Производная функции: онлайн-калькулятор с примерами решения задач

Что такое производная функции

Производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента $\Delta x$ при $\Delta x→0$ (при условии существования данного предела).

Приращение функции — это изменение её значения при изменении аргумента. Если аргумент $x$ изменяется на величину $\Delta x$, то функция $y=f(x)$ изменяется на $\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)$.

Приращение аргумента — это изменение независимой переменной $x$, обозначаемое как $\Delta x$.

Производная функции показывает, как меняется значение функции при малом изменении её аргумента. Это и есть скорость изменения функции в каждой точке.

Формула производной функции:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Примеры решения задач

Онлайн-калькулятор

Пусть задана функция $y = f(x)$. Выберем любую точку $x_0$ из области определения $D$ этой функции. Приращение аргумента функции в точке $x_0$:
$\Delta x$ такое, что $x_0 + \Delta x\in D$.
Тогда $\Delta y =f (x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Обозначение производной функции

Производная функции в точке $x=x_0$ обозначается как $f'(x_0)$:

$f'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0} \frac{f (x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Пусть для некоторого $x_0:f'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = ±∞$.

В этом случае $f(x)$ имеет в точке $x_0$ бесконечную производную.

Односторонние производные

Правой производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предельное значение отношения $\Delta y$ к $\Delta x$ при $\Delta x→0+$, если данный предел существует.
Левой производной называется предельное значение того же отошения при $\Delta x→0-$
Обозначается как $f'_+(x_0)$ и $f'_- (x_0)$.

$f'_+(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0+}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0+}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

$f'_-(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0-}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0-}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Напомним, что $\Delta x→0+$ и $\Delta x→0-$ обозначают соответственно: $\Delta x→0$, $\Delta x>0$ и $\Delta x→0$, $\Delta x<0$

Правую и левую производные называют односторонними.

Из того, что $f(x)$ имеет производную в точке $x_0$, следует: $f(x)$ имеет в этой точке равные правую и левую производные. Из существования односторонних производных в точке не следует, что в ней имеется производная.

Геометрический и физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Производная функции в определённой точке имеет геометрический смысл — это угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Это означает, что производная показывает, с какой скоростью изменяется функция в заданной точке.

Если рассматривать функцию $f(x)$ и точку $x_0$, то касательная линия к графику функции в этой точке будет иметь угол наклона, равный значению производной функции в точке $x_0$:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Этот угол наклона касательной и есть геометрический смысл производной функции. Чем больше значение производной, тем круче наклон касательной.

Как найти геометрический смысл производной?

Чтобы найти геометрический смысл производной функции в точке $x_0$, нужно:

1. Взять производную функции $f'(x)$.
2. Подставить значение точки $x_0$ в найденную производную.
3. Результат даст угол наклона касательной линии к графику функции в точке $x_0$.

Геометрический смысл производной

Таблица производных

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!