки и искусства. Эта область математики, изучающая свойства
508
+1
0
💯 Компьютерное зрение [Тема 1-4] — ответы на тесты Синергия / МОИ / МТИ / МосАП
ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов проективная свёрточная диспаратная окклюзивная Изображение, представляющее собой сетку (мозаику) цветных точек
Компьютерное зрение (тема 1-4) (новый), 49 вопросов (ответы на тест Синергия / МТИ / МОИ / МосАП)
распознавания человеческой деятельности и их сутью: Установите соответствие между подходами к проективной геометрии и их сутью: Установите соответствие между цветовыми моделями и конкретными цветами:
Объясните, почему проективная геометрия полезна при решении задач на пересечения прямых и кривых и приведите…
Объясните, почему проективная геометрия полезна при решении задач на пересечения прямых и кривых и приведите пример применения
Ответ на вопрос
Проективная геометрия является мощным инструментом для изучения свойств геометрических фигур и их взаимодействий, поскольку она позволяет рассматривать бесконечные случаи и определять взаимодействия объектов с помощью конечного числа условий.Почему проективная геометрия полезна для решения задач о пересечениях:Обработка бесконечностей: В проективной геометрии точки на бесконечности позволяют эффективно работать с параллельными прямыми. Например, в проективной плоскости параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке, что позволяет избежать сложностей, связанных с параллелизмом в евклидовой геометрии.Универсальность методов: Проективные методы применимы к различным типам кривых и позволяют использовать одни и те же приемы для решения задач о пересечениях линий, кривых различных порядков (например, парабол, гипербол) и даже более сложных фигур.Соотношения между объектами: Проективная геометрия изучает как объекты связаны друг с другом. В частности, можно использовать проективные преобразования для упрощения задач и поиска общих свойств различных фигур.Пример применения:Рассмотрим задачу о нахождении точек пересечения двух кривых в проективной плоскости.Допустим, у нас есть два эллипса, заданные уравнениями:( E_1: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 )( E_2: Gx^2 + Hxy + Iy^2 + Jx + Ky + L = 0 )Чтобы найти точки пересечения, мы можем использовать проективные координаты ((x : y : z)). Преобразуем уравнения, добавив однородную переменную ( z ):( E_1: A\frac{x^2}{z^2} + B\frac{xy}{z^2} + C\frac{y^2}{z^2} + D\frac{x}{z} + E\frac{y}{z} + F = 0 )( E_2: G\frac{x^2}{z^2} + H\frac{xy}{z^2} + I\frac{y^2}{z^2} + J\frac{x}{z} + K\frac{y}{z} + L = 0 )После изменения системы уравнений можно использовать методы проективной геометрии для нахождения точек пересечения. Например, мы можем рассмотреть систему уравнений как матричное уравнение и решить его, находя детерминанты, что позволит выявить точки пересечения.Таким образом, проективная геометрия дает мощные инструменты для подхода к задачам о пересечениях различных геометрических объектов, делая процесс более элегантным и понятным.
Еще
10
1
Технология воссоздания облика архитектурных ансамблей с использованием ГИС на примере исторического центра г. Смоленск
графики, трехмерного моделирования) позволяют реализовать известные в архитектуре методы проективной геометрии на качественно новом уровне. В настоящее время создание и использование трехмерных виртуальных
Практический кейс: спроектируйте геометрический алгоритм для задачи распознавания и восстановления прямоугольных…
прямоугольных объектов на изображении с шумом (компьютерное зрение); какие элементы евклидовой и проективной геометрии вы используете и почему
Ответ на вопрос
Алгоритм (пошагово) и используемые геометрические элементы.
1) Предобработка
- Удаление шума: гауссов фильтр или нелинейные (median) + нормализация.
- Детекция границ: Canny. (Эвклидова геометрия: градиенты, нормали).
2) Поиск прямых (границ) в шуме
- Использовать вероятностный Hough (Probabilistic Hough) или LSD; порог по длине и согласованности направления.
- Группировать линии по углу (кластеры направлений) — ожидаются две доминирующие ортогональные группы для прямоугольника. (Проективная/евклидова: направление линии в изображении).
3) Устойчивое выделение релевантных линий (робастность к выбросам)
- RANSAC для подгонки прямых/параллельных групп и удаления выбросов. (Робастная оценка параметров в проективной плоскости).
4) Построение вершин (углов) как пересечений найденных линий
- Если линии заданы гомогенными коэффициентами \(l=(a,b,c)\), пересечение двух линий \(l_1,l_2\) даётся как вектор в гомогенной форме:
\[ x = l_1 \times l_2. \]
- Аналогично, линия через два гомогенных точки \(x_1,x_2\): \(l = x_1 \times x_2\).
5) Проверка и фильтрация четырехугольников
- Перебрать пары направлений, взять 4 пересечения; проверить выпуклость, непрерывность краёв, минимальную сторону/площадь.
- Оценить близость углов к \(90^\circ\) в декартовых координатах после метрической ректификации (см. далее) или использовать проективные инварианты для ранней фильтрации (например, отношение углов/длин).
