Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы . Также мы рассмотрели правила вычисления детерминантов (определителей) первого и второго порядка. Познакомимся с различными вариантами нахождения определителей третьего порядка.
Схематически раскрытие определителя по этому правилу выглядит так:
Согласно рисункам №1 и №2 мы перемножаем элементы, соединенные прямыми. Произведения элементов будут иметь определенные знаки: для рисунка 1 — «+», для рисунка 2 — «-».
Произведения, которые берутся со знаком «+»
Произведения, которые берутся со знаком «-»
a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} a 1 1 ⋅ a 2 2 ⋅ a 3 3 a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31} a 1 3 ⋅ a 2 2 ⋅ a 3 1
a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} a 1 2 ⋅ a 2 3 ⋅ a 3 1 a 12 ⋅ a 33 ⋅ a 21 a_{12}\cdot a_{33}\cdot a_{21} a 1 2 ⋅ a 3 3 ⋅ a 2 1
a 13 ⋅ a 32 ⋅ a 21 a_{13} \cdot a_{32} \cdot a_{21} a 1 3 ⋅ a 3 2 ⋅ a 2 1 a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32} a 1 1 ⋅ a 2 3 ⋅ a 3 2
На рисунке 1 мы видим равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; на рисунке 2 — равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными второй (побочной) диагонали. Поэтому данное правило имеет такое название.
Определитель может быть вычислен по формуле:
∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}= ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 1 2 a 2 2 a 3 2 a 1 3 a 2 3 a 3 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =
= a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 32 ⋅ a 21 − a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 − a 12 ⋅ a 33 ⋅ a 21 − a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 =a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{32}\cdot a_{21}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{33}\cdot a_{21}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32} = a 1 1 ⋅ a 2 2 ⋅ a 3 3 + a 1 2 ⋅ a 2 3 ⋅ a 3 1 + a 1 3 ⋅ a 3 2 ⋅ a 2 1 − a 1 3 ⋅ a 2 2 ⋅ a 3 1 − a 1 2 ⋅ a 3 3 ⋅ a 2 1 − a 1 1 ⋅ a 2 3 ⋅ a 3 2
Рассмотрим примеры нахождения определителя по правилу треугольника.
Найти определитель ∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ \begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
По правилу треугольника определитель третьего порядка равен:
∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ = 9 ⋅ 4 ⋅ 7 + 2 ⋅ 8 ⋅ 6 + 5 ⋅ 3 ⋅ 1 − 5 ⋅ 4 ⋅ 6 − 2 ⋅ 7 ⋅ 1 − 9 ⋅ 8 ⋅ 3 = \begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}=9\cdot4\cdot7+2\cdot8\cdot6+5\cdot3\cdot1-5\cdot4\cdot6-2\cdot7\cdot1-9\cdot8\cdot3= ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 9 ⋅ 4 ⋅ 7 + 2 ⋅ 8 ⋅ 6 + 5 ⋅ 3 ⋅ 1 − 5 ⋅ 4 ⋅ 6 − 2 ⋅ 7 ⋅ 1 − 9 ⋅ 8 ⋅ 3 =
= 252 + 96 + 15 − 120 − 14 − 216 = 13 =252+96+15-120-14-216=13 = 2 5 2 + 9 6 + 1 5 − 1 2 0 − 1 4 − 2 1 6 = 1 3
Найти определитель ∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ \begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
Искомый определитель третьего порядка равен:
∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ = \begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}= ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =
= 2 ⋅ ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) + 1 ⋅ 5 ⋅ 1 + ( − 4 ) ⋅ 0 ⋅ 6 − ( − 4 ) ⋅ ( − 3 ) ⋅ 1 − 1 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 6 − 2 ⋅ 5 ⋅ 0 = 6 + 5 − 12 + 6 = 5 =2\cdot(-3)\cdot(-1)+1\cdot5\cdot1+(-4)\cdot0\cdot6-(-4)\cdot(-3)\cdot1-1\cdot(-1)\cdot6-2\cdot5\cdot0=6+5-12+6=5 = 2 ⋅ ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) + 1 ⋅ 5 ⋅ 1 + ( − 4 ) ⋅ 0 ⋅ 6 − ( − 4 ) ⋅ ( − 3 ) ⋅ 1 − 1 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 6 − 2 ⋅ 5 ⋅ 0 = 6 + 5 − 1 2 + 6 = 5
При вычислении определителей таким способом можно легко совершить ошибку из-за невнимательности. Чтобы избежать таких ошибок существует второй способ, называемый правилом Саррюса, или способом «параллельных полосок».
