Сокращение дробей: правила, примеры, онлайн-калькулятор

Тест: 3 вопроса

1. Какую часть развёрнутого угла составляют 90º?

1/2

3/4

3/5

2. Отметьте равную дробь 1/2

1/100

2/100

2/4

1/4

3. Выберите верные утверждения.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится новая (другая) дробь, не равная исходной.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится новая (другая) дробь, не равная исходной.

Что называют сокращением дроби?

Сокращением дроби называется замена её другой, равной ей дробью с меньшими членами, путем деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Суть сокращения заключается в упрощении дроби, что делает её более удобной для работы.

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равную исходной. Это свойство позволяет сократить дроби, упрощая их без изменения значения.

Как сокращать дроби: основные правила

Существует несколько методов сокращения дробей, каждый из которых применяется в зависимости от вида дроби. Сокращение помогает упростить дробь и сделать её более удобной для вычислений. Рассмотрим основные правила сокращения дробей.

Сокращение правильных дробей

Найдите наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.

Разделите числитель и знаменатель на НОД.

Полученная дробь будет равна исходной, но с меньшими числителем и знаменателем.

Пример

$\frac{6}{8} \quad \text{НОД}(6, 8) = 2 \quad \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$

Сокращение неправильных дробей

Определите НОД числителя и знаменателя.

Разделите числитель и знаменатель на НОД.

Убедитесь, что дробь не может быть сокращена дальше.

Пример

$\frac{15}{10} \quad \text{НОД}(15, 10) = 5 \quad \frac{15 \div 5}{10 \div 5} = \frac{3}{2}$

Сокращение квадратных дробей

Представьте числитель и знаменатель в виде квадратов чисел.

Извлеките квадратный корень из числителя и знаменателя.

Полученная дробь будет сокращенной.

Пример

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} \quad \text{НОД}(5, 10) = 5 \quad \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$

Сокращение дробей со степенями

Примените правила степеней — если дробь содержит степени, то сокращение выполняется с использованием правил возведения в степень.

Сократите коэффициенты и степени по одному и тому же числу.

Пример

$\frac{a^4}{a^2} = a^{4-2} = a^2$

Сокращение дробей с корнями
Извлеките корень из числителя и знаменателя дроби.

Сократите дробь, если возможно.

Пример

$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \frac{6}{7}$

Сокращать дроби можно последовательным сокращением на общие делители числителя и знаменателя.

Пример 1

Задание

Сократить дробь $\frac{24}{44}.$

Решение

Как видим, числитель и знаменатель заданной дроби являются четными числами, а поэтому и можно сократить на их общий делитель - 2:

$\frac{24}{44} = \frac{12}{22}.$

Аналогично, общим делителем полученных числителя 12 и знаменателя 22 есть число 2, а поэтому производим дальнейшее сокращение на 2:

$\frac{24}{44} = \frac{12}{22} = \frac{6}{11}.$

Полученные числа - 6 и 11 - уже являются взаимно простыми.
Итак, после сокращения окончательно имеем: $\frac{24}{44} = \frac{6}{11}.$

Также сокращать можно сразу на наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который можно находить либо с помощью канонических разложений на простые множители, либо с помощью алгоритма Евклида.

Сокращение дробей на наибольший общий делитель

Наибольшим общим делителем чисел называется наибольшее число, на которое все данные числа делятся без остатка.

Пример 1

Задание

Сократить дробь $\frac{840}{3600}.$

Решение

Вначале найдем НОД чисел 840 и 3600 двумя способами.
Первый способ: с помощью канонических разложений на простые множители. Запишем указанные канонические разложения:

Таким образом, $840=2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7,$ $3600= 2^4 \cdot 3^2 \cdot5^2.$

Из полученных разложений выписываем одинаковые множители в наименьшей степени, что и определяет НОД: $НОД (840, 3600) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 =120.$

Сокращение дробей с помощью алгоритма Евклида

НОД двух чисел равен последнему, неравному нулю остатку в алгоритме Евклида.

Будем выполнять деление в столбик. Начнем с того, что знаменатель 3600 поделим на числитель 840 (большее число делится на меньшее):

Итак, $НОД (840, 3600) = 120.$

После того, как НОД найден, делим числитель и знаменатель дроби $\frac{840}{3600}$ на $120$ , в результате получим: $\frac{840}{3600} = \frac{7}{30}.$

Если числитель и знаменатель дроби не имеют общих делителей, то есть являются взаимно простыми числами, то дробь называется несократимой. Например $\frac{7}{19}$ .

Не знаете, где заказать решение задач по алгебре? Авторы Студворк к вашим услугам! Перейдите по ссылке на страницу заказа решения задач по алгебре и получите помощь от профессионалов.

Сокращение дробей: что это и как сделать + примеры и онлайн-калькулятор