6) Проективная реставрация (выпрямление)
- Прямоугольник в сцене даёт на изображении общую четырёхугольник — требуется найти гомографию \(H\), переводящую найденный четырёхугольник в образ прямоугольника. Решается по 4 соответствиям точек: для каждой пары \(x_i \leftrightarrow X_i\) имеем
\[
x'_i \sim H x_i,
\]
линейные уравнения для вектора \(h\) (строки/столбцы \(H\)) и решение через SVD (нормализация точек по Hartley улучшает численную устойчивость).
- Формула (общее): для каждого соответствия даём 2 уравнения вида
\[
\begin{aligned}
& x (h_7 X + h_8 Y + h_9) - (h_1 X + h_2 Y + h_3) = 0,\\
& y (h_7 X + h_8 Y + h_9) - (h_4 X + h_5 Y + h_6) = 0.
\end{aligned}
\]
7) Получение ванишинг-точек и линия бесконечности (проект. геометрия для метрической ректификации)
- В пересечении параллельных в 3D сторон в изображении появляются vanishing points \(v\). Для двух направлений (две группы параллельных сторон) получаем \(v_1,v_2\):
\[
v = l_i \times l_j \quad (\text{пересечение двух образов параллельных линий}).
\]
- Линия бесконечности изображений: \(l_\infty = v_1 \times v_2\).
- Проективная ректификация: подобрать гомографию \(H_p\), которая отправит \(l_\infty\) в \((0,0,1)\) — это устраняет проектные искажения (переводит в аффинную систему).
8) Метрическая ректификация (восстановление углов/масштаба)
- Для восстановления ортогональности требуется найти изображение абсолютного круга/комплексной точки или матрицу \(\omega\) (образ абсолютной конки) из условий ортогональности двух пар направлений: для двух ортогональных ванишинг-точек \(v_i,v_j\) справедливо
\[
v_i^\top \,\omega\, v_j = 0.
\]
- Решив систему для \(\omega\) (нужно минимум 2 независимые ортогональные пары → 2 уравнения), получить аффин→евклид-гомографию \(H_e\), восстанавливающую углы. Если известны внешние параметры камеры или соотношение сторон, использовать как дополнительное ограничение.
9) Финальные шаги: уточнение и валидация
- Подстройка (nonlinear refinement) через оптимизацию (bundle adjustment / Levenberg–Marquardt) минимизируя геометрическую ошибку (например суммарное расстояние краёв до линий или reprojection error для вершин).
- Крайняя валидация: проверка прямолинейности/ортогональности сторон, ожидаемых размеров, симметрий.
Почему используются элементы евклидовой и проективной геометрии
- Проективная геометрия: изображение плоской прямоугольной поверхности при произвольной камере — это проективное отображение (гомография). Для коррекции перспективных искажений и получения фронтальной (аффинной) проекции нужны гомографии, ванишинг-точки, линия бесконечности и проектные инварианты (например cross-ratio). Эти инструменты позволяют корректно соединять линии и вершины в присутствии перспективы. Формулы: пересечения, гомография \(x'\sim Hx\).
- Евклидова геометрия: после устранения проектной составляющей мы хотим восстановить истинные углы и расстояния (метрические свойства): ортогональность, длины сторон, соотношения — это уже евклидовы понятия (включают скалярное произведение, норму). Для этого нужна метрическая/евклидова ректификация (образ абсолютной конки \(\omega\), проверка ортогональности через \(v^\top \omega v'=0\)).
Практические приёмы для шума/нестабильности
- Нормализация точек (Hartley) перед SVD, RANSAC при поиске gомографий/vanishing points/линий, sub-pixel refinement углов (corner refinement), пороги по длине и согласованности линий.
- Проверять несколько гипотез (альтернативные наборы 4 линий) и выбирать по метрике качества (reprojection error, согласованность углов).
Короткое резюме формул, которые понадобятся:
- пересечение линий: \(x = l_1 \times l_2\), линия через точки: \(l = x_1 \times x_2\);
- ванишинг-точка: пересечение произведённых параллельных линий \(v\);
- линия бесконечности: \(l_\infty = v_1 \times v_2\);
- однострочное соотношение гомографии: \(x' \sim H x\);
- ортогоничность ванишинг-точек: \(v_i^\top \omega v_j = 0\).
Эти шаги и инструменты дают устойчивый геометрический пайплайн для распознавания и восстановления прямоугольных объектов в шумных изображениях.