Правило Саррюса также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.
Основная идея этого правила состоит в приписывании первого и второго столбца справа от определителя.
Вычисления будем производить по следующей схеме:
Перемножаем элементы, соединенные прямыми. Данные произведения берем со знаком «+», если диагональ, на которой они стоят, является главной или параллельной ей; со знаком «-», если она является второй (побочной) или параллельной ей.
Произведения, которые берутся со знаком «+»
Произведения, которые берутся со знаком «-»
a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} a 1 1 ⋅ a 2 2 ⋅ a 3 3 a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31} a 1 3 ⋅ a 2 2 ⋅ a 3 1
a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} a 1 2 ⋅ a 2 3 ⋅ a 3 1 a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32} a 1 1 ⋅ a 2 3 ⋅ a 3 2
a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32 a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} a 1 3 ⋅ a 2 1 ⋅ a 3 2 a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33 a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33} a 1 2 ⋅ a 2 1 ⋅ a 3 3
В общем виде вычисление по правилу Саррюса можно записать следующим образом:
∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}= ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 1 2 a 2 2 a 3 2 a 1 3 a 2 3 a 3 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 1 2 a 2 2 a 3 2 a 1 3 a 2 3 a 3 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 1 2 a 2 2 a 3 2 =
= a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32 − a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 − a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 − a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33 =a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33} = a 1 1 ⋅ a 2 2 ⋅ a 3 3 + a 1 2 ⋅ a 2 3 ⋅ a 3 1 + a 1 3 ⋅ a 2 1 ⋅ a 3 2 − a 1 3 ⋅ a 2 2 ⋅ a 3 1 − a 1 1 ⋅ a 2 3 ⋅ a 3 2 − a 1 2 ⋅ a 2 1 ⋅ a 3 3
Сравнивая эти два способа вычисления определителей, видим одинаковые множители, которые во втором случае немного переставлены местами.
Найти определитель ∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ \begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:
∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ 9 2 1 4 6 3 = \begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}\begin{matrix}9&2\\1&4\\6&3\end{matrix}= ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 =
= 9 ⋅ 4 ⋅ 7 + 2 ⋅ 8 ⋅ 6 + 5 ⋅ 1 ⋅ 3 − 5 ⋅ 4 ⋅ 6 − 9 ⋅ 8 ⋅ 3 − 2 ⋅ 1 ⋅ 7 = 252 + 96 + 15 − 120 − 216 − 14 = 13 =9\cdot4\cdot7+2\cdot8\cdot6+5\cdot1\cdot3-5\cdot4\cdot6-9\cdot8\cdot3-2\cdot1\cdot7=252+96+15-120-216-14=13 = 9 ⋅ 4 ⋅ 7 + 2 ⋅ 8 ⋅ 6 + 5 ⋅ 1 ⋅ 3 − 5 ⋅ 4 ⋅ 6 − 9 ⋅ 8 ⋅ 3 − 2 ⋅ 1 ⋅ 7 = 2 5 2 + 9 6 + 1 5 − 1 2 0 − 2 1 6 − 1 4 = 1 3
Найти определитель ∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ \begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:
∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ 2 1 6 − 3 1 0 = \begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}\begin{matrix}2&1\\6&-3\\1&0\end{matrix}= ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 =
= 2 ⋅ ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) + 1 ⋅ 5 ⋅ 1 + ( − 4 ) ⋅ 6 ⋅ 0 − ( − 4 ) ⋅ ( − 3 ) ⋅ 1 − 2 ⋅ 5 ⋅ 0 − 1 ⋅ 6 ⋅ ( − 1 ) = 6 + 5 − 12 + 6 = 5 =2\cdot(-3)\cdot(-1)+1\cdot5\cdot1+(-4)\cdot6\cdot0-(-4)\cdot(-3)\cdot1-2\cdot5\cdot0-1\cdot6\cdot(-1)=6+5-12+6=5 = 2 ⋅ ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) + 1 ⋅ 5 ⋅ 1 + ( − 4 ) ⋅ 6 ⋅ 0 − ( − 4 ) ⋅ ( − 3 ) ⋅ 1 − 2 ⋅ 5 ⋅ 0 − 1 ⋅ 6 ⋅ ( − 1 ) = 6 + 5 − 1 2 + 6 = 5
Существует еще одна вариация правила Саррюса. Она состоит в приписывании первой и второй строки снизу от определителя. Вычисления производятся аналогично.
