Единичная и нулевая матрица

Перед тем как перейти к знакомству с единичной и нулевой матрицей, вспомним, что такое матрица, а также ее основные типы. Особое внимание при повторении следует уделить квадратной матрице и ее подтипам — диагональной, симметричной и кососимметричной матрицам.

Итак, среди квадратных матриц можно выделить класс диагональных матриц, у которых все элементы кроме элементов главной диагонали равны нулю. Рассмотрим два вида матриц с совпадающими элементами на главной диагонали. К таким матрицам относят нулевую и единичную. Рассмотрим каждую более подробно.

Нулевая матрица

Нулевая матрица

Матрица, у которой все элементы равны нулю.

Ее принято обозначать как $Z$ или $O$ или $O_{mn}$.

Общий вид нулевой матрицы:

$O=\begin{pmatrix}0&0&...&0\\0&0&...&0\\...&...&...&...\\0&0&...&0\end{pmatrix}$

Как различать: все элементы матрицы — нули.

Пример 1

$O_{1}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ — квадратная нулевая матрица 2-го порядка поскольку имеет размер $2\times 2$.

Нулевая матрица существует для любого размера $m\times n$.

Пример 2

$O_{2}=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ — нулевая матрица размера $5\times 4$.

Свойства нулевой матрицы

Нулевая матрица играет такую же роль при выполнении действий над матрицами, как число нуль при соответствующих арифметических операциях.

1. При умножении нулевой матрицы на число, получаем ту же нулевую матрицу: $k\cdot O=O\cdot k=O$.
   Важно понимать, что на какое бы число мы ни умножили нулевую матрицу любого размера, всегда получим ту же нулевую матрицу.

Пример 1

$152\cdot \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Пример 2

$73\cdot \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

1. Сумма произвольной матрицы и нулевой матрицы того же размера есть произвольная матрица: $A+O=O+A=A$.

Складывая произвольную ненулевую матрицу с нулевой матрицей того же размера, получаем исходную ненулевую матрицу.

Пример 1

$\begin{pmatrix}39&67\\25&48\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}39&67\\25&48\end{pmatrix}$

Пример 2

$\begin{pmatrix}96&78&35\\49&27&78\\101&45&67\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}96&78&35\\49&27&78\\101&45&67\end{pmatrix}$

С правилами сложения произвольных матриц вы можете ознакомиться в теме «Как складывать матрицы».

1. Разность произвольной матрицы и нулевой матрицы того же размера есть произвольная матрица.
   Вычитая из матрицы любого порядка нулевую матрицу такого же порядка, получим исходную ненулевую матрицу.

Пример 1

$\begin{pmatrix}48&36\\29&54\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}48&36\\29&54\end{pmatrix}$

Если же мы вычтем из нулевой матрицы произвольную матрицу такого же порядка, получим исходную ненулевую матрицу со знаком «минус» (с противоположным знаком): $O-A=-A$.

Пример 2

$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}57&34\\20&19\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}57&34\\20&19\end{pmatrix}$

С правилами вычитания матриц вы можете ознакомиться здесь.

1. Произведение произвольной матрицы размера $k\times l$ и нулевой матрицы размера $l\times m$ есть нулевая матрица размера $k\times m$.

Правила, существующие при умножении произвольных матриц, выполняются и в данном случае. Ознакомиться с ними вы можете тут.

Пример 1

$\begin{pmatrix}54&76\\24&53\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Пример 2

$\begin{pmatrix}91&19\\57&36\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

Возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц дает нулевую матрицу:

$\begin{pmatrix}0&25\\0&10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}60&73\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Также нулевая матрица является симметричной и кососимметричной.

Единичная матрица

Единичная матрица

Матрица, каждый элемент главной диагонали которой равен единице, а все остальные — нулю.

Общий вид единичной матрицы:

$E=\begin{pmatrix}1&0&...&0\\0&1&...&0\\...&...&...&...\\0&0&...&1\end{pmatrix}$

Пример 1

$E_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

Пример 2

$E_{2}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Свойство единичной матрицы

Произведение произвольной матрицы и единичной матрицы соответствующего размера (её порядок равен числу столбцов исходной ненулевой матрицы) есть исходная матрица: $AE=EA=A$.

Пример 1

$\begin{pmatrix}25&37&41\\17&36&19\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25&37&41\\17&36&19\end{pmatrix}$

Пример 2

$\begin{pmatrix}25&79\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25&79\end{pmatrix}$

С действиями над произвольными матрицами мы познакомимся на следующих уроках.

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме «Единичная и нулевая матрица»