Еще
11
1
Проследите историческое развитие понятия проективного отображения и проекции от античности до XIX века:…
Проследите историческое развитие понятия проективного отображения и проекции от античности до XIX века: какие геометрические проблемы стимулировали развитие проективной геометрии, как менялись формулировки основных
Ответ на вопрос
Историческое развитие понятия проективного отображения и проекции представляет собой угроз манифестации человеческой мысли в области геометрии. Чтобы проследить этот путь, необходимо обратиться к ключевым этапам и фигурам, определившим проективную геометрию от античности до XIX века.АнтичностьВ античные времена геометрия была тесно связана с практическими задачами, такими как строительство, астрономия и землемерие. Древнегреческие математики, например Евклид, занимались исключительно евклидовой геометрией и исследовали свойства фигур в рамках плоского пространства. Однако уже в это время можно наблюдать элементы проективного мышления, например, в работах по перспективе, в которых исследовались свойства зрительного восприятия.Средние века и РенессансВ средние века и в эпоху Ренессанса возобновился интерес к античной геометрии, дополненный новыми открытиями. Работы таких ученых как Альбертus Magnus и Леонардо да Винчи привели к началу формулировки понятий, близких к проективным. Изучение перспективы в живописи стало важным стимулом для изучения проекций и проективного пространства: художники начали систематизировать законы перспективы, что вело к более глубокому пониманию свойств пространства.XVII—XVIII векаВ XVII веке со стороны таких математиков как Гюйгенс и Декарт появились попытки формализовать проективные понятия. Декарт ввел координатный подход, который позволил связывать алгебру и геометрию. В XVIII веке новые идеи развивались, в том числе и в контексте проективного пространства, благодаря работам Эйлера и другие. Эйле́р дал значительный вклад в теорию проективных и перспективных свойств форм, что стало основой для дальнейшего исследования.XIX векНастоящий расцвет проективной геометрии пришелся на XIX век, особенно благодаря работам таких математиков, как Плейфейр, Лаярд и другие. Плейфейр, например, разработал методы, которые позволили более четко формулировать основные понятия проективной геометрии, такие как проективные преобразования и их свойства. В это время различные системы аксиом начали соперничать друг с другом, и проективная геометрия становится самостоятельной областью, самостоятельной от евклидовой.Методические выводыИзучение исторического развития проективной геометрии может дать ряд методических выводов для современного преподавания:Контекстualизация изучаемого материала: Понимание исторического контекста развития проективной геометрии может помочь студентам лучше осознавать, как и почему развивались те или иные идеи.Интеграция искусства и математики: Уроки могут включать элементы искусства (перспектива в живописи) для иллюстрации практического применения проективной геометрии.Исторические задачи: Использование исторических задач, которые решали математики прошлого, может обогатить учебный процесс и сделать его более интересным.Постепенное введение новых понятий: Постепенное введение понятий и идей, начиная с простых, приводит к более глубокому пониманию сложных концепций проективной геометрии.Таким образом, история проективной геометрии представляет собой богатый источник для изучения, который может быть использован для повышения качества преподавания и понимания математики в целом.
Еще
13
1
Сформулируйте и докажите несколько эквивалентных формулировок теоремы Менелая и сравните области применимости…
формулировок теоремы Менелая и сравните области применимости каждой формулировки в планиметрии и проективной геометрии; приведите наглядные примеры, где одна формулировка удобнее другой
Ответ на вопрос
Формулировки (эквивалентные).
1) (Классическая, с ориентированными отрезками.) Для треугольника \(ABC\) и точек \(D\in BC\), \(E\in CA\), \(F\in AB\) точки \(D,E,F\) коллинеарны тогда и только тогда, когда
\[
\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=-1,
\]
где дроби понимаются как ориентированные отношения (знак учитывает принадлежность отрезка или его продолжения).
2) (Афинная / координатная.) Пусть координаты вершин заданы в аффинной системе; пусть точки \(D,E,F\) заданы параметрически на сторонах через параметры \(\lambda,\mu,\nu\):
\[
D=B+\lambda(C-B),\quad E=C+\mu(A-C),\quad F=A+\nu(B-A).
\]
Точки \(D,E,F\) коллинеарны тогда и только тогда
\[
\lambda\mu\nu=1,
\]
что эквивалентно формуле (1) при переводе параметров в отношения отрезков.
3) (Гомогенная / проективная, через однородные координаты или сечёные.) В проективной термике Menelaus утверждает: для треугольника и прямой \(l\), пересекающей стороны (или их продолжения) в трёх точках, произведение ориентированных делений равно \(-1\). Эта формулировка эквивалентна сохранению коллинеарности при проективных преобразованиях; в гомогенных координатах условие коллинеарности даётся детерминантом нулевым, что сводится к той же алгебраической форме.
4) (Двойственная/через Ceva.) Дуальная формулировка (по принципу проектной дуальности): для треугольника \(ABC\) и прямых \(a\ni A\), \(b\ni B\), \(c\ni C\) каждая пересекающая противоположную вершину, прямые сопряжённо пересекаются в одной точке тогда и только тогда
\[
\frac{BD'}{D'C}\cdot\frac{CE'}{E'A}\cdot\frac{AF'}{F'B}=1,
\]
(формула Ceva). Менелай и Ceva — взаимные при проектной дуальности; Menelaus даёт \(-1\) из-за ориентации при переходе от коллинеарности к конкуренции.
Короткие доказательства.
A) Доказательство через подобие (стандартное, аффинное). Пусть прямая \(l\) пересекает \(BC,CA,AB\) в \(D,E,F\). Проведя через вершины параллели и рассматривая соответствующие треугольники, получаем подобия, дающие:
\[
\frac{BD}{DC}=\frac{\sin\angle BAF}{\sin\angle FAC},\quad
\frac{CE}{EA}=\frac{\sin\angle CBD}{\sin\angle DBA},\quad
\frac{AF}{FB}=\frac{\sin\angle AEC}{\sin\angle CEB}.