Прежде чем перейти к рассмотрению еще одного способа вычисления определителей 3-го порядка разберем 2 понятия: минор, алгебраическое дополнение.
Минором M i j M_{ij} M i j a i j a_{ij} a i j ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) i i i j j j
Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца.M 11 M_{11} M 1 1 M 23 M_{23} M 2 3
Алгоритм нахождения миноров:
вычеркиваем i i i
вычеркиваем j j j
записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.
Найти миноры матрицы F = ( 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ) F=\begin{pmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{pmatrix} F = ⎝ ⎛ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ⎠ ⎞
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.
M 11 = ∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ = ∣ 4 8 3 7 ∣ = 4 ⋅ 7 − 3 ⋅ 8 = 28 − 24 = 4 M_{11}=\begin{vmatrix}\color{green}9&\color{green}2&\color{green}5\\\color{green}1&4&8\\\color{green}6&3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}4&8\\3&7\end{vmatrix}=4\cdot7-3\cdot8=28-24=4 M 1 1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 4 3 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ = 4 ⋅ 7 − 3 ⋅ 8 = 2 8 − 2 4 = 4
M 12 = ∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ = ∣ 1 8 6 7 ∣ = 1 ⋅ 7 − 6 ⋅ 8 = 7 − 48 = − 41 M_{12}=\begin{vmatrix}\color{green}9&\color{green}2&\color{green}5\\1&\color{green}4&8\\6&\color{green}3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&8\\6&7\end{vmatrix}=1\cdot7-6\cdot8=7-48=-41 M 1 2 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 1 6 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 ⋅ 7 − 6 ⋅ 8 = 7 − 4 8 = − 4 1
M 13 = ∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ = ∣ 1 4 6 3 ∣ = 1 ⋅ 3 − 6 ⋅ 4 = 3 − 24 = − 21 M_{13}=\begin{vmatrix}\color{green}9&\color{green}2&\color{green}5\\1&4&\color{green}8\\6&3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&4\\6&3\end{vmatrix}=1\cdot3-6\cdot4=3-24=-21 M 1 3 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 1 6 4 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 ⋅ 3 − 6 ⋅ 4 = 3 − 2 4 = − 2 1
M 21 = ∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ = ∣ 2 5 3 7 ∣ = 2 ⋅ 7 − 3 ⋅ 5 = 14 − 15 = − 1 M_{21}=\begin{vmatrix}\color{green}9&2&5\\\color{green}1&\color{green}4&\color{green}8\\\color{green}6&3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&5\\3&7\end{vmatrix}=2\cdot7-3\cdot5=14-15=-1 M 2 1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 2 3 5 7 ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 ⋅ 7 − 3 ⋅ 5 = 1 4 − 1 5 = − 1
