Контрольная по Математике. 9-й вариант (в каждом задании 9-й пример)
9-й вариант (в каждом задании 9-й пример)
_
ПОЛНОЕ ЗАДАНИЕ В ДЕМО ФАЙЛЕ,
ЧАСТЬ ДЛЯ ПОИСКА ДУБЛИРУЮ НИЖЕ
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра «Математика»
Методические указания
и варианты заданий для выполнения
контрольной работы №1
по дисциплине «Математика»
для студентов заочной формы обучения
технических направлений
Ростов-на-Дону
2019
Составитель: Ароева Г.А.
Программа и варианты контрольной работы № 1 для студентов первого курса заочного формы обучения: Методические указания / ДГТУ. Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2019. – 35 с.
Методическая разработка предназначена для студентов заочной формы обучения технических направлений. Содержит программу курса математики по темам: «Линейная алгебра», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Интегральное и дифференциальное исчисление». Указана рекомендуемая литература, варианты контрольной работы № 1 (первый семестр), а также даны образцы решения задач. Номер варианта студент определяет по последней цифре зачетной книжки.
Рецензент: к.ф.-м.н., доц. Ворович Е.И. (ДГТУ, г. Ростов-на-Дону)
Научный редактор: к.ф.-м.н., доц. Волокитин Г.И.
© Издательский центр ДГТУ, 2019
Экзаменационная программа по математике
для студентов 1-го курса заочного факультета.
Элементы линейной алгебры.
Матрицы, виды матриц и действия с матрицами. Числовые характеристики матриц. Определители второго и третьего порядков: определения, свойства и способы вычисления. Элементарные преобразования матриц. Обратная матрица: определение, критерий существования и способы вычисления обратной матрицы. Базисный минор и ранг матрицы. Системы линейны алгебраических уравнений, их виды. Теорема Кронекера-Капелли. Решение определенных систем третьего порядка методом Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Общее решение однородных и неоднородных неопределенных систем. Понятие линейного пространства. Линейный оператор, матрица линейного оператора
Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
Понятие геометрического вектора. Проекция вектора на ось. Линейные операции над векторами. Линейная независимость векторов, базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора, их геометрический смысл. Действия с векторами в координатах. Условие коллинеарности векторов. Скалярное произведение двух векторов: определение, свойства, вычисление в координатах и приложения. Векторное произведение двух векторов: определение, свойства, вычисление в координатах и приложения. Смешанное произведение трех векторов, теорема о геометрическом смысле, вычисление в координатах и свойства. Условие компланарности трех векторов.
Прямая на плоскости. Угловой коэффициент прямой. Различные виды уравнений прямой (каноническое уравнение, общее, «в отрезках», нормальное). Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Плоскость: нормальный вектор, общее уравнение плоскости. Различные виды уравнений плоскости («в отрезках», нормальное уравнение). Угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости.
Прямая в пространстве: канонические, параметрические уравнения. Прямая как пересечение двух плоскостей. Угол между прямыми и угол между прямой и плоскостью.
Системы координат на плоскости: прямоугольная и полярная. Системы координат в пространстве: прямоугольная, цилиндрическая и сферическая. Кривые второго порядка: определения и канонические уравнения эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Поверхности второго порядка: Эллипсоиды, сфера, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды. Конус второго порядка. Цилиндры второго порядка.
Введение в анализ.
Функция одной переменной. Предел последовательности и функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Сравнение бесконечно малых. Теоремы о первом и втором специальных пределах. Число e , экспонента, натуральный логарифм. Непрерывность функции. Точки разрыва, их классификация. Свойства непрерывных на отрезке функций.
Дифференциальное исчисление.
Задачи, приводящие к понятию производной (о касательной к кривой и о скорости). Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования. Таблица производных основных элементарных функций. Повторное дифференцирование. Вычисление производных функций, заданных неявно и параметрически. Дифференциал функции: определение, свойства, геометрический смысл, инвариантность. Применение дифференциалов в приближенных вычислениях. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функций: монотонность, экстремумы, направление выпуклости кривых и точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции. Формула Тэйлора для многочлена и для функции с остаточным членом в форме Лагранжа, формулы для основных элементарных функций.