\]
Перемножив и упростив (учитывая, что некоторые углы равны по смежности), получаем требуемое \(-1\). (Это классический треугольный вывод через теорему синусов в малых треугольниках.)
B) Координатное доказательство. Положим \(A=(0,0),\;B=(1,0),\;C=(0,1)\). Пусть
\[
D=(1-t,t),\quad E=(0,1-s),\quad F=(r,0)
\]
(параметры выражают деления сторон). Условие коллинеарности точек \(D,E,F\) эквивалентно нулю детерминанта
\[
\det\begin{pmatrix}1-t & t & 1\\ 0 & 1-s & 1\\ r & 0 & 1\end{pmatrix}=0.
\]
Разложив детерминант и выразив отношения \(\frac{BD}{DC}=\frac{1-t}{t}\), \(\frac{CE}{EA}=\frac{1-s}{s}\), \(\frac{AF}{FB}=\frac{r}{1-r}\), получаем
\[
\frac{1-t}{t}\cdot\frac{1-s}{s}\cdot\frac{r}{1-r}=-1,
\]
что есть (1).
C) Проективное объяснение. Menelaus инвариантна при проективных преобразованиях (коллинеарность и отношение деления на одной прямой задаются однородными координатами). Поэтому часто удобнее применить проективный перенос, сведя конфигурацию к простой (например, послать \(l\) в бесконечно удалённую прямую — тогда условие превращается в условие о параллельности пар сторон) и проверить равносильное соотношение там.
Сравнение областей применимости.
- Планиметрия (евклидова, метрическая). Формулировка (1) удобна для вычислений отрезков и частотных задач (метрические задачи, mass points). Доказательства через подобие и теорему синусов естественны. Подписи (знаки) и учёт продолжений сторон делают формулировку полностью пригодной для геометрических построений и численных задач.
- Аффинная геометрия. Координатная формулировка и параметры \(\lambda,\mu,\nu\) удобны: Menelaus сводится к простому алгебраическому уравнению \(\lambda\mu\nu=1\). Полезно, если разрешено применять аффинные преобразования (сохранение параллельности, отношения делений на прямой).
- Проективная геометрия. Menelaus — естественное проективное утверждение о коллинеарности, выражаемое через ориентированные отношения на прямых или через однородные координаты/кросс-отношения. Проективная версия удобна тогда, когда пользуются проективными преобразованиями (сведение сложной конфигурации к более простой), или при доказательстве дуальности с теоремой Ceva. В проективной геометрии чаще употребляют однородные координаты и свойства проективных отображений.
Примеры, где одна формулировка удобнее другой.
1) Числовая задача в планиметрии.
Пусть в треугольнике \(ABC\) прямая пересекает \(BC\) в \(D\) с \(\frac{BD}{DC}=2\) и \(CA\) в \(E\) с \(\frac{CE}{EA}=3\). Найти \(\frac{AF}{FB}\).
По Menelaus:
\[
2\cdot 3\cdot\frac{AF}{FB}=-1\quad\Rightarrow\quad \frac{AF}{FB}=-\frac{1}{6}.
\]
Отрицательный знак означает, что \(F\) лежит на продолжении \(AB\) за \(B\). Здесь классическая формулировка самая прямая.
2) Проективное упрощение конфигурации.
Если прямая \(l\), пересекающая стороны треугольника в трудной для вычисления конфигурации, может быть послана проективным преобразованием в бесконечно удалённую прямую, то образы сторон треугольника станут попарно параллельными; тогда условие Menelaus становится условием о соотношениях направлений (очень просто проверяется). После проверки возвращаемся обратным преобразованием. Здесь удобна проективная/гомогенная формулировка (сохранение коллинеарности и однородных соотношений).
Короткое замечание о связях. Menelaus и Ceva — «двойственные» утверждения: Menelaus выражает коллинеарность трёх точек на сторонах треугольника через произведение ориентированных отношений равным \(-1\); Ceva выражает конкуренцию трёх cevian через произведение равным \(1\). В проективной геометрии переход между ними реализуется дуальностью (точка↔прямая).
Итого: основные формы Menelaus — ориентированные отношения, аффинные параметры и гомогенные/проективные — эквивалентны; выбор зависит от задачи: для численных/планиметрических расчётов — классическая форма, для сокращения конфигурации и использования проективных преобразований — проективная/гомогенная форма.