M 22 = ∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ = ∣ 9 5 6 7 ∣ = 9 ⋅ 7 − 6 ⋅ 5 = 63 − 30 = 33 M_{22}=\begin{vmatrix}9&\color{green}2&5\\\color{green}1&\color{green}4&\color{green}8\\6&\color{green}3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&5\\6&7\end{vmatrix}=9\cdot7-6\cdot5=63-30=33 M 2 2 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 9 6 5 7 ∣ ∣ ∣ ∣ = 9 ⋅ 7 − 6 ⋅ 5 = 6 3 − 3 0 = 3 3
M 23 = ∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ = ∣ 9 2 6 3 ∣ = 9 ⋅ 3 − 6 ⋅ 2 = 27 − 12 = 15 M_{23}=\begin{vmatrix}9&2&\color{green}5\\\color{green}1&\color{green}4&\color{green}8\\6&3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&2\\6&3\end{vmatrix}=9\cdot3-6\cdot2=27-12=15 M 2 3 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 9 6 2 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = 9 ⋅ 3 − 6 ⋅ 2 = 2 7 − 1 2 = 1 5
M 31 = ∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ = ∣ 2 5 4 8 ∣ = 2 ⋅ 8 − 4 ⋅ 5 = 16 − 20 = − 4 M_{31}=\begin{vmatrix}\color{green}9&2&5\\\color{green}1&4&8\\\color{green}6&\color{green}3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&5\\4&8\end{vmatrix}=2\cdot8-4\cdot5=16-20=-4 M 3 1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 2 4 5 8 ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 ⋅ 8 − 4 ⋅ 5 = 1 6 − 2 0 = − 4
M 32 = ∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ = ∣ 9 5 1 8 ∣ = 9 ⋅ 8 − 1 ⋅ 5 = 72 − 5 = 67 M_{32}=\begin{vmatrix}9&\color{green}2&5\\1&\color{green}4&8\\\color{green}6&\color{green}3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&5\\1&8\end{vmatrix}=9\cdot8-1\cdot5=72-5=67 M 3 2 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 5 8 ∣ ∣ ∣ ∣ = 9 ⋅ 8 − 1 ⋅ 5 = 7 2 − 5 = 6 7
M 33 = ∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ = ∣ 9 2 1 4 ∣ = 9 ⋅ 4 − 1 ⋅ 2 = 36 − 2 = 34 M_{33}=\begin{vmatrix}9&2&\color{green}5\\1&4&\color{green}8\\\color{green}6&\color{green}3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&2\\1&4\end{vmatrix}=9\cdot4-1\cdot2=36-2=34 M 3 3 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 2 4 ∣ ∣ ∣ ∣ = 9 ⋅ 4 − 1 ⋅ 2 = 3 6 − 2 = 3 4
Найти миноры матрицы G = ( 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ) G=\begin{pmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{pmatrix} G = ⎝ ⎛ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ⎠ ⎞
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.