Функции нескольких переменных.
Основные определения. Геометрический смысл функции двух переменных. Понятие предела и непрерывность функции двух переменных. Определение частной производной и ее геометрический смысл. Полный дифференциал функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Дифференцирование сложных функций. Касательная и нормаль к поверхности. Экстремумы функции двух переменных: необходимые и достаточные условия экстремума. Градиент скалярного поля, производная по направлению.
Неопределенный интеграл.
Первообразная функции, неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные приемы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям. Интегралы группы «четырех». Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегралы от тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональностей.
Определенный интеграл.
Задача о площади криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла, его геометрический и механический смысл. Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами. Свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами. Теорема о среднем. Связь определенного и неопределенного интегралов, формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям.
Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы первого и второго рода.
Приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление длины дуги плоской кривой
определенного интеграла, выражаемые равенствами и неравенствами. Связь определенного и неопределенного интегралов. Замена переменной в определенном интеграле. Основная формула интегрального исчисления - формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, вычисление длины дуги плоской кривой, объем тела вращения.
Литература:
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: Наука, 1984.
2. Данко П.В., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.
3. Волокитин Г.И., Ларченко В.В., Азаров Д.А., Редько Ю.С. Начала линейной алгебры. Учебное пособие. – Ростов-на-Дону: Издательский центр ДГТУ, 2012.
4. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитическая геометрия. Москва «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1980.
5. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия. Издание четвертое, дополненное. Москва «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1973.
6. А.Ф. Бермант, А.Г. Араманович. Краткий курс математического анализа для втузов, ч.1. – М.: Наука, 1978.
7. С.В. Фролов, Р.Я. Шостак Курс высшей математики для втузов. – М.: Высшая школа, 1973.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1
Задача 1. Даны матрицы
и
.
- единичная матрица. Найти:
а) матрицу
; б) обратную матрицу
и проверить, что
:
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
.
Задача 2. Тремя методами (по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса) решить систему линейных алгебраических уравнений:
, где матрицы
и
заданы в условии задачи 1, а
- матрица-столбец неизвестных
.
Задача 3. Даны точки A, B, C, D. Найти:
a) Координаты, модуль и направляющие косинусы вектора
b) Проекцию вектора
на вектор
;
c) Скалярное произведение векторов
и
, а также угол между ними;
d) Векторное произведение векторов
и
, а также площадь треугольника
;
e) Смешанное произведение векторов
, а также объем пирамиды ABCD.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задача 4. Даны вершины A, B, C треугольника. Найти:
a) Длины сторон треугольника ABC;
b) Внутренний угол A(Через тангенс);
c) Уравнение высоты, проведённой через вершину C;
d) Точку пересечения высот треугольника;
e) длину высоты, опущенной из вершины В;
f) Площадь треугольника;
g) Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В;
h) Сделать чертёж.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1. Задача 5. Точки
,
,
,
, координаты которых заданы в условии задачи 3, являются вершинами пирамиды. Найти:
a) Уравнения ребра
;
b) Угол между ребрами
и
;
c) Уравнение грани
;
d) Угол между ребром
и гранью
;
e) Уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины
, а также проекцию этой вершины на плоскость
.
Задача 6. Найти пределы функций.
1. a)
; b)
;
c)
; d)
.
2. a)
; b)
;
c)
; d)
.
3. a)
; b)
;
c)
; d)
.
4. a)
; b)
;
c)
; d)
.
5. а)
; b)
;
c)
; d)
.
6. a)
; b)
;
c)
; d)
.
7. а)
; b)
;
c)
; d)
.
8. a)
; b)
;
c)
; d)
.
9. а)
; b)
c)
; d)
.
10. a)
; b)
;
c)
; d)
.
Задача 7. Найти производную функции
в точке
, используя определение производной.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задача 8. Найти производную
:
1. a)
b)
c)
d)
e)
2. a)
b)
c)
d)
e)
3. а)
b)
c)
d)
e)
4. а)
b)
c)
d)
e)
5. a)
b)
c)
d)
e)
6. а)
b)
c)
d)
e)
7. а)
b)
c)
d)
e)
8. а)
b)
c)
d)
e)
9. а)
b)
c)
d)
e)
10. а)
b)
c)
d)
e)
Задача 9. Вычислить неопределенные интегралы:
1. a)
; b)
; c)
;
d)
; e)
; f)
.
