Объем шара: формулы, онлайн-калькулятор и примеры расчета

Тест: 4 вопроса

1. Определите радиус шара, зная, что его объем составляет 64.

2,5

2,4

2. Диаметр шара равен 4 см. Найдите его объем.

10,7

33,5

3. Радиус трех шариков равны соответственно 6, 8 и 10 см. Какова сумма радиусов этих шариков?

16 см.

12 см.

18 см.

4. Сколько кубометров воды для заполнение аквариума, имеющего форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см?

7,5

23,7

21,1

Определение шара

Шар — это тело, все точки которого находятся от заданой точки на расстоянии, не превышающем R.

Заданная точка, о которой говорится в определении шара называется центром этого шара. А упомянутое расстояние — радиусом данного шара.

У шара, по аналогии с кругом, так же есть диаметр $D$ , который по длине в два раза больше радиуса:

$D=2\cdot R$

Формула объема шара через его радиус

Объем шара вычисляется по следующей формуле:

Формула объема шара через радиус

$V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^3$

$R$ — радиус данного шара.

ChatGPT Image 1 сент. 2025 г., 17_11_45.png

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Шар вписан в куб, диагональ $d$ которого равна $\sqrt{500}\text{ см.}$ Найти объем шара.

Решение

$d=\sqrt{500}$

Для начала необходимо определить длину стороны куба. Будем считать, что она равна $a$ . Следовательно, диагональ куба, равна (исходя из теоремы Пифагора):

$d=\sqrt{a^2+a^2+a^2}$

$d=\sqrt{3\cdot a^2}$

$d=\sqrt{3}\cdot a$

$\sqrt{500}=\sqrt{3}\cdot a$

$a=\sqrt{\frac{500}{3}}$

$a\approx12.9$

Если в куб вписан шар, то его радиус равен половинке длины стороны этого куба. В результате имеем:

$R=\frac{1}{2}\cdot a$

$R=\frac{1}{2}\cdot 12.9\approx6.4$

Заключительный этап — нахождение объема шара по формуле:

$V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot (6.4)^3\approx1097,5\text{ см}^3$

Ответ

$1097,5\text{ см}^3.$

Формула объема шара через его диаметр

ChatGPT Image 1 сент. 2025 г., 17_19_21.png

Так же объем шара можно найти через его диаметр. Для этого используем связь между радиусом и диаметром шара:

$D=2\cdot R$

$R=\frac{D}{2}$

Подставим это выражение в формулу для объема шара:

$V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^3=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot\Big(\frac{D}{2}\Big)^3=\frac{\pi}{6}\cdot D^3$

Объем шара через диаметр

$V=\frac{\pi}{6}\cdot D^3$

$D$ — диаметр данного шара.

Задача 2

Диаметр шара равен $15\text{ см.}$ Найдите его объем.

Решение

$D=15$

Сразу подставляем значение диаметра в формулу:

$V=\frac{\pi}{6}\cdot D^3=\frac{\pi}{6}\cdot 15^3\approx1766.25\text{ см}^3$

Ответ

$1766.25\text{ см}^3.$

Формула объёма шара через длину окружности

ChatGPT Image 1 сент. 2025 г., 17_28_05.png

Обозначения

$L$ — длина окружности большого круга (экватора) шара;
$V$ — объём шара
$π≈3,14$

Формула:

$V = \frac{L^{3}}{6\pi^{2}}$

Задача 3

Условие. Длина окружности большого круга шара $L = 120\pi$ см. Найдите объём шара.

Решение:

$V = \frac{L^{3}}{6\pi^{2}} = \frac{(120\pi)^{3}}{6\pi^{2}} = \frac{120^{3}\pi^{3}}{6\pi^{2}} = \frac{1\,728\,000\pi}{6} = 288\,000\pi\ \text{см}^3$

$V \approx 288\,000 \cdot 3{,}14 \approx 904\,800\ \text{см}^3$

Ответ: $V = 288\,000\pi\ \text{см}^3 \approx 9{,}05 \times 10^{5}\ \text{см}^3$ .

Вспомним формулу длины окружности и выразим объём шара через неё.

Длина окружности большого круга шара:

$L = 2\pi R$

Подставим выражение радиуса через $L$ :

$R = \frac{L}{2\pi}$

Объём шара через радиус:

$V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$

Подставим $R = \frac{L}{2\pi}$ :

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^{3}$

Возводим в куб:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{L^{3}}{8\pi^{3}}$

Упрощаем:

$V = \frac{L^{3}}{6\pi^{2}}$

Формула объёма шара через длину окружности:

$V = \frac{L^{3}}{6\pi^{2}}$

Формула объема шара через площадь поверхности

ChatGPT Image 1 сент. 2025 г., 17_47_39.png

Обозначения

$S$ — площадь поверхности сферы;
$V$ — объём шара;
$\pi \approx 3{,}14$ .

Формула:

$V = \sqrt{\frac{S^{3}}{36\pi}}$

Задача

Условие. Площадь поверхности сферы равна $S = 314$ см². Найдите её объём.

Решение:

$V = \sqrt{\frac{S^{3}}{36\pi}} = \sqrt{\frac{314^{3}}{36 \cdot 3{,}14}}$

$V = \sqrt{\frac{30\,959\,144}{113{,}04}} \approx \sqrt{273\,894} \approx 523\ \text{см}^3$

Ответ: $V \approx 523\ \text{см}^3$ .

Метод Архимеда для вычисления объёма шара

Метод Архимеда для вычисления объёма шара — важное достижение в истории математики. В III веке до н. э. Архимед доказал, что объём шара равен двум третям объёма цилиндра, описанного вокруг него. При этом радиус шара и радиус цилиндра совпадают, а высота цилиндра равна диаметру шара.

Формула

$V_{\text{шара}} = \frac{2}{3} \, V_{\text{цилиндра}}$

Так как объём цилиндра выражается формулой:

$V_{\text{цилиндра}} = \pi R^{2}h$

а его высота равна диаметру шара $h = 2R$ , получаем:

$V_{\text{цилиндра}} = \pi R^{2} \cdot 2R = 2\pi R^{3}$

Следовательно,

$V_{\text{шара}} = \frac{2}{3} \cdot 2\pi R^{3} = \frac{4}{3}\pi R^{3}$

Таким образом, метод Архимеда дал одно из самых элегантных и фундаментальных доказательств формулы объёма шара.

Онлайн-калькулятор объема шара

Вам нужно срочно заказа решения задач по геометрии? Обратитесь за помощью к нашим экспертам!

Объем шара: основные формулы и методы вычисления через радиус, диаметр и длину окружности

Формула объема шара через его радиус

Формула объема шара через его диаметр

Формула объёма шара через длину окружности

Формула объема шара через площадь поверхности

Метод Архимеда для вычисления объёма шара

Онлайн-калькулятор объема шара

Тест по теме «Объем шара»

Комментарии
0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Объем шара: основные формулы и методы вычисления через радиус, диаметр и длину окружности

Формула объема шара через его радиус

Формула объема шара через его диаметр

Формула объёма шара через длину окружности

Формула объема шара через площадь поверхности

Метод Архимеда для вычисления объёма шара

Онлайн-калькулятор объема шара

Тест по теме «Объем шара»

Комментарии 0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Комментарии
0