Как решать уравнения с логарифмами: простейшие, сложные и с переменным основанием + примеры

Изучив, как решать уравнения с логарифмами, студент приобретает значимый навык для понимания математических основ. Их прикладная польза составляет важный пласт математики и применяется в физике, астрономии, сейсмологии и даже теории музыки. В сегодняшнем материале мы подробно охватим этот раздел алгебры.

Освойте тему в пошаговом формате и уверенно применяйте знания на практике. Но если времени мало, а задание нужно сделать быстро, доверьте его профессионалам — на платформе Studwork вас ждут 93 000 специалистов, готовых помочь с заказом решения задач по алгебре любой сложности.

Что такое логарифм?

Это математическое понятие, которое показывает, в какую степень нужно возвести одно число, называемое основанием, чтобы получить другое число.

Простыми словами

Если $a^x = b$, то $\log_a b = x$.

Например: $\log_2 8 = 3$, потому что $2^3 = 8$.

Важно помнить определение: основание должно быть положительным и не равняться единице, как и число под ним. Без этого базового знания двигаться дальше не получится, так же как и при решении таких заданий, как задачи по статистике, где понимание основных правил имеет решающее значение.

В алгебре представлено несколько их видов со своими особенностями. Натуральный с нижним индексом «e» (трансцендентное число, приблизительно равное 2,718) встречается в естественных науках. Десятичный — в инженерных расчетах. Принцип остается одинаковым во всех случаях. Освоив его, вы сможете уверенно переходить к практике и узнать на понятных примерах, как решать логарифмы, а также как быстро подготовиться к тесту, где подобные задания часто встречаются.

3 вида логарифмов

Главный признак, по которому они различаются — это основание. То есть нижнее число, возводимое в степень для получения заданного значения. Оно определит тип и даст подсказку, как решить логарифм. В учебной программе чаще встречаются три основных вида. Понимание их отличий пригодится на экзамене.

Натуральный

Обозначается как ln x. В роли базы — трансцендентное число «e», приблизительно равное 2,718. Это математическая константа, связанная с экспоненциальным ростом. Она используется при анализе процессов, где изменения происходят непрерывно. Натуральный вид распространен в работах, описывающих рост населения, радиоактивный распад или сложные проценты.

Если нужно найти время, за которое сумма на счете удвоится при непрерывном начислении процентов, применяется уравнение ln2 = rt, где r — процентная ставка, t — время.

Десятичный

Он имеет уникальную запись. Вместо ожидаемого log10b принято писать lg b.

$\lg 100 = 2$, потому что $10^2 = 100$.

Десятичная система счисления используется в повседневной жизни для построения графиков и составления статистики. В прошлом его активно внедряли в таблицы для упрощения умножения больших чисел. Сегодня он незаменим в инженерии, химии и физике. Студенты сталкиваются с ним при вычислениях, связанных с порядками величин, когда только погружаются в вопрос, как решать сложные логарифмы.

Двоичный

Обозначается log2x. Актуален в информатике и компьютерных науках (теория информации), где данные представлены в двоичной системе. Применяется для вычисления количества бит для кодирования. Показывает, сколько раз нужно умножить 2 на себя, чтобы получить заданное число.

$\log_2 8 = 3$, так как $2^3 = 8$

Реже встречаются в учебной программе, но понимание, как правильно решать логарифмы по основанию 2 открывает двери в технические дисциплины. Эти знания востребованы при анализе алгоритмов — оценки сложности бинарного поиска.

Основные формулы логарифмов

Алгебраические свойства упрощают работу с выражениями. Они помогают преобразовывать сложные примеры в простые. Если вы не знаете, как решать длинные логарифмы, начните с базовых правил. Рассмотрим их на конкретных примерах.

• Логарифм основания равен единице: $\log_3 3 = 1$ (поскольку $3^1 = 3$)
• Логарифм единицы всегда нулевой, то есть $\log_a 1 = 0$
• Свойство произведения: $\log_a (a \cdot c) = \log_a a + \log_a c$
• Для деления работает вычитание: $\log_a \left( \dfrac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c$

Это упрощает дроби:

$\lg \dfrac{100}{5} = \lg 100 - \lg 5 = 2 - 0{,}699 \approx 1{,}301$

Если аргумент возведен в степень, показатель выносится: loga(bc) = c ⋅ logab

Пример: Пример: $\log_5 (8^2) = 2 \cdot \log_5 8$

Что такое логарифмические уравнения?

В них неизвестное связано с логарифмом, т.е. находится в его аргументе или нижнем индексе.
$\log_a a = 2$.
Поскольку логарифм существует только для положительных чисел, нужно всегда проверять, чтобы аргумент превышал нуль: $x > 0$.