Еще
8
1
Выполните сравнение двух доказательств теоремы Менелая для треугольника: классического с использованием…
ориентированные отрезки; оцените преимущества каждого подхода для общего случая треугольников в проективной геометрии и предложите методику преподавания этой теоремы для старших классов
Ответ на вопрос
Ниже — сжатое, но полное сравнение двух подходов к доказательству теоремы Менелая для треугольника, оценка их применимости в проективной геометрии и предложенная методика преподавания в старших классах.Формулировка (ориентированная)
Пусть в треугольнике ABC прямая пересекает прямые BC, CA, AB в точках X, Y, Z (точки могут лежать на продолжениях сторон). Тогда
(BX / XC) · (CY / YA) · (AZ / ZB) = −1,
где дроби — отношения ориентированных отрезков (знак учитывает направление).Классическое доказательство «через подобие»
Идея:Рассматривают частные случаи (например, когда прямая пересекает две стороны внутри, одну — вне) и строят пары подобных треугольников, образующихся при пересечении стороны и секущей.Из каждой пары получают равенство отношений отрезков (например, BX/XC = ?/?) и затем перемножают три таких равенства, получая искомую равенство (в беззнаковой форме обычно получают 1, но учёт внешнего/внутреннего положения даёт знак).Плюсы:Геометрически интуитивно: опирается на знакомые понятия подобия треугольников.Доступен учащимся, хорошо подходит для начального знакомства с теоремой.Наглядные схемы и локальные соотношения легко рисовать и обсуждать.Минусы:Требует разборов нескольких случаев (пересечения внутри/снаружи), чтобы корректно учесть знак — это громоздко и легко запутаться.Плохо масштабируется на более общие (проективные) формулировки: точки на бесконечности и вырожденные случаи требуют отдельного рассмотрения или перехода к ориентированным отношениям.Доказательство через ориентированные отрезки / координаты / проективный подход
Идея (координатная / ориентированная длина):
На каждой стороне вводят ориентированную координату (например, на BC положить B ↦ 0, C ↦ 1; тогда любая точка X на прямой BC имеет параметр t = BX/XC в ориентированной форме).Коллинеарность точек X, Y, Z (пересечение одной и той же секущей) выражается линейным зависимым соотношением их афинных/гомогенных координат; из этого вытекает соотношение (BX/XC)·(CY/YA)·(AZ/ZB)=−1.
Альтернативно, использовать гомогенные координаты (проективный способ): записать уравнения прямых и точек и воспользоваться тем, что если три точки коллинеарны, их координаты удовлетворяют детерминантному соотношению; итог даёт тот же продукт с минусом.Плюсы:Единая формула покрывает все случаи (внутренние/внешние пересечения, точки на бесконечности) — знак и бесконечности обрабатываются естественно.Прямо переносится в проективную геометрию (гомогенные координаты, отображения), т.к. использует ориентированные длины/координаты и линейную алгебру.Удобно для обобщений (двойственность с теоремой Чева, формулы для многогранников, связки с кросс-отношением).Минусы:Требует введения понятия ориентированных отрезков/знаков и/или координат, что для части учащихся более абстрактно.Меньше «наглядности» для учеников, непривычных к алгебраической интерпретации геометрии.Оценка применимости для общего случая треугольников в проективной геометрии
Классический подход хорош в эвклидовой геометрии как интуитивное доказательство и для «чисто геометрических» задач. Но он не даёт естественного способа работы с точками на бесконечности и с вырожденными конфигурациями.Ориентированный/координатный (проективный) подход — предпочтителен для общей теории. В проективной геометрии естественны гомогенные координаты и отношения (включая бесконечность); Menelaus тогда является частным случаем линейных соотношений и легко выводится из алгебраических условий коллинеарности. Кроме того, эта форма обеспечивает чистую связь с теоремой Чева через дуальность в проективной плоскости.Резюме: для фундаментальной и всеобщей теории (и для обобщений) — ориентированные отрезки / гомогенные координаты; для интуитивного ознакомления — классическое доказательство через подобие.Методика преподавания для старших классов (план на 2–3 урока)
Цель: дать интуицию, затем строгую общую формулировку и показать связь с Чевой и проективными идеями.Урок 1 — мотивация и классическое доказательствоВступление: привести конкретные геометрические задачи, где нужно показать коллинеарность точек (или найти точки пересечения).Постановка задачи Менелая (геометрическая картинка).Провести классическое доказательство через подобие (рассмотреть типичный случай, где все три пересечения внутри сторон); затем разобрать один вариант с внешним пересечением, показать, откуда берётся знак.Упражнения: несколько задач на применение, простые конфигурации.Урок 2 — ориентированные отрезки и единая формулировкаВвести понятие ориентированного отрезка (правило знаков) и показать примеры.Доказать теорему Менелая в ориентированной форме (координатный/алгебраический способ или кратко через ориентированные подобия), показать как одна формула охватывает все случаи и точки на бесконечности.Упражнения: случаи с точкой на бесконечности (секущая параллельна стороне), а также проверить частные конфигурации.Урок 3 — связи и обобщенияПоказать двойственность Менелая и Чева; привести формулу Чева и показать, как одно следует из другого в проективной дуальности.Небольшое введение в гомогенные координаты (на интуитивном уровне): как записать точку/прямую; вывести Менелая через детерминанты (опционально).Проект/исследование: дать учащимся задачу-исследование — привести несколько геометрических конфигураций, проверить Menelaus экспериментально (с геометрическим редактором), затем формализовать выводы.Методы и приёмыИнтерактивность: использование геометрических редакторов (GeoGebra) для наблюдения случаев с точками на бесконечности и смены конфигурации секущей.Визуализация знака: показать на конкретных отрезках, как меняются знаки при переходе через вершины.Массовые точки (mass points) как вспомогательная техника — полезна для практических задач и связана с Чевой.Чёткие контрольные вопросы: «как определить знак в дроби?», «что происходит при параллельности?», «какие случаи покрывает классическое доказательство?».Домашняя работа и оценкаНабор задач: прямое применение теоремы (найти неизвестный отрезок), задачи на комбинацию Менелая + Чева, задания на проверку случаев с точками на бесконечности.Одна задача «обобщение»: доказать Менелая через гомогенные координаты или показать эквивалентность с использованием отношений площадей.Практические рекомендации учителю
Начать с наглядного классического доказательства, чтобы «захватить» смысл.Ввести ориентированные отрезки как обязательный инструмент далее (это снимает необходимость рассматривать множество частных случаев).Демонстрировать примеры в GeoGebra — особенно легко показать переход внутреннего пересечения в внешнее и появление знака «−».Связать тему с Чевой и с основами проективной точки зрения (дуальность, точки на бесконечности), но не углубляться в гомогенные координаты дольше, чем того требует уровень класса.ЗаключениеДля старших классов оптимальна связка: сначала классическое доказательство через подобие (интуиция), затем переход к ориентированным отрезкам и координатному/проективному доказательству (общность и строгость). Это даёт и наглядность, и подготовку к более абстрактной геометрии/линейной алгебре.
