Дифференцирование и интегрирование гиперболических и тригонометрических функций

Здесь используются сокращенные обозначения для прозводных – $\mathrm{d}_z$ вместо $d /(d z)$.

Основные формулы дифференцирования и интегрирования

Следующие соотношения могут служить одновременно формулами и дифференцирования, и интегрирования для гиперболических и тригонометрических функций:
$\mathrm{d}\,_z \,\cosh z =\sinh z \;,\qquad \mathrm{d}\,_z \,\cos z =-\sin z \;,$
$\mathrm{d}\,_z \,\sinh z =\cosh z \;,\qquad \mathrm{d}\,_z \,\sin z =\cos z \;,$
$\mathrm{d}\,_z \,\tanh z =(\cosh z)^{-2} \;,\qquad \mathrm{d}\,_z \,\tan z =(\cos z)^{-2} \;,$
$\mathrm{d}\,_z \,(1/\tanh z) =-(\sinh z)^{-2} \;,\qquad \mathrm{d}\,_z \,(1/\tan z) =-(\sin z)^{-2} \;.$

Дифференцирование синусоидальной и экспоненциально-синусоидальной функциональных зависимостей

Если $u(z) =\alpha \,\cos z +\beta \,\sin z$, где $\alpha$, $\beta =\text{const}$, то
$\mathrm{d}\,_z^r \,u(z) =u(z +r\cdot \pi /2) \;.$

Если $\omega$ и $s$ – действительные константы и
$\Omega =|\omega +i \,s| \;,\qquad h =\arg(\omega +i \,s) \;,$
то
$\mathrm{d}\,_t^r \bigl(e^{-s t} \,u(\omega t)\bigr) =\Omega^r a\cdot e^{-s t}\cdot u(\omega t +r\cdot \pi/2 +r h\bigr) \;.$
Если $f(t)$ – экспоненциально-синусоидальная функция, которая описывает затухающие гармонические колебания с условной частотой $\omega$ и коэффициентом затухания $s$, то производная любого порядка функции $f(t)$ также является экспоненциально-синусоидальной, и она описывает затухающие гармонические колебания с той же условной частотой и тем же коэффициентом затухания.

Дополнительные формулы дифференцирования и интегрирования

$\mathrm{d}\,_z \ln(\cosh z) = \tanh z \;, \qquad -\mathrm{d}\,_z \ln(\cos z) = \tan z \;,$
$\mathrm{d}\,_z \ln(\sinh z) = 1/\tanh z \;, \qquad \mathrm{d}\,_z \ln(\sin z) = 1/\tan z \;,$
$\mathrm{d}\,_z \ln\bigl(\tanh(z/2)\bigr) = 1/\sinh z \;, \qquad \mathrm{d}\,_z \ln\bigl(\tan(z/2)\bigr) = 1/\sin z \;.$
$-\mathrm{d}\,_z \mathrm{arctanh}\,(\cosh z) = 1/\sinh z \;, \qquad -\mathrm{d}\,_z \mathrm{arctanh}\,(\cos z) = 1/\sin z \;,$
$\mathrm{d}\,_z \arctan(\sinh z) = 1/\cosh z \;, \qquad \mathrm{d}\,_z \mathrm{arctanh}\,(\sin z) = 1/\cos z \;,$
$2 \,\mathrm{d}\,_z \arctan\bigl(\tanh(z/2)\bigr) = 1/\cosh z \;, \qquad 2 \,\mathrm{d}\,_z \mathrm{arctanh}\,\bigl(\tan(z/2)\bigr) = 1/\cos z \;,$
$2 \,\mathrm{d}\,_z \arctan e^z = 1/\cosh z \;, \qquad -2 \,i \,\mathrm{d}\,_z \mathrm{arctanh}\, e^{i z} = 1/\cos z \;,$
$2 \,\mathrm{d}\,_z \mathrm{arctanh}\, e^z = 1/\sinh z \;, \qquad -2 \,\mathrm{d}\,_z \mathrm{arctanh}\, e^{i z} = 1/\sin z \;.$

При этом может быть использована формула
$2 \,\mathrm{arctanh}\,\bigl(\tan(z/2)\bigr) =\ln(1/\cos z +\tan z) \;.$

Функция $\mathrm{arctanh}\,(\cosh z)$ принимает мнимые значения для действительных значений аргумента.

Стандартные методы интегрирования функций

содержащих либо $\cosh z$ и $\sinh z$, либо $\cos z$ и $\sin z$

Пусть $\varrho(\eta_1,...,\eta_m)$ – произвольная функция $m$ переменных, являющаяся дробно-рациональной функцией каждой из переменных $\eta_k$ ($k=1,...,m$) при фиксированных других переменных.

a) Интегрирование функции
$f(z) =\varrho(\cosh z,\, \sinh z)$
сводится к интегрированию дробно-рациональной функции с помощью замены переменной по формуле $\xi =\tanh(z/2)$; при этом
$\cosh z =(1 +\xi^2)/(1 -\xi^2) \;,\quad \sinh z =2 \,\xi/(1 -\xi^2) \;,\quad d z =2/(1 -\xi^2) \,d\xi \;.$

b) Интегрирование функции
$f(z) =\varrho\bigl((\cosh z)^2,\, (\sinh z)^2,\, \cosh z \cdot \sinh z,\, \tanh z\bigr)$
сводится к интегрированию дробно-рациональной функции с помощью замены переменной по формуле $\xi =\tanh z$; при этом
$(\cosh z)^2 =1/(1-\xi^2) \;,\qquad (\sinh z)^2 = \xi^2 /(1-\xi^2) \;,$
$\cosh z \cdot \sinh z =\xi/(1-\xi^2) \;,\qquad d z =1/(1-\xi^2) \,d\xi \;.$