Логарифмические уравнения моделируют процессы, где есть экспоненциальный рост или убывание.
В физике с их помощью рассчитывают время распада веществ, в экономике — начисление процентов по сложным ставкам.
В школьных задачах они проверяют умение преобразовывать выражения, развивая практический навык.

Рассмотрим способы, как решать уравнения с логарифмами, когда примеры отличаются по сложности.
Простые, вроде $\log_5 a = 2$, решаются напрямую через возведение в степень.
Сложные, как $\log_2 (a^2 - 1) = 3$, требуют дополнительных шагов и проверку условий.
В выражении с переменным основанием неизвестное стоит снизу: $\log_a 8 = 3$.
Для каждой разновидности найдётся подход.

Алгоритм решения логарифмических уравнений

Для понимания уравнений полезно придерживаться пошагового плана с последовательным объяснением того, как решать задачи с логарифмами. Поэтапность снижает риск ошибок и плавно погружает в тему.

Рассмотрим универсальную схему. Сначала найдите область определения — значения, при которых аргументы положительны.

$\log_2 (a - 1) = 3$. Здесь аргумент $a - 1 > 0$, что означает $a > 1$.

Затем упростите выражение. Если есть сумма или разность, сверните их в один логарифм. Далее постарайтесь избавиться от этой формы — преобразуйте в алгебраическое выражение.
Решите полученное равенство и найдите все возможные варианты неизвестного. В завершении подставьте их в исходную задачу, убедившись, что они удовлетворяют ОДЗ (a>0).

Виды логарифмических уравнений

Они разделяются на категории по структуре и уровню сложности. Понимание различий между группами помогает точно ориентироваться в примерах и находить подходящий метод для каждого, и в конечном итоге понять, как решать все виды логарифмов. Рассмотрим главные типы с пояснениями.

Простейшие

Простейшие примеры погружают в тему. После их освоения ученику становится проще понять, как научиться решать логарифмы сложных видов.

Базовый пример выглядит так: $\log_c b = a$. Неизвестное находится только в аргументе, а правая часть — число. Выражение легко преобразуется в экспоненциальную форму, поэтому воспринимается обучающимся без затруднений.

Например, в $\log_c 81 = 4$ нужно найти $c = 3^4$. Вычисляем: $3^4 = 81$. Заканчиваем проверкой, что $c > 0$. Это простое равенство служит отправной точкой для углубления в тему.

Уравнения второго типа

Следующий уровень — случаи, где логарифмические выражения стоят по обе стороны знака равенства:

$\log_a(f(c)) = \log_a(g(c))$

Обычно запись можно упростить, убрав одинаковые основания. Такие примеры требуют чуть больше внимания к деталям.

Возьмем $\log_3 2c = \log_3 10$. После упрощения получаем: $2c = 10$, откуда находим $c = 5$.
Это типичный случай, где важно проверить область допустимых значений.

Сложные

Запутанные равенства включают корни, степени или несколько логарифмических членов.
Например, $\log_2 c + \log_2 (c - 1) = 3$. Выражения требуют дополнительных шагов преобразования.
Они сочетают разные нижние индексы или содержат переменные в неожиданных местах.
При поиске ответа, как решать логарифм в степени, применяются комбинации методов.

Выражения требуют дополнительных шагов преобразования. Они сочетают разные нижние индексы или содержат переменные в неожиданных местах. При поиске ответа, как решать логарифм в степени, применяются комбинации методов.

Как решать простейшие уравнения с логарифмом

Они решаются в два-три шага и помогают установить связь между логарифмической и экспоненциальной формами. Рассмотрим на примерах.

Допустим, перед нами $\log_6 c = 2$. Это значит, что 6 нужно возвести во вторую степень, чтобы получить $c$. Считаем: $6^2 = 36$. Не забываем проверить, что выполняется $c > 0$.

Другой случай: $\lg c = -1$. Переводим в $c = 10^{-1} = 0{,}1$. Условие положительности аргумента соблюдено, так как $0{,}1 > 0$. Приходим к выводу, что способ работает и для отрицательных значений правой части.

Иногда встречаются дробные показатели $\log_4 c = \frac{1}{2}$. Тогда $c = 4^{1/2} = 2$, где $c > 0$.

Подобные примеры подходят для развития вычислительного навыка. Важный момент — всегда учитывайте область допустимых значений. Если бы ответ оказался отрицательным, его пришлось бы исключить. Это базовое правило закладывает основу для более сложных случаев, таких как решение логарифмов в квадрате.

Как решать уравнения второго типа

Как решать уравнения второго типа

В этих уравнениях примеры с одинаковым основанием стоят по обе стороны равенства, например,
$\log_f (g(s)) = \log_f (g(s))$. Метод вычисления базируется на свойстве:
если логарифмы равны и нижние индексы совпадают, то равны и их аргументы.
Разберем порядок действий:

1. Упростим дополнительные слагаемые, если они есть;
2. Убедимся, что основания одинаковы;
3. Приравниваем аргументы;
4. Находим область определения.

