Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Перед тем как перейти к решению систем линейных уравнений методом обратной матрицы вспомним, что такое обратная матрица, какие способы ее нахождения существуют, что такое матричные уравнения и как они решаются.

Система линейных уравнений (СЛУ)

Под системой линейных уравнений (СЛУ) будем понимать систему $\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\ldots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots.\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+\ldots+a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{cases}$,
содержащую $m$ уравнений и $n$ неизвестных.

Линейность означает, что все неизвестные в уравнении содержатся в первой степени.

Рассмотрим на схеме основные понятия, связанные с понятием системы линейных уравнений.

Матричная форма записи СЛУ

С каждой системой линейных уравнений

$\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\ldots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+\ldots+a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{cases}$ можно связать несколько матриц.

1. Матрица системы, состоящая из коэффициентов заданной системы линейных уравнений: $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2n}\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\ldots&a_{mn}\end{pmatrix}$.

2. Матрица неизвестных, состоящая из столбца, который содержит неизвестные $x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}:$

$X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n}\end{pmatrix}$.

1. Матрица свободных членов, состоящая из столбца, который содержит свободные члены $b_{1}, b_{2}, ... , b_{m}:$

$B=\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\ ... \\b_{m}\end{pmatrix}$.

Используя введенные обозначения ($A$ — матрица системы, $X$ — матрица неизвестных, $B$ — матрица свободных членов) СЛУ можно записать в виде матричного уравнения $A\cdot X=B$, поэтому метод обратной матрицы, по существу, является частным случаем матричного уравнения.

Важно!

Метод обратной матрицы может применяться только для тех систем линейных уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля, а именно $\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\neq0$. Если же $\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=0$, то решить СЛУ матричным методом невозможно (в таком случае СЛУ может быть решена методом Гаусса).

Алгоритм решения СЛУ методом обратной матрицы

1. Записать систему линейных уравнений в матричной форме: $A\cdot X=B$, где

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2n}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\ldots&a_{mn}\end{pmatrix}$ — матрица системы,

$X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n}\end{pmatrix}$ — матрица неизвестных,

$B=\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\...\\b_{m}\end{pmatrix}$ — матрица свободных членов.

1. Решить матричное уравнение $A\cdot X=B$:

2.1 Найти обратную матрицу $A^{-1}$ одним из способов.
2.2 Найти $X$, используя равенство $X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n}\end{pmatrix}=A^{-1}\cdot B$.
Рассмотрим примеры решения СЛУ методом обратной матрицы.

Пример 1

Решить систему $\begin{cases}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1,\\2x_{1}-x_{2}+x_{3}=2,\\3x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=-2.\end{cases}$ с помощью обратной матрицы.

Запишем систему в матричной форме $A\cdot X=B$, где

$A=\begin{pmatrix}1&-2&1\\2&-1&1\\3&2&2\end{pmatrix}$,

$X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}$,

$B=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}:$

$\begin{pmatrix}1&-2&1\\2&-1&1\\3&2&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$.

$\begin{vmatrix}1&-2&1\\2&-1&1\\3&2&2\end{vmatrix}=5\neq0$, значит, уравнение можно решить методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу $A^{-1}$ методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\2&-1&1\\3&2&2\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\2&-1&1\\3&2&2\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&3&-1\\3&2&2\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на -3:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&3&-1\\3&2&2\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&3&-1\\0&8&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-2&1&0\\-3&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №2 строку №3, умноженную на -1:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&3&-1\\0&8&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-2&1&0\\-3&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&-5&0\\0&8&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\1&1&-1\\-3&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Умножим строку №2 на $-\frac{1}{5}$:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&-5&0\\0&8&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\1&1&-1\\-3&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&0\\0&8&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-3&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -8:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&0\\0&8&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-3&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{7}{5}&\frac{8}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Умножим строку №3 на -1:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{7}{5}&\frac{8}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -1:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{8}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 2:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{8}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}-\frac{4}{5}&\frac{6}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\end{pmatrix}$.

$A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{4}{5}&\frac{6}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{8}{5}&\frac{3}{5}\end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-4&6&-1\\-1&-1&1\\7&-8&3\end{pmatrix}$.

Подставим матрицы в равенство $X=A^{-1}\cdot B$:

$\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-4&6&-1\\-1&-1&1\\7&-8&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}10\\-5\\-15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$.

Получили равенство $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$. Исходя из этого, имеем: $x_{1}=2, x_{2}=-1, x_{3}=-3$.

Ответ: $x_{1}=2, x_{2}=-1, x_{3}=-3$.

Пример 2

Решить систему $\begin{cases}3x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5,\\2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=1,\\2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=11.\end{cases}$ с помощью обратной матрицы.

Запишем систему в матричной форме $A\cdot X=B$,

где $A=\begin{pmatrix}3&2&1\\2&3&1\\2&1&3\end{pmatrix}$,
$X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}$,

$B=\begin{pmatrix}5\\1\\11\end{pmatrix}:$

$\begin{pmatrix}3&2&1\\2&3&1\\2&1&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\11\end{pmatrix}$.

$\begin{vmatrix}3&2&1\\2&3&1\\2&1&3\end{vmatrix}=12\neq0$, значит, уравнение можно решить методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу $A^{-1}$ по формуле $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot A_{*}^{T}$, где $A_{*}^{T}$ — транспонированная матрица алгебраических дополнений.

$A_{*}^{T}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}$, $a_{ij}$ — алгебраические дополнения матрицы $A$.

$A_{*}^{T}=\begin{pmatrix}8&-5&-1\\-4&7&-1\\-4&1&5\end{pmatrix}$.

$A^{-1}=\frac{1}{12}\cdot \begin{pmatrix}8&-5&-1\\-4&7&-1\\-4&1&5\end{pmatrix}$.

Подставим матрицы в равенство $X=A^{-1}\cdot B$:

$\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\frac{1}{12}\begin{pmatrix}8&-5&-1\\-4&7&-1\\-4&1&5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5\\1\\11\end{pmatrix}=\frac{1}{12}\begin{pmatrix}24\\-24\\36\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$.

Получили равенство $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$.

Исходя из этого, имеем: $x_{1}=2, x_{2}=-2, x_{3}=3$.

Ответ: $x_{1}=2, x_{2}=-2, x_{3}=3$.

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме “Линейные уравнения и и метод обратной матрицы”