M 11 = ∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ = ∣ − 3 5 0 − 1 ∣ = ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) − 0 ⋅ 5 = 3 − 0 = 3 M_{11}=\begin{vmatrix}\color{green}2&\color{green}1&\color{green}-4\\\color{green}6&-3&5\\\color{green}1&0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-3&5\\0&-1\end{vmatrix}=(-3)\cdot(-1)-0\cdot5=3-0=3 M 1 1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ − 3 0 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) − 0 ⋅ 5 = 3 − 0 = 3
M 12 = ∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ = ∣ 6 5 1 − 1 ∣ = 6 ⋅ ( − 1 ) − 1 ⋅ 5 = − 6 − 5 = − 11 M_{12}=\begin{vmatrix}\color{green}2&\color{green}1&\color{green}-4\\6&\color{green}-3&5\\1&\color{green}0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&5\\1&-1\end{vmatrix}=6\cdot(-1)-1\cdot5=-6-5=-11 M 1 2 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 6 1 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = 6 ⋅ ( − 1 ) − 1 ⋅ 5 = − 6 − 5 = − 1 1
M 13 = ∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ = ∣ 6 − 3 1 0 ∣ = 6 ⋅ 0 − 1 ⋅ ( − 3 ) = 0 + 3 = 3 M_{13}=\begin{vmatrix}\color{green}2&\color{green}1&\color{green}-4\\6&-3&\color{green}5\\1&0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&-3\\1&0\end{vmatrix}=6\cdot0-1\cdot(-3)=0+3=3 M 1 3 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 6 1 − 3 0 ∣ ∣ ∣ ∣ = 6 ⋅ 0 − 1 ⋅ ( − 3 ) = 0 + 3 = 3
M 21 = ∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ = ∣ 1 − 4 0 − 1 ∣ = 1 ⋅ ( − 1 ) − 0 ⋅ ( − 4 ) = − 1 − 0 = − 1 M_{21}=\begin{vmatrix}\color{green}2&1&-4\\\color{green}6&\color{green}-3&\color{green}5\\\color{green}1&0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-4\\0&-1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)-0\cdot(-4)=-1-0=-1 M 2 1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 − 4 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 ⋅ ( − 1 ) − 0 ⋅ ( − 4 ) = − 1 − 0 = − 1
M 22 = ∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ = ∣ 2 − 4 1 − 1 ∣ = 2 ⋅ ( − 1 ) − 1 ⋅ ( − 4 ) = − 2 + 4 = 2 M_{22}=\begin{vmatrix}2&\color{green}1&-4\\\color{green}6&\color{green}-3&\color{green}5\\1&\color{green}0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&-4\\1&-1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot(-4)=-2+4=2 M 2 2 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 2 1 − 4 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 ⋅ ( − 1 ) − 1 ⋅ ( − 4 ) = − 2 + 4 = 2
M 23 = ∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ = ∣ 2 1 1 0 ∣ = 2 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1 = 0 − 1 = − 1 M_{23}=\begin{vmatrix}2&1&\color{green}-4\\\color{green}6&\color{green}-3&\color{green}5\\1&0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=2\cdot0-1\cdot1=0-1=-1 M 2 3 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 2 1 1 0 ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1 = 0 − 1 = − 1
M 31 = ∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ = ∣ 1 − 4 − 3 5 ∣ = 1 ⋅ 5 − ( − 3 ) ⋅ ( − 4 ) = 5 − 12 = − 7 M_{31}=\begin{vmatrix}\color{green}2&1&-4\\\color{green}6&-3&5\\\color{green}1&\color{green}0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
1&-4\\-3&5\end{vmatrix}=1\cdot5-(-3)\cdot(-4)=5-12=-7 M 3 1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 1 − 3 − 4 5 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 ⋅ 5 − ( − 3 ) ⋅ ( − 4 ) = 5 − 1 2 = − 7
M 32 = ∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ = ∣ 2 − 4 6 5 ∣ = 2 ⋅ 5 − 6 ⋅ ( − 4 ) = 10 + 24 = 34 M_{32}=\begin{vmatrix}2&\color{green}1&-4\\6&\color{green}-3&5\\\color{green}1&\color{green}0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&-4\\6&5\end{vmatrix}=2\cdot5-6\cdot(-4)=10+24=34 M 3 2 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 − 4 5 ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 ⋅ 5 − 6 ⋅ ( − 4 ) = 1 0 + 2 4 = 3 4
M 33 = ∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ = ∣ 2 1 6 − 3 ∣ = 2 ⋅ ( − 3 ) − 6 ⋅ 1 = − 6 − 6 = − 12 M_{33}=\begin{vmatrix}2&1&\color{green}-4\\6&-3&\color{green}5\\\color{green}1&\color{green}0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1\\6&-3\end{vmatrix}=2\cdot(-3)-6\cdot1=-6-6=-12 M 3 3 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 ⋅ ( − 3 ) − 6 ⋅ 1 = − 6 − 6 = − 1 2