c) Интегрирование функции
$f(z) =\varrho(\cos z,\, \sin z)$
сводится к интегрированию дробно-рациональной функции с помощью замены переменной по формуле $\xi =\tan(z/2)$; при этом
$\cos z =(1 -\xi^2)/(1 +\xi^2) \;,\quad \sin z =2 \,\xi/(1 +\xi^2) \;,\quad d z =2/(1 +\xi^2) \,d\xi \;.$

d) Интегрирование функции
$w =\varrho\bigl((\cos z)^2,\, (\sin z)^2,\, \cos z \cdot \sin z,\, \tan z\bigr)$
сводится к интегрированию дробно-рациональной функции с помощью замены переменной по формуле $\xi =\tan z$; при этом
$(\cos z)^2 =1/(1 +\xi^2) \;,\qquad (\sin z)^2 =\xi^2/(1 +\xi^2) \;,$
$\cos z \cdot \sin z =\xi/(1 +\xi^2) \;,\qquad d z =1/(1 +\xi^2) \,d\xi \;.$

Некоторые нестандартные методы интегрирования функций,

содержащих либо $\cosh z$ и $\sinh z$, либо $\cos z$ и $\sin z$

Иногда при определении интегралов от таких функций можно применять ``искусственные приемы’’. В частности, рассматриваемые ниже методы (наряду с методами, описанными в предыдущем пункте) позволяют определить интегралы от функций $\tanh z$, $1/\tanh z$, $1/\cosh z$, $1/\sinh z$, $\tan z$, $1/\tan z$, $1/\cosh z$, $1/\sin z$.

Пример 1:
$\int \tan z \,d z =\int \frac{\sin z}{\cos z} \,d z =-\int \frac{d(\cos z)}{\cos z} =-\ln(\cos z) \;.$

Пример 2:
$\int \frac{1}{\cos z} \,d z =\int \frac{\cos z}{(\cos z)^2} \,d z =\int \frac{d(\sin z)}{1 -(\sin z)^2} =\mathrm{arctanh}\, \sin z \;.$

Выражение интегралов через гипергеометрические функции

В следующих соотношениях предполагается, что $\lambda\ne 0$ и $\varkappa\ne 0$.
$z^{\lambda -1}\cdot \cosh\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr) =\mathrm{d}\,_z \left(\lambda^{-1} \,z^{\lambda}\cdot {}_1 F_2\Bigl(\frac{\lambda}{2\varkappa};\, \frac{\lambda}{2\varkappa} +1,\, \frac{1}{2};\, \frac{ \beta^2 z^{2\varkappa} }{4}\Bigr)\right) \;;$
$z^{\lambda -\varkappa -1}\cdot \sinh\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr) =\mathrm{d}\,_z \left(\beta \,\lambda^{-1} \,z^{\lambda}\cdot {}_1 F_2\Bigl(\frac{\lambda}{2\varkappa};\, \frac{\lambda}{2\varkappa} +1,\, \frac{3}{2};\, \frac{ \beta^2 z^{2\varkappa} }{4}\Bigr)\right) \;;$
$z^{\lambda -1}\cdot \cos\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr) =\mathrm{d}\,_z \left(\lambda^{-1} \,z^{\lambda}\cdot {}_1 F_2\Bigl(\frac{\lambda}{2\varkappa};\, \frac{\lambda}{2\varkappa} +1,\, \frac{1}{2};\, -\frac{ \beta^2 z^{2\varkappa} }{4}\Bigr)\right) \;;$
$z^{\lambda -\varkappa -1}\cdot \sin\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr) =\mathrm{d}\,_z \left(\beta \,\lambda^{-1} \,z^{\lambda}\cdot {}_1 F_2\Bigl(\frac{\lambda}{2\varkappa};\, \frac{\lambda}{2\varkappa} +1,\, \frac{3}{2};\, -\frac{ \beta^2 z^{2\varkappa} }{4}\Bigr)\right) \;.$

Случаи вырождения

При $\varkappa\ne 0$
$z^{-1}\cdot \cosh\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr) =\mathrm{d}\,_z \left(\ln z +\frac{ \beta^2 z^{2\varkappa} }{4\varkappa}\cdot {}_2 F_3\Bigl(1,\, 1;\, 2,\, 2,\, \frac{3}{2};\, \frac{ \beta^2 z^{2\varkappa} }{4}\Bigr)\right) \;;$
$z^{-1 -\varkappa}\cdot \sinh\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr) =\mathrm{d}\,_z \left(\ln z +\frac{ \beta^3 z^{2\varkappa} }{12\,\varkappa}\cdot {}_2 F_3\Bigl(1,\, 1;\, 2,\, 2,\, \frac{5}{2};\, \frac{ \beta^2 z^{2\varkappa} }{4}\Bigr)\right) \;;$
$z^{-1}\cdot \cos\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr) = \mathrm{d}\,_z \left(\ln z -\frac{ \beta^2 z^{2\varkappa} }{4\varkappa}\cdot {}_2 F_3\Bigl(1,\, 1;\, 2,\, 2,\, \frac{3}{2};\, -\frac{ \beta^2 z^{2\varkappa} }{4}\Bigr)\right) \;;$
$z^{-1 -\varkappa}\cdot \sin\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr) =\mathrm{d}\,_z \left(\ln z -\frac{ \beta^3 z^{2\varkappa} }{12\,\varkappa}\cdot {}_2 F_3\Bigl(1,\, 1;\, 2,\, 2,\, \frac{5}{2};\, -\frac{ \beta^2 z^{2\varkappa} }{4}\Bigr)\right) \;.$

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест на тему «Дифференцирование и интегрирование гиперболических и тригонометрических функций»