Разберем случай $\log_3 3s = \log_3 21$:

1. Так как нижние индексы одинаковы, убираем их: $3s = 21$.
2. Делим на 3 и получаем $s = 7$.
3. Завершаем проверкой: $3s = 21 > 0$.

Случай посложнее $\log_2 s^2 = \log_2 64$:

1. Упростим до $s^2 = 64$.
2. Становится очевидно, что $s = 8$ или $s = -8$.
3. Оба значения подходят, так как $s^2 > 0$ при любом $s \ne 0$.

Двигаемся дальше: $\log_3 (s + 1) = \log_3 4$:

1. Преобразуем: $s + 1 = 4$.
2. Делаем вывод, что $s = 3$. Условие $s + 1 > 0$ выполняется.

Сложные функции в аргументах: $\log_8 (s^2 - 1) = \log_8 8$:

1. Тогда $s^2 - 1 = 8 \Rightarrow s^2 = 9$.
2. Получается, что $s = 3$ или $s = -3$.
3. Эти ответы допустимы, потому как $s^2 - 1 > 0$ в этих точках.

Как решать сложные логарифмические уравнения

Сложные выражения характеризуются многоступенчатостью: включают степени или переменные в необычных местах. Такие задачи требуют не только знания свойств, но и умения творчески подходить к преобразованиям. Для поиска правильного ответа существуют разные методы для определенного вида неравенств. Важно не только найти ответ, но и убедиться, что он соответствует условиям задачи. Разберем пять ключевых подходов с подробными примерами, объясняющими, как решать уравнения с логарифмами высокой сложности.

Метод приведения к одному основанию

Если в равенстве встречаются логарифмические выражения с разными нижними индексами, их можно свести к одному, используя формулу замены основания. Так мы упрощаем вычисления и объединяем слагаемые.

Проанализируем случай

$\log_2 b + \log_4 b = 3$.

1. Базовые числа 2 и 4 связаны: $4 = 2^2$, поэтому $\log_4 b$ можно записать как $\dfrac{\log_2 b}{\log_2 4}$,
   то есть $\dfrac{\log_2 b}{2}$.
2. Вставляем это в выражение: $\log_2 b + \dfrac{\log_2 b}{2} = 3$.
3. Чтобы избавиться от дроби, умножим всё на 2. Получаем $2\log_2 b + \log_2 b = 6$.
4. После сложения пример выглядит так: $3\log_2 b = 6$.
5. Делим его на 3 и записываем результат: $\log_2 b = 2$.
6. Переведем в экспоненциальную форму: $b = 2^2 = 4$.

Теперь проверим область определения: $b > 0$ для обоих выражений. Подставим:
$\log_2 4 = 2$, далее $\log_4 4 = 1$, после складываем $2 + 1 = 3$. Равенство выполнено.
Метод полезен, когда основания можно выразить через одно число.

Метод логарифмирования

Если логарифм представлен степенью, можно его упростить логарифмированием каждой части. Простым языком — произвести действие, обратное возведению в степень.

Возьмем

$2^{\log_2 n} = 8$

Показатель степени усложняет задачу, но мы можем прологарифмировать обе части по основанию 2:

1. Получается: $\log_2 \left(2^{\log_3 n}\right) = \log_2 8$.
2. Слева используем свойство: $\log_2 \left(2^{\log_3 n}\right) = \log_3 n \cdot \log_2 2$,
   так как $\log_2 2 = 1$, а значит остаётся $\log_3 n$.
3. Справа: $\log_2 8 = 3$, поскольку $8 = 2^3$.

Получаем $\log_3 n = 3$. Переводим: $n = 3^3 = 27$.
Определяем ОДЗ: $n > 0$ и $27 > 0$.

Проверяем $\log_3 27 = 3$, с учётом $3^3 = 27$, всё сходится.

Метод хорош для задач, где логарифмы спрятаны в показателях.
Он помогает свести их к более привычной форме.

Метод подстановки

Подстановка превращает сложное уравнение в более простое, заменяя повторяющееся значение новой переменной.

Рассмотрим

$\log_2^2 x - 5\log_2 x + 6 = 0$

Заметим, что $\log_2 x$ встречается дважды.
Пусть $t = \log_2 x$, тогда $\log_2^2 x = t^2$. Уравнение преобразуется в $t^2 - 5t + 6 = 0$. Решаем полученное квадратное уравнение.

Дискриминант: $D = 25 - 24 = 1$, корни: $t = \dfrac{5 \pm 1}{2}$,
выходит $t = 3$ или $t = 2$.

Возвращаемся к неизвестной «$x$»:

• Если $t = \log_2 x = 3$, то $x = 2^3 = 8$;
• Если $t = 2$, то $x = 2^2 = 4$.