Алгебраическое дополнение Алгебраическим дополнением A i j A_{ij} A i j a i j a_{ij} a i j n n n A i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij} A i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j
где i i i j j j
M i j M_{ij} M i j a i j a_{ij} a i j
Алгоритм нахождения алгебраических дополнений:
найти сумму номеров строки ( i ) (i) ( i ) ( j ) (j) ( j )
найти минор M i j M_{ij} M i j
подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу A i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij} A i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j
Найти алгебраические дополнения матрицы F = ( 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ) F=\begin{pmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{pmatrix} F = ⎝ ⎛ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ⎠ ⎞
A 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ⋅ M 11 = ( − 1 ) 2 ⋅ ∣ 4 8 3 7 ∣ = 4 A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot M_{11}= (-1)^{2}\cdot\begin{vmatrix}4&8\\3&7\end{vmatrix}=4 A 1 1 = ( − 1 ) 1 + 1 ⋅ M 1 1 = ( − 1 ) 2 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 3 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ = 4
A 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ⋅ M 12 = ( − 1 ) 3 ⋅ ∣ 1 8 6 7 ∣ = 41 A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}= (-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}1&8\\6&7\end{vmatrix}=41 A 1 2 = ( − 1 ) 1 + 2 ⋅ M 1 2 = ( − 1 ) 3 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 6 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ = 4 1
A 13 = ( − 1 ) 1 + 3 ⋅ M 13 = ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ 1 4 6 3 ∣ = − 21 A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot M_{13}= (-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}1&4\\6&3\end{vmatrix}=-21 A 1 3 = ( − 1 ) 1 + 3 ⋅ M 1 3 = ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 6 4 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 2 1
A 21 = ( − 1 ) 2 + 1 ⋅ M 21 = ( − 1 ) 3 ⋅ ∣ 2 5 3 7 ∣ = 1 A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot M_{21}= (-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}2&5\\3&7\end{vmatrix}=1 A 2 1 = ( − 1 ) 2 + 1 ⋅ M 2 1 = ( − 1 ) 3 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 3 5 7 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1
A 22 = ( − 1 ) 2 + 2 ⋅ M 22 = ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ 9 5 6 7 ∣ = 33 A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot M_{22}= (-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}9&5\\6&7\end{vmatrix}=33 A 2 2 = ( − 1 ) 2 + 2 ⋅ M 2 2 = ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 6 5 7 ∣ ∣ ∣ ∣ = 3 3
A 23 = ( − 1 ) 2 + 3 ⋅ M 23 = ( − 1 ) 5 ⋅ ∣ 9 2 6 3 ∣ = − 15 A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot M_{23}= (-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}9&2\\6&3\end{vmatrix}=-15 A 2 3 = ( − 1 ) 2 + 3 ⋅ M 2 3 = ( − 1 ) 5 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 6 2 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 1 5
A 31 = ( − 1 ) 3 + 1 ⋅ M 31 = ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ 2 5 4 8 ∣ = − 4 A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot M_{31}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}2&5\\4&8\end{vmatrix}=-4 A 3 1 = ( − 1 ) 3 + 1 ⋅ M 3 1 = ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 4 5 8 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 4
A 32 = ( − 1 ) 3 + 2 ⋅ M 32 = ( − 1 ) 5 ⋅ ∣ 9 5 1 8 ∣ = − 67 A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot M_{32}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}9&5\\1&8\end{vmatrix}=-67 A 3 2 = ( − 1 ) 3 + 2 ⋅ M 3 2 = ( − 1 ) 5 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 5 8 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 6 7