Еще
10
1
Сравните и сопоставьте теоремы Чевы и Менелая: сформулируйте обобщённые версии в барицентрических координатах…
теоремы Чевы и Менелая: сформулируйте обобщённые версии в барицентрических координатах и в проективной геометрии, приведите примеры задач, где применение одной теоремы принципиально проще, и объясните почему
Ответ на вопрос
Кратко и по делу: классические формулировки, обобщённые версии в барицентрических координатах и в проективной геометрии, примеры и объяснение, где какая теорема удобнее.
1) Классические формулировки
- Теорема Чевы (евклидова форма). Для точки пересечения цевиан \(AD, BE, CF\) в треугольнике \(ABC\) имеем (с ориентированными отрезками)
\[ \frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1. \]
- Теорема Менелая. Для прямой, пересекающей стороны (или их продолжения) треугольника \(ABC\) в точках \(D\in BC,\;E\in CA,\;F\in AB\) (с ориентированными отрезками)
\[ \frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=-1. \]
2) Обобщённые версии в барицентрических (гомогенных) координатах
Пусть вершины заданы барицентриками \(A=(1,0,0),\;B=(0,1,0),\;C=(0,0,1)\). Точка на стороне \(BC\) имеет вид \((0,\beta,\gamma)\) и отношение ориентированных отрезков \(BD:DC\) пропорционально \(\gamma:\beta\) (в гомогенных координатах берут отношение невырожденных координат).
- Барицентрическая форма Чевы. Пусть цевианы идут через точки
\(A_1=(0,\beta_1,\gamma_1),\;B_1=(\alpha_2,0,\gamma_2),\;C_1=(\alpha_3,\beta_3,0)\).
Они конкурентны тогда и только тогда, когда
\[ \frac{\gamma_1}{\beta_1}\cdot\frac{\alpha_2}{\gamma_2}\cdot\frac{\beta_3}{\alpha_3}=1. \]
Эквивалентно нулю определитель
\[
\det\begin{pmatrix}
0 & \beta_1 & \gamma_1\\[2pt]
\alpha_2 & 0 & \gamma_2\\[2pt]
\alpha_3 & \beta_3 & 0
\end{pmatrix}=0,
\]
что даёт алгебраическую универсальную форму для любых полей.
- Барицентрическая форма Менелая. Для точек на сторонах
\(D=(0,\beta_1,\gamma_1)\in BC,\;E=(\alpha_2,0,\gamma_2)\in CA,\;F=(\alpha_3,\beta_3,0)\in AB\)
коллинеарность \(D,E,F\) (с ориентировкой) равносильна
\[ \frac{\beta_1}{\gamma_1}\cdot\frac{\gamma_2}{\alpha_2}\cdot\frac{\alpha_3}{\beta_3}=-1. \]
Или, опять же, через детерминант трёх гомогенных координат равный нулю (условие ранга ≤2).
3) Проективная (и дуальная) формулировка
- Проективно Чева и Менелай — дуальны: коллинеарность точек ↔ конкурентность линий. В проективной плоскости над произвольным полем обе теоремы формулируются через гомогенные координаты и детерминанты (нет нужды в метрике или длинах), а знак учитывают через ориентированные (или расширенные) отношения.
- Проективная форма Чевы (гомогенные координаты): для точек как выше concurrency эквивалентно нулю указанного 3×3-детерминанта. Это универсальная версия, действует над любым полем.
- Менелай как следствие проективной дуальности: прямая, пересекающая три стороны треугольника, даёт одно условие на гомогенные координаты точек пересечения; это условие опять записывается детерминантом или эквивалентным произведением отношений (с учётом знаков).
4) Почему одна теорема удобнее, примеры
- Когда удобнее использовать Чеву
- Задача о конкуренции цевиан (медианы, биссектрисы, высоты, любые цевианы): Чева даёт практически мгновенное условие. Пример: доказать, что медианы пересекаются в одной точке (центроиде). Для медиан каждое отношение \(BD:DC=1\), поэтому по Чеве \(1\cdot1\cdot1=1\) — готово.
