Нахождение определителя матрицы методом Гаусса

Матричный определитель

Это многочлен от элементов квадратной матрицы (если матричные элементы являются числами, то матричный определитель также будет числом).

Есть много способов вычислить определитель квадратной матрицы. Наш онлайн-калькулятор рассчитывает определитель, используя метод Гаусса, или путем разложения определителя на элементы любой строки или столбца.

Онлайн-калькулятор

Чтобы вычислить определитель по методу Гаусса, начальная матрица приведена к верхней треугольной форме с помощью элементарных преобразований, а определитель исходной матрицы не изменяется и равен произведению элементов на главной диагонали верхняя треугольная матрица.

Чтобы вычислить определитель, развернув его на элементы строки или столбца, сначала выберите строку или столбец, по которым определитель будет разложен. Удобнее всего расположить определитель по строке (или столбцу) с максимальным количеством нулевых элементов. Если в исходной матрице нет таких строк (или столбцов), вы можете выбрать любую строку (или столбец).

Результирующее разложение представляет собой линейную комбинацию определителей, порядок которых на единицу меньше исходного. Каждый из этих определителей вычисляется снова путем расширения выбранной строки или столбца.

Таким образом, рассмотренный метод расчета определителя является рекурсивным процессом.

Разберем данный метод на конкретных примерах.

Пример 1

Дано:

$A= \begin{pmatrix} 15 & 14 & 12 \\ 6 & 7 & 1 \\ 54 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

Решение:

Делим 1 строку на 15, получаем:

$\begin{pmatrix} 1 & {14 \over 15} & 0.8 \\ 6 & 7 & 1 \\ 54 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

Делим 2 строку на 6, получаем:

$\begin{pmatrix} 1 & {14 \over 15} & 0.8 \\ 1 & {7 \over 6} & {1 \over 6} \\ 54 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

Делим 3 строку на 54, получаем:

$\begin{pmatrix} 1 & {14 \over 15} & 0.8 \\ 1 & {7 \over 6} & {1 \over 6} \\ 1 & {5 \over 54} & {7 \over 54} \end{pmatrix}$

Вычитаем 1-ю строку из последующих

$\begin{pmatrix} 1 & {14 \over 15} & 0.8 \\ 0 & {7 \over 30} & -{19 \over 30} \\ 0 & -{227 \over 270} & -{181 \over 270} \end{pmatrix}$

Делим 2 строку на 7/30, получаем:

$\begin{pmatrix} 1 & {14 \over 15} & 0.8 \\ 0 & 1 & -{19 \over 7} \\ 0 & -{227 \over 270} & -{181 \over 270} \end{pmatrix}$

Делим 3 строку на -227/270, получаем:

$\begin{pmatrix} 1 & {14 \over 15} & 0.8 \\ 0 & 1 & -{19 \over 7} \\ 0 & 1 & {181 \over 227} \end{pmatrix}$

Вычитаем 2-ю строку из последующих

$\begin{pmatrix} 1 & {14 \over 15} & 0.8 \\ 0 & 1 & -{19 \over 7} \\ 0 & 0 & {5580 \over 1589} \end{pmatrix}$

Умножаем первые числа каждой строки (которые использовались при сокращении):

$det = 15 \cdot 6 \cdot 54 \cdot {7 \over 30} \cdot \left(-{227 \over 270}\right) \cdot {5580 \over 1589} = -3348$

$|A| = \begin{pmatrix} 15 & 14 & 12 \\ 6 & 7 & 1 \\ 54 & 5 & 7 \end{pmatrix} = -3348$

Ответ будет равен $|A| = -3348$

В следующем примере разберем случай дробных узлов матрицы, как более сложный вариант:

Пример 2

Дано:

$A= \begin{pmatrix} {2 \over 7} & {1 \over 8} & {14 \over 15} \\ {1 \over 2} & {1 \over 3} & 1 \\ {4 \over 2} & {5 \over 2} & {1 \over 7} \end{pmatrix}$

Решение:

Делим 1 строку на 2/7, получаем:

$\begin{pmatrix} 1 & {7 \over 16} & {49 \over 15} \\ {1 \over 2} & {1 \over 3} & 1 \\ {4 \over 2} & {5 \over 2} & {1 \over 7} \end{pmatrix}$

Делим 2 строку на 1/2, получаем:

$\begin{pmatrix} 1 & {7 \over 16} & {49 \over 15} \\ 1 & {2 \over 3} & 2 \\ {4 \over 2} & {5 \over 2} & {1 \over 7} \end{pmatrix}$

Делим 3 строку на 4/2, получаем:

$\begin{pmatrix} 1 & {7 \over 16} & {49 \over 15} \\ 1 & {2 \over 3} & 2 \\ 1 & {5 \over 4} & {1 \over 14} \end{pmatrix}$

Вычитаем 1-ю строку из последующих

$\begin{pmatrix} 1 & {7 \over 16} & {49 \over 15} \\ 0 & {11 \over 48} & -{19 \over 15} \\ 0 & {13 \over 16} & -{671 \over 210} \end{pmatrix}$

Делим 2 строку на 11/48, получаем:

$\begin{pmatrix} 1 & {7 \over 16} & {49 \over 15} \\ 0 & 1 & -{304 \over 55} \\ 0 & {13 \over 16} & -{671 \over 210} \end{pmatrix}$

Делим 3 строку на 13/16, получаем:

$\begin{pmatrix} 1 & {7 \over 16} & {49 \over 15} \\ 0 & 1 & -{304 \over 55} \\ 0 & 1 & -{5368 \over 1365} \end{pmatrix}$

Вычитаем 2-ю строку из последующих

$\begin{pmatrix} 1 & {7 \over 16} & {49 \over 15} \\ 0 & 1 & -{304 \over 55} \\ 0 & 0 & {23944 \over 15015} \end{pmatrix}$

Умножаем первые числа каждой строки (которые использовались при сокращении):

$det = {2 \over 7} \cdot {1 \over 2} \cdot {4 \over 2} \cdot {11 \over 48} \cdot {13 \over 16} \cdot {23944 \over 15015} = {2993 \over 35280}$

$|A| = \begin{pmatrix} {2 \over 7} & {1 \over 8} & {14 \over 15} \\ {1 \over 2} & {1 \over 3} & 1 \\ {4 \over 2} & {5 \over 2} & {1 \over 7} \end{pmatrix} = {2993 \over 35280}$

Ответ будет определен следующим образом: $|A| = {2993 \over 35280}$

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!