A 33 = ( − 1 ) 3 + 3 ⋅ M 33 = ( − 1 ) 6 ⋅ ∣ 9 2 1 4 ∣ = 34 A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot M_{33}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}9&2\\1&4\end{vmatrix}=34 A 3 3 = ( − 1 ) 3 + 3 ⋅ M 3 3 = ( − 1 ) 6 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 2 4 ∣ ∣ ∣ ∣ = 3 4
Найти алгебраические дополнения матрицы G = ( 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ) G=\begin{pmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{pmatrix} G = ⎝ ⎛ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ⎠ ⎞
A 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ⋅ M 11 = ( − 1 ) 2 ⋅ ∣ − 3 5 0 − 1 ∣ = 3 A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot M_{11}=(-1)^{2}\cdot\begin{vmatrix}-3&5\\0&-1\end{vmatrix}=3 A 1 1 = ( − 1 ) 1 + 1 ⋅ M 1 1 = ( − 1 ) 2 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ − 3 0 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = 3
A 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ⋅ M 12 = ( − 1 ) 3 ⋅ ∣ 6 5 1 − 1 ∣ = 11 A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}6&5\\1&-1\end{vmatrix}=11 A 1 2 = ( − 1 ) 1 + 2 ⋅ M 1 2 = ( − 1 ) 3 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 1 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 1
A 13 = ( − 1 ) 1 + 3 ⋅ M 13 = ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ 6 − 3 1 0 ∣ = 3 A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot M_{13}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}6&-3\\1&0\end{vmatrix}=3 A 1 3 = ( − 1 ) 1 + 3 ⋅ M 1 3 = ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 1 − 3 0 ∣ ∣ ∣ ∣ = 3
A 21 = ( − 1 ) 2 + 1 ⋅ M 21 = ( − 1 ) 3 ⋅ ∣ 1 − 4 0 − 1 ∣ = 1 A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot M_{21}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}1&-4\\0&-1\end{vmatrix}=1 A 2 1 = ( − 1 ) 2 + 1 ⋅ M 2 1 = ( − 1 ) 3 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 − 4 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1
A 22 = ( − 1 ) 2 + 2 ⋅ M 22 = ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ 2 − 4 1 − 1 ∣ = 2 A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot M_{22}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}2&-4\\1&-1\end{vmatrix}=2 A 2 2 = ( − 1 ) 2 + 2 ⋅ M 2 2 = ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 1 − 4 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = 2
A 23 = ( − 1 ) 2 + 3 ⋅ M 23 = ( − 1 ) 5 ⋅ ∣ 2 1 1 0 ∣ = 1 A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot M_{23}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=1 A 2 3 = ( − 1 ) 2 + 3 ⋅ M 2 3 = ( − 1 ) 5 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 1 1 0 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1
A 31 = ( − 1 ) 3 + 1 ⋅ M 31 = ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ 1 − 4 − 3 5 ∣ = − 7 A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot M_{31}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}1&-4\\-3&5\end{vmatrix}=-7 A 3 1 = ( − 1 ) 3 + 1 ⋅ M 3 1 = ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 − 3 − 4 5 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 7
A 32 = ( − 1 ) 3 + 2 ⋅ M 32 = ( − 1 ) 5 ⋅ ∣ 2 − 4 6 5 ∣ = − 34 A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot M_{32}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}2&-4\\6&5\end{vmatrix}=-34 A 3 2 = ( − 1 ) 3 + 2 ⋅ M 3 2 = ( − 1 ) 5 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 − 4 5 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 3 4
A 33 = ( − 1 ) 3 + 3 ⋅ M 33 = ( − 1 ) 6 ⋅ ∣ 2 1 6 − 3 ∣ = − 12 A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot M_{33}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}2&1\\6&-3\end{vmatrix}=-12 A 3 3 = ( − 1 ) 3 + 3 ⋅ M 3 3 = ( − 1 ) 6 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 1 2
Зная, что такое миноры и алгебраические дополнения, рассмотрим вычисление определителя по строке и столбцу.
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Алгоритм вычисления определителя по строке или столбцу:
находим алгебраические дополнения элементов строки или столбца;
находим произведения элементов на их алгебраические дополнения;
находим сумму, полученных на шаге 2, произведений.