- Когда работают с барицентриками: проверка, что три прямые, заданные вершинами и точками на противоположных сторонах, пересекаются в единой точке — естественно через барицентрическую форму Чевы (матричный критерий даёт линейную систему для координат пересечения).
- Когда удобнее использовать Менелая
- Задачи о коллинеарности точек, полученных как пересечение сторон и продолжений — естественная сфера Менелая. Пример: дан треугольник, прямая пересекает стороны (или их продолжения) в трёх точках; чтобы проверить коллинеарность этих трёх точек удобно прямо применить Менелая (например, при решении задач на секущие и хорды, при доказательствах свойств касательных и т.п.).
- При вычислении координат точки пересечения прямой с одной из сторон (когда известны отношения на двух сторонах), Menelaus даёт простое соотношение для третьего отношения (из уравнения произведения).
- Пример конкретный (иллюстрация удобства).
1) Конкуренция медиан: Чева — мгновенно: \(1\cdot1\cdot1=1\).
2) Коллинеарность точек пересечения прямой с продолжениями сторон: Менелай — прямо проверяем, потому что прямой даёт три пересечения, и надо показать \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=-1\). Для той же задачи применять Чеву неестественно, потому что нужно перейти к дуальной постановке (проверять конкурентность прямых).
5) Резюме по методике
- Барицентрические координаты превращают Чеву/Менелая в линейно-гомогенные отношения и детерминантные критерии — удобно для алгебраических вычислений и обобщений (работа над любым полем).
- Проективный взгляд подчёркивает дуальность: Чева (конкуренция цевиан) и Менелай (коллинеарность точек на секущей) — одно отображается в другое при дуальности; это объясняет общность формул и их сохранение при проективных преобразованиях.
- Практически: для задач на конкуренцию цевиан берём Чеву/барицентрики; для задач на коллинеарность точек на линии — Менелая. Проективный подход полезен, если заданы более общие (включая точки на бесконечности) или необходимо использовать дуальность.
Если нужно, могу дать краткие выводы детерминантных формул и вывод равенства произведений из детерминанта, или разобрать конкретную задачу пошагово (например, координатный пример с численными барицентриками).
Еще
5
1
Афинная и проективная геометрия (расчетно-графическая контрольная работа) №1
Афинная и проективная геометрия (расчетно-графическая контрольная работа) №1
Назовите фамилию ученого,одного из основателей математического анализа,теории вероятностей и проективной…
Назовите фамилию ученого,одного из основателей математического анализа,теории вероятностей и проективной геометрии,в честь которого названа ежегодная французская научная премия?
125
1
Сравните методы аналитической геометрии и комплексного числа для доказательства свойства: образ медиан…
Сравните методы аналитической геометрии и комплексного числа для доказательства свойства: образ медиан треугольника при проективном преобразовании остаётся, если и только если сохраняется некоторый класс
Ответ на вопрос
Кратко: оба подхода дают доказательство, но с разной природой и областями применимости. Ниже — суть, короткая формальная проверка и плюсы/минусы при обобщениях.
Формулировка свойства (интуитивно): образ медиан треугольника при проективном преобразовании остаётся медианами тогда и только тогда, когда преобразование сохраняет середины отрезков (т.е. некоторый класс аффинных соотношений — деление отрезка в отношении \(1:1\)).
Короткая аналитическая проверка в однородных координатах
- Пусть вершины в аффинных однородных координатах заданы как векторы \((x,y,1)\). Проективное преобразование задаётся невырожденной матрицей \(M\in GL(3)\) и действует как
\[
X' \sim M X.
\]
- Для двух аффинных точек \(A,B\) их середина (в аффинной модели) пропорциональна вектору \(A+B\). Требование «середина переводится в середину» означает (с учётом однородности)
\[
M(A+B)\ \text{коллинеарно}\ MA+MB,
\]
а это для произвольных \(A,B\) эквивалентно линейности образа сумм, что даёт ограничение на матрицу \(M\): последняя строка должна быть пропорциональна \((0,0,1)\), т.е. преобразование оставляет бесконечную прямую фиксированной и сводится к аффинному виду. Следовательно: проектия сохраняет середины (и значит медианы) тогда и только тогда, когда она аффинна (сохраняет параллельность / линию на бесконечности).
Интерпретация через инварианты: проективные преобразования сохраняют кросс-отношение и гармоническое деление, но не арифметический средний. Середина — не проективный инвариант, а аффинный; потому условие «медианы переходят в медианы» эквивалентно сохранению этих аффинных соотношений.
Подход с комплексными числами (плоскость ≃ \(\mathbb C\))
- В аффинной модели плоскость представляют как комплексная прямая \(z\in\mathbb C\), середина \(M\) двух точек \(z_1,z_2\) равна \((z_1+z_2)/2\). Аффинные преобразования имеют вид \(z'=\alpha z+\beta\) и явно сохраняют середины.
- Проективные преобразования на проективной прямой задаются дробно-линейными отображениями \(z'=\dfrac{az+b}{cz+d}\), которые в общем не сохраняют арифметическую сумму, поэтому середины не сохраняются. Доказательство «середина сохраняется ⇔ отображение аффинно» получается коротко через проверку функционального уравнения на сумму.
