Росдистант. Математическая логика, алгебра и теория чисел. Практические задания

Выполнены Практические задания по учебному курсу "Математическая логика, алгебра и теория чисел"

Практическое задание 1 (Номер варианта - 12 (Первая буква фамилии - Н, Ю))

Практическое задание 2 (Номер варианта - 12 (Первая буква фамилии - Н, Ю))

Практическое задание 3 (Номер варианта - 2 (Первая буква фамилии - Б, Н, Х))

Практическое задание 4 (Номер варианта - 12 (Первая буква фамилии - Н, Ю))

Практическое задание 5 (Номер варианта - 12 (Первая буква фамилии - Н, Ю))

Практическое задание 1

Тема 1. Матрицы и определители

Лекция 1.1. Матрицы и действия над ними. Определители. Способы нахождения обратной матрицы. Ранг матрицы

Номер варианта - 12 (Первая буква фамилии - Н, Ю)

Вариант 12

1. Для матриц  найти а)  ;    б)  ,

если , , .

2. Найти ранг матрицы:

3. Вычислить определитель 

4. Найти обратную матрицу к матрице , если .

Практическое задание 2

Тема 2. Системы линейных уравнений

Лекция 2.1. Понятие системы линейных уравнений. Исследование систем. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, средствами матричного исчисления

Номер варианта - 12 (Первая буква фамилии - Н, Ю)

Вариант 12

Задание 1

Решить системы и линейных уравнений A и B двумя способами: 1) по методу Гаусса; 2) по формулам Крамера. Данные брать из таблицы 2 согласно варианту.

Задание 2

Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления. Данные брать из таблицы 3 согласно варианту.

Задание 3

Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений. Данные брать из таблицы 4 согласно варианту.

Практическое задание 3

Тема 6. Логика предикатов

Лекция 6.1. Основные понятия, связанные с предикатами. Кванторные операции над предикатами

Номер варианта - 2 (Первая буква фамилии - Б, Н, Х)

Вариант 2

1.  «В семье Семеновых пять человек: муж, жена, их сын, сестра мужа и отец жены. Все они работают. Один – инженер, другой – юрист, третий – слесарь, четвертый – экономист, пятый – учитель. Вот что еще известно о них. Юрист и учитель – не кровные родственники. Слесарь – хороший спортсмен. Он пошел по стопам экономиста и играет в футбол за сборную завода. Инженер старше жены своего брата, но моложе, чем учитель. Экономист старше, чем слесарь. Назовите профессии каждого члена семьи Семеновых» [2].

2. Найдите значение выражения  .

3. Найдите значение логического выражения  для указанных значений числа :

1) 2; 2) 3; 3) 5; 4) 6.

4. Для какого из указанных значений числа  истинно высказывание

1) 4; 2) 0; 3) 10; 4) 1.

5. «Следующие формулы преобразуйте равносильным образом так, чтобы они содержали только логические связки » [1]:

6. Доказать, что формула является тавтологией

7. «Выясните, равносильны ли следующие предикаты, если их рассматривать над множеством действительных чисел , над множеством рациональных чисел , над множеством целых чисел  и над множеством натуральных чисел » [1]:

8. Изобразите на координатной прямой множества истинности заданного на R одноместного предиката:

9. Определите, является ли следующее выражение формулой логики предикатов:

10. Используя приведенную основную теорему, сформулировать к ней обратную, противоположную и обратную к противоположной теореме (если они есть) и проверить их истинность, приведя необходимые примеры: «Если дифференцируемая функция  имеет в точке  максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке».

Практическое задание 4

Тема 7. Основные алгебраические структуры. Булевы алгебры

Лекция 7.2. Булевы алгебры. Булевы функции. Составление таблиц истинности функций. Нормальные и совершенные формы

Номер варианта - 12 (Первая буква фамилии - Н, Ю)

Задание 1. Докажите, что множество матриц составляют группу относительно матричного умножения. Данные брать из таблицы 2 согласно варианту.

Задание 2. Для данной функции  найдите СДНФ и СКНФ путем использования равносильных преобразований и таблиц истинности. Данные брать из таблицы 3 согласно варианту.

Практическое задание 5

Тема 8. Элементы теории делимости

Лекция 8.1. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в кольце полиномов. Разложение на простые множители. Алгоритм Евклида

Номер варианта - 12 (Первая буква фамилии - Н, Ю)

Задание 1

Найти: а) НОД и НОК чисел  и ; б) линейное представление НОД чисел  и , используя расширенный алгоритм Евклида. Данные брать из таблицы 2 согласно варианту.

Задание 2

Найти НОД и НОК многочленов f(x) и g(x). Данные брать из таблицы 3 согласно варианту.