Гидродинамика вязких жидкостей

Гидродинамика – это раздел физики, изучающий свойства жидкостей с помощью законов механики.
Жидкости можно условно разделить на идеальные и неидеальные (реальные). Идеальные жидкости не «растягиваются» и не «сжимаются» под воздействием внешних сил, они абсолютно подвижны и их молекулы не взаимодействуют друг с другом. Это упрощенная модель, и в жизни подобных жидкостей не существует. Реальные жидкости – все остальные жидкости. Они бывают в свою очередь ньютоновскими и неньютоновскими.

Вязкость – это способность жидкости сопротивляться смещению ее слоев друг относительно друга, при этом во внешнюю среду выделяется энергия в виде тепла.

Свойством вязкости обладают как ньютоновские (растворы солей, расплавы металлов, дистиллированная вода), так и неньютоновские (кровь, раствор крахмала в воде, детская игрушка Лизун) жидкости.

Гидродинамика вязких ньютоновских жидкостей

Вязкость таких жидкостей зависит от внешних явлений, а не от их состава. Для описания их движения необходимо знать уравнения и законы:

1. Закон внутреннего трения Ньютона;
2. Уравнения Навье - Стокса.

В ньютоновских жидкостях градиент скорости и величина касательного напряжения (которая характеризуют силу трения, приходящуюся на единицу площади трущихся жидкостей) связаны прямо пропорционально. Ньютоновская жидкость будет течь даже под действием сил небольшой величины. К примеру, ручей течет со склона, даже если склон очень пологий.

Закон внутреннего трения (вязкости) Ньютона

$\tau=\eta\frac{\partial v}{\partial n}$

$\tau$ — касательное напряжение внутреннего трения (вязкость),
$v$ — скорость,
$\frac{\partial v}{\partial n}$ — градиент скорости.

В этом уравнении нас будет интересовать величина «эта» – $\eta$. «Эта» обозначает в уравнении коэффициент динамической вязкости (коэффициент внутреннего трения), ее физический смысл заключается в вязкости, когда градиент скорости равен единице.

Чем больше вязкость жидкости, тем дольше частицы трутся друг о друга и с большей силой взаимодействуют. Помимо динамической вязкости есть понятие кинематической вязкости. Но об этом позже.

Уравнение Навье-Стокса

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=-\vec{v}({\nabla}\vec{v})+\nu \Delta \vec{v}-\frac{1}{\rho}{\nabla} p+\vec{f}$

$\vec v$ — вектор скорости,
${\nabla}$ — дифференциальный оператор набла,
$\Delta$ — дифференциальный оператор Лапласа,
$\nu$ — коэффициент кинематической вязкости,
$\rho$ — плотность жидкости,
$p$ — давление жидкости,
$\vec {f}$ — вектор объемной силы.

Гидродинамика вязких неньютоновских жидкостей

Вязкость этих жидкостей зависит от их состава, величины молекул, их сцепления и от градиента скорости течения. Например, кровь является неньютоновской жидкостью, потому что представляет собой раствор солей со взвешенными в нем частицами разной плотности, массы, структуры и разными размерами (форменные элементы крови, белки, липопротеиды и т.д.). Таким жидкостям много внимания уделяет реология. Они описываются большим количеством законов и уравнений и не подчиняются уравнению вязкости Ньютона.

Уравнение неразрывности потока

Справедливо для идеальной жидкости.

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec{v}=0$

$t$ — время,
$\vec {v}$ — вектор скорости жидкости,
$\rho$ — плотность жидкости.

Закон Пуазейля

Описывает течение жидкости по трубам.

Если мы имеем дело с ламинарным течением вязкой несжимаемой жидкости через длинную (по сравнении с диаметром) трубку цилиндрической формы, то объемный расход жидкости определяется формулой:

$Q=\frac{\pi R^4}{8\eta l}(p_1-p_2)$

$Q$ — объемный расход жидкости,
$R$ — радиус трубки,
$\eta$ — коэффициент динамической вязкости,
$l$ — длина трубки,
$p_1-p_2$ — разность (перепад) давления на концах трубки.

Закон Стокса

Описывает движение тел в вязкой жидкости.

Этот закон был получен при решении уравнения Навье-Стокса. Он описывает силу трения, которая возникает при движении в покоящейся вязкой жидкости тел сферической формы с небольшими числами Рейнольдса.

$F=-6\pi r\mu v$

$F$ — сила трения (сила Стокса),
$r$ — радиус движущегося тела,
$\mu$ — динамическая вязкость жидкости,
$v$ — скорость тела.

Константа: число Рейнольдса

В задачах по гидродинамике часто приходится иметь дело с характерными константами теории. Одной из них является число Рейнольдса $Re$. Оно выражается через другие коэффициенты:

$Re=\frac{\rho v D_{\Gamma}}{\eta}=\frac{v D_{\Gamma}}{\nu}$

$\rho$ — плотность среды,
$v$ — скорость,
$D_{\Gamma}$ — гидравлический диаметр,
$\eta$ — динамическая вязкость среды,
$\nu$ — кинематическая вязкость среды.

Устройства для определения вязкости жидкостей

Вискозиметры – приборы разного принципа действия для определения вязкости. Они бывают разных типов: ротационные, капиллярные, шариковые.

• Капиллярные вискозиметры. Экспериментатор замеряет время движения жидкости по капилляру. Приборы: вискозиметр Оствальда, ВК-4.
• Шариковые вискозиметры основаны на вычислении скорости падения металлических тел в исследуемой жидкости. Способ предложил Стокс, впоследствии он был усовершенствован.

Эксперимент

Для проведения эксперимента понадобится шарик из материала высокой плотности с известным радиусом и емкость, на которую надеты резиновые кольца (верхнее расположено ниже уровня жидкости). Для определения вязкости жидкости надо замерить расстояние между кольцами и время, за которое шарик проходит это расстояние. Плотности жидкости и шарика должны быть известны. После ряда преобразований уравнения из закона Стокса получится, что вязкость жидкости прямо пропорциональна разнице плотностей шарика и исследуемой жидкости, времени и квадрату радиуса шарика, обратно пропорциональна расстоянию между резиновыми метками. В опыте используются шарики разного диаметра.

• Ротационные методы – определение скорость вращения тела, погруженного в жидкость.

Единицы измерения динамической вязкости: СИ – Паскаль$\cdot$секунда; СГС – пуаз.

В гидравлических расчетах учитывается кинематическая вязкость, она измеряется в: СИ – м2/с, СГС – стокс.

В чем разница между кинематической и динамической вязкостью

Кинематическая вязкость определяется как отношение динамической вязкости к плотности среды и характеризует текучесть жидкости и зависит от ее плотности. А динамическая вязкость характеризует сопротивляемость жидкости силе, заставляющей ее течь.

Сравним воду и масло. При нуле градусов плотность подсолнечного масла 862 кг/м3, воды – 1000 кг/м3. Вода обладает большей динамической вязкостью при этой температуре, так как не течет по наклонной плоскости, в отличие от масла. При увеличении температуры вязкость жидкостей уменьшается. При 20 градусах и вода, и масло будут течь, но вода все еще обладает большей динамической вязкостью. Если в капилляр добавить каплю масла и каплю воды, то вода по капилляру стечет быстрее, чем масло. Согласно пропорции, кинематическая вязкость воды будет меньше, так как ее плотность при прочих равных условиях выше.

Заказать статью по физике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме «Гидродинамика вязких жидкостей»