- Комплексный метод даёт компактные формулы и часто короче для плоских выкладок, особенно если нужны углы, окружности, крутки и т. п.
Преимущества/недостатки (сравнение)
1) Аналитическая геометрия (однородные координаты, матрицы)
- Плюсы:
- Полная общность для проективной геометрии; естественно работает в произвольной размерности (\(\mathbb P^n\)).
- Лёгко формализовать и учесть вырожденные случаи; мощный аппарат линейной алгебры.
- Ясно показывает, какие именно строки/столбцы матрицы отвечают за «аффинность» (внятное условие на матрицу).
- Минусы:
- Вычислительно громоздко, может скрывать геометрическую интуицию.
- Формулы бывают громоздки для ручных выкладок.
2) Комплексные числа / дробно-линейные отображения
- Плюсы:
- Компактность и элегантность вычислений в плоскости (2D); удобно для задач с углами, окружностями, симметриями.
- Простая работа с выражениями вида \((z_1+z_2)/2\), быстрое проверять, сохраняется ли середина.
- Минусы:
- Менее естественны для чисто проективных инвариантов (кросс-отношение удобнее, но середина — аффинное понятие).
- Труднее масштабировать в высшие размерности (нужна замена: комплексные пространства и \(\mathbb{CP}^n\), но интерпретация меняется).
- Часто скрывают реальную/мнимую структуру и ориентацию, что важно при обобщениях.
Обобщения
- Для вопросов, основанных на проективных инвариантах (кросс-отношение, гармоническое деление, проективная связь) — предпочтительны однородные координаты и линейная алгебра; они легко переносятся на \(\mathbb P^n\).
- Для задач, где ключевое — аффинные соотношения (середины, деление в фиксированном отношении, центры масс) — удобнее работать в аффинных координатах; доказательство выше показывает, что требование сохранения таких соотношений резко ограничивает проекцию до аффинной.
- Комплексный подход хорош для двумерных специальных обобщений (окружности, углы, симметрии), но при переносе на многомерные случаи и на чисто проективные инварианты он либо теряет удобство, либо требует перехода к более абстрактной теории комплексных проективных пространств.
Короткий итог: для доказа «медианы переходят в медианы ⇔ сохраняются середины (а значит преобразование аффинно)» наиболее прямой и общий путь — однородные координаты/матрицы (аналитическая геометрия). Комплексный метод даёт компактные 2D выкладки и интуицию, но хуже масштабируется и менее естественен для чисто проективных/высокоразмерных обобщений.
Еще
8
1
Аффинная геометрия, ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ РГКР №3
Аффинная геометрия, ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ РГКР №3
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Расчетно-графическая контрольная работа №2
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Расчетно-графическая контрольная работа №2
АФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Расчетно-графическая контрольная работа №1
1. Клейн, Ф. Неевклидова геометрия / Ф. Клейн. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 360 с. 2. Горшкова, Л.С. Проективная геометрия / Л.С. Горшкова, В.И. Паньженский, Е.В. Марина. – М. : Изд-во ЛКИ, 2007. – 168
Афинная и проективная геометрия (расчетно-графическая контрольная работа) №4
Афинная и проективная геометрия (расчетно-графическая контрольная работа) №4
Афинная и проективная геометрия (расчетно-графическая контрольная работа) №3
Афинная и проективная геометрия (расчетно-графическая контрольная работа) №3
Афинная и проективная геометрия (расчетно-графическая контрольная работа) №2
Афинная и проективная геометрия (расчетно-графическая контрольная работа) №2
Что почитать про геометрию в программировании? Доброго времени суток, уважаемые! Интересует литература…
Что почитать про геометрию в программировании? Доброго времени суток, уважаемые! Интересует литература по: 1) "геометрическим алгоритмам" (например алгоритм, позволяющий найти минимальную окружность описывающую
Ответ на вопрос
Для изучения геометрических алгоритмов и проективной геометрии в программировании, рекомендую следующие книги:1) "Computational Geometry: Algorithms and Applications" автора Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld и Mark Overmars. Эта книга покрывает различные алгоритмы и техники в вычислительной геометрии, включая поиск минимальной окружности, выпуклую оболочку, триангуляцию и многое другое.2) "3D Math Primer for Graphics and Game Development" автора Fletcher Dunn и Ian Parberry. Эта книга рассматривает математические основы 3D графики, включая линейную алгебру и кватернионы, которые широко используются в компьютерной графике, включая разработку рейтрейсера.3) "Real-Time Rendering" авторов Tomas Akenine-Moller, Eric Haines и Naty Hoffman. Это классическое руководство по основам реального времени рендеринга также включает математические концепции и алгоритмы, используемые при написании рейтрейсера.Надеюсь, что эти книги помогут вам в изучении геометрии в программировании. Успехов в изучении!
Еще
243
1
Что часто ищут
- андрей петров
- определить выход концентрата
- моделирование бизнес процессов организации
- по уголовному
- финансовая политика рф
- статистические методы изучения уровня жизни
- государственные решения
- статистическое изучение уровня жизни населения
- определить выход концентрата и хвостов если фабрика перерабатывает руду
- объектами правоотношения являются
Поможем написать учебную работу