2. а)
; b)
; c)
;
d)
; e)
; f)
.
3. a)
; b)
; c)
;
d)
; e)
; f)
.
4. a)
; b)
; c)
;
d)
; e)
; f)
.
5. a)
; b)
; c)
;
d)
; e)
; f)
.
6. a)
; b)
; c)
;
d)
; e)
; f)
.
7. a)
; b)
; c)
;
d)
; e)
; f)
.
8. a)
; b)
; c)
;
d)
e)
f)
9. a)
b)
c)
d)
e)
f)
10. a)
b)
c)
d)
e)
f)
Задача 10. Приложения определенного интеграла: а) вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями; б) вычислить длину дуги плоской кривой.
1. a)
b)
2. a)
b)
3. a)
b)
4. а)
b)
5. a)
b)
6. a)
b)
7. a)
b)
8. a)
b)
9. a)
b)
10. a)
b)
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
Пример 1. Даны матрицы
и
.
- единичная матрица. Найти:
а) матрицу
; б) обратную матрицу
и проверить, что
:
.
Решение. а). Раскроем скобки, получим
.
Применяя правило умножения матрицы на матрицу, имеем
.
Следовательно,
.
б). Обратную матрицу
найдем, используя присоединенную матрицу
. Элементы присоединенной матрицы - это алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы
, расположенные по столбцам:
.
Обратная матрица определяется формулой:
.
Вычислим определитель матрицы, проверим, что матрица невырожденная, следовательно, имеет обратную матрицу. Определитель найдем, раскрывая по элементам первой строки:
.
Находим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы
:
.
Итак, присоединенная матрица имеет вид:
.
Таким образом, обратная матрица равна
.
Проверим, что обратная матрица найдена правильно, должно выполняться условие
. Вычислим элементы произведения матриц:
- верно,
- верно,
- верно.
Пример 2.
Тремя методами (Крамера, матричным методом и методом Гаусса) решить систему линейных алгебраических уравнений:
, где матрицы
и
заданы в условии задачи 1, а
- матрица-столбец неизвестных
.
Решение.
Учитывая правило перемножения матриц, запишем подробный вид системы:
.
Получим решение по формулам Крамера:
. Здесь
- определитель матрицы системы, он найден в задаче 1 при нахождении обратной матрицы.
- определители, полученные из определителя матрицы системы заменой соответственно первого, второго, третьего столбца матрицы столбцом правых частей:
.
Таким образом, получаем,
.
Получим решение матричным методом. В этом случае решение определяется формулой:
.
Обратная матрица была найдена при решении задачи 1. Поэтому сразу запишем
.
Сравнивая соответствующие элементы матриц слева и справа, снова находим
.
Получим решение методом Гаусса. При помощи элементарных преобразований строк расширенной матрицы
последовательно исключаем неизвестные в уравнениях системы. На месте клетки
получим единичную матрицу
, при этом на месте клетки
появится вектор решения.
. Итак,
.
Пример 3.
Даны точки
. Найти:
а). Координаты, модуль и направляющие косинусы вектора
;
б). Проекцию вектора
на вектор
;
в).
Скалярное произведение векторов
и
, а также угол между ними;
г).
Векторное произведение векторов
и
, а также площадь треугольника
;
д). Смешанное произведение векторов
, а также объем пирамиды
ABCD
.
Решение.
а) Вектор
найдем по формуле
:
. Модуль вектора
определяется соотношением
. Получаем отсюда
. Направляющие косинусы – это координаты орта вектора
. Т.е. вектора
. Направляющие косинусы равны:
.
б). Проекцию вектора вычислим с помощью скалярного произведения:
.
Найдем вектор
. Учитывая формулу вычисления скалярного произведения векторов в координатах
,
найдем проекцию
.
в). Найдем вектор
и вычислим скалярное произведение векторов
и
.
.
.
Косинус угла
между векторами
и
определяется равенством
.