Найти определитель ∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ \begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∣ 9 2 5 1 4 8 6 3 7 ∣ = 2 ⋅ A 12 + 4 ⋅ A 22 + 3 ⋅ \begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}=2\cdot A_{12}+4\cdot A_{22}+3\cdot ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 6 2 4 3 5 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 ⋅ A 1 2 + 4 ⋅ A 2 2 + 3 ⋅
A 32 = 2 ( − 1 ) 3 M 12 + 4 ( − 1 ) 4 M 22 + 3 ( − 1 ) 5 M 32 = 2 ( − 1 ) 3 ∣ 1 8 6 7 ∣ + 4 ( − 1 ) 4 ∣ 9 5 6 7 ∣ + 3 ( − 1 ) 5 ∣ 9 5 1 8 ∣ = A_{32}=2(-1)^{3}M_{12}+4(-1)^{4}M_{22}+3(-1)^{5}M_{32}=2(-1)^{3}\begin{vmatrix}1&8\\6&7\end{vmatrix}+4(-1)^{4}\begin{vmatrix}9&5\\6&7\end{vmatrix}+3(-1)^{5}\begin{vmatrix}9&5\\1&8\end{vmatrix}= A 3 2 = 2 ( − 1 ) 3 M 1 2 + 4 ( − 1 ) 4 M 2 2 + 3 ( − 1 ) 5 M 3 2 = 2 ( − 1 ) 3 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 6 8 7 ∣ ∣ ∣ ∣ + 4 ( − 1 ) 4 ∣ ∣ ∣ ∣ 9 6 5 7 ∣ ∣ ∣ ∣ + 3 ( − 1 ) 5 ∣ ∣ ∣ ∣ 9 1 5 8 ∣ ∣ ∣ ∣ =
= − 2 ⋅ ( − 41 ) + 4 ⋅ 33 − 3 ⋅ 67 = 82 + 132 − 201 = 13 =-2\cdot(-41)+4\cdot33-3\cdot67=82+132-201=13 = − 2 ⋅ ( − 4 1 ) + 4 ⋅ 3 3 − 3 ⋅ 6 7 = 8 2 + 1 3 2 − 2 0 1 = 1 3
Найти определитель ∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ \begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∣ 2 1 − 4 6 − 3 5 1 0 − 1 ∣ = 1 ⋅ A 31 + 0 ⋅ A 32 − 1 ⋅ A 33 = 1 ( − 1 ) 4 M 31 + 0 ( − 1 ) 5 M 32 − 1 ( − 1 ) 6 M 33 = \begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}=1\cdot A_{31}+0\cdot A_{32}-1\cdot A_{33}=1(-1)^{4}M_{31}+0(-1)^{5}M_{32}-1(-1)^{6}M_{33}= ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 1 − 3 0 − 4 5 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 ⋅ A 3 1 + 0 ⋅ A 3 2 − 1 ⋅ A 3 3 = 1 ( − 1 ) 4 M 3 1 + 0 ( − 1 ) 5 M 3 2 − 1 ( − 1 ) 6 M 3 3 =
= 1 ( − 1 ) 4 ∣ 1 − 4 − 3 5 ∣ + 0 ( − 1 ) 5 ∣ 2 − 4 6 5 ∣ − 1 ( − 1 ) 6 ∣ 2 1 6 − 3 ∣ = − 7 + 0 + 12 = 5 =1(-1)^{4}\begin{vmatrix}1&-4\\-3&5\end{vmatrix}+0(-1)^{5}\begin{vmatrix}2&-4\\6&5\end{vmatrix}-1(-1)^{6}\begin{vmatrix}2&1\\6&-3\end{vmatrix}=-7+0+12=5 = 1 ( − 1 ) 4 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 − 3 − 4 5 ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ( − 1 ) 5 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 − 4 5 ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 ( − 1 ) 6 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 6 1 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 7 + 0 + 1 2 = 5
Любой из рассмотренных способов можно применять при нахождении определителей третьего порядка. В следующий раз мы разберем вычисление определителей матриц высших порядков.
На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!
Комментарии