Оба исхода подходят и подпадают под ОДЗ. Делаем проверку для $x = 8$:

1. $\log_2 8 = 3$;
2. $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.

Проверяем для $x = 4$:

1. $\log_2 4 = 2$;
2. $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$.

Метод применяется в таких ситуациях, как решение логарифмов в квадрате, когда они образуют многочлен.

Использование основного логарифмического тождества

Известное тождество $a^{\log_a b} = b$ используется при нахождении неизвестного в нижнем индексе.

Возьмем

$\log_x 8 = 3$.

Оно означает, что $x^3 = 8$, так как по определению логарифма
$x^{\log_x 8} = 8$.

Действуем последовательно: $x^3 = 8$, извлекаем корень и получаем $2$.
Проверяем: основание $x > 0$, $x \ne 1$, аргумент $> 0$.
Для $x = 2$: $\log_2 8 = 3$ (потому что $2^3 = 8$), значит всё верно.

Метод прост, но требует осторожности с ОДЗ. Тождество дает прямой ответ, как решать логарифмы кратко и без лишних действий. Но только для уравнений, которые можно сразу перевести в экспоненциальную форму с переменной внизу.

Сворачивание в один логарифм

Когда в уравнении несколько логарифмов с одинаковым основанием, их можно объединить в один.

Возьмем в пример

$\log_3 (x + 1) + \log_3 (x - 2) = 2$

По свойству произведения: $\log_3 \left((x + 1)(x - 2)\right) = 2$.
Переводим: $(x + 1)(x - 2) = 3^2 = 9$.
Раскрываем: $x^2 - x - 2 = 9$.
Прибираем: $x^2 - x - 11 = 0$.

Рассмотрим, как решать логарифм с корнем с помощью дискриминанта:

1. $D = 1 + 44 = 45$;
2. $z = \dfrac{1 \pm \sqrt{45}}{2} = \dfrac{1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$;
3. ОДЗ: $z + 1 > 0$ $(z > -1)$, $z - 2 > 0$ $(z > 2)$.

Проверяем:

• $z_1 = \dfrac{1 + 3\sqrt{5}}{2} \approx 3{,}85 > 2$;
• $z_2 = \dfrac{1 - 3\sqrt{5}}{2} < 0$.

Выяснили, что подходит только $z_1$. Подставляем:
$\log_3 (3{,}85 + 1) + \log_3 (3{,}85 - 2) = \log_3 (4{,}85 \cdot 1{,}85) \approx \log_3 9 = 2$.

Метод подойдет для сумм или разностей логарифмов

Логарифмические уравнения с переменным основанием

В этих задачах неизвестное находится в нижнем индексе: $\log_a x = b$.
Такие уравнения требуют особого подхода, поскольку наши действия повлияют на всю структуру.
Вычисление опирается на определение вида выражения и проверку условий.
Разберем, как решать разные логарифмы, с пошаговыми примерами и пояснениями.

Начнем с простого

$\log_2 8 = 3$

Это значит, что 2 в третьей степени должно дать 8.
Записываем: $z = \sqrt[3]{8}$, ответ — 2.
Теперь проверяем условия: неизвестная должна быть положительной и не равной единице,
а число 8 больше нуля. Подставляем $z = 2$:
выходит $2^3 = 8$, всё сходится.
Это базовый пример, где методом выступает переход к экспоненциальной форме.

Разберем вариант посложнее

$\log_{x+1} 9 = 2$

$(x + 1)^2 = 9$.
Вычисляем: $x + 1 = \pm 3$ и получаем два исхода:

1. $x + 1 = 3$, $x = 2$;
2. $x + 1 = -3$, $x = -4$.

Сверяемся с ОДЗ и выясняем, что первый вариант подходит, а второй нет.

Иногда уравнение не имеет решений, что показывает важность ОДЗ. Переменная встречается и в основании, и в аргументе, как в $\log_z z = 2$:
С первого взгляда определяем, что $z^2 = z$. Переносим $z - z^2 = 0$:

$z(z - 1) = 0$ или $z = 1$

ОДЗ: $z > 0$, $z \ne 1$. Остается вариант $z = 0$, который тоже не подходит, поскольку нижний индекс не может быть нулем.

Заключение

Алгебра вмещает множество разделов, направленных на развитие критического мышления. В ней логарифмы занимают почетное место и предоставляют учащимся основы логических рассуждений. Мы разобрали их виды, от простейших до сложных, и изучили методы того, как решать уравнения с логарифмами. Практикуйтесь в запоминании их главных свойств и вырабатывайте привычку проверять область определения, и вы сможете уверенно применять эти знания. Если тема кажется сложной, доверьтесь профессионалам — закажите решение задач по алгебре на Студворк.