Отсюда заключаем, что угол
.
Найдем вектор
и вычислим векторное произведение векторов с помощью формулы
.
.
. Учитывая, что модуль векторного произведения – площадь параллелограмма, для площади треугольника имеем соотношение
.
д). Найдем вектор
и вычислим смешанное произведение по формуле
.
Имеем
.
.
Учитывая, что модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного па векторах-сомножителях, а объем пирамиды составляет шестую часть объема параллелепипеда, получаем
.
Пример 4.
На плоскости даны вершины треугольника
. Найти:
а). Длины сторон треугольника
С;
b). Внутренний угол А (через tg);
c). Уравнение высоты, проведенной через вершину С;
d). Точку пересечения высот треугольника;
е). Длину высоты, опущенной из вершины В;
f). Площадь треугольника;
g). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В. Сделать чертеж.
.
Решение.
а). Длины сторон треугольника АВС равны длинам векторов
,
соответственно:
АВ=
|
|
=
=
BC =
|
|
=
=
AC =
|
| =
=
b). Для нахождения внутреннего угла
используем формулу
,
где
,
- угловые коэффициенты прямых АВ и АС соответственно.
Для нахождения угловых коэффициентов составим уравнения прямых АВ и АС, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
.
АВ:
=
, y=2x-2,
= 2.
,
Получаем,
.
.
c) Угловой коэффициент высоты
связан с угловым коэффициентом стороны
соотношением
. Отсюда находим,
. Уравнение высоты составим, используя уравнение прямой, имеющей заданный наклон и проходящей через заданную точку:
. СК: у-1= -
, у= -
.
d) Составим уравнение высоты ВН. Угловой коэффициент высоты
связан с угловым коэффициентом стороны
соотношением
. Отсюда находим,
. Уравнение высоты составим, используя уравнение прямой, имеющей заданный наклон и проходящей через заданную точку:
.
.
Для нахождения точки пересечения высот треугольника решим систему уравнений:
y= -
y= -2x+6, получим, х =
, у= -
N
- точка пересечения высот
е) Длина высоты ВН – расстояние от вершины В до стороны АС. Это расстояние найдем по формуле:
, где
- общее уравнение прямой,
-
точка, от которой определяется расстояние.
Общее уравнение стороны
имеет вид:
.
Поэтому BH =
.
f) Площадь треугольника найдем по формуле S=
S=
=
g) Чтобы составить уравнение медианы, найдем координаты точки
- середины стороны
:
.
(каноническое уравнение вертикальной прямой).
Строим треугольник в координатных осях:
K
N
Пример 5.
Точки
являются вершинами пирамиды. Найти:
а). Уравнения ребра
;
б). Угол между ребрами
и
;
в). Уравнение грани
;
г). Угол между ребром
и гранью
;
д). Уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины
, а также проекцию этой вершины на плоскость
.
Решение.
а). Канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки, определяются соотношениями
.
Следовательно, уравнения ребра
имеют вид
, или
.
б). Угол между ребрами - это угол
между векторами
и
.
Эти векторы соответственно равны
и
. Поэтому
.
в). Составим уравнение грани
, используя условие компланарности векторов
,
и текущего вектора
:
.
Раскрывая определитель, получим
, или
.
г). Угол
между прямой с направляющим вектором
и плоскостью с нормальным вектором
определяется формулой
.
Направляющий вектор ребра равен
, координаты нормального вектора плоскости – это коэффициенты в общем уравнении плоскости, т.е.
. Отсюда получаем
,
.
д). Направляющим вектором высоты пирамиды, опущенной из вершины
, является нормальный вектор плоскости
. Поэтому канонические уравнения высоты следующие
.
Проекцию
вершины
на плоскость основания найдем как пересечение прямой
и плоскости
. Для этого от канонических уравнений высоты перейдем к параметрическим уравнениям:
Подставляя последние соотношения в уравнение плоскости
, получаем уравнение для определения значения параметра
, соответствующего точке
:
.
Подставляя полученное значение
в параметрические уравнения высоты, находим координаты точки
:
.
Пример 6.
Найти пределы функций: а)
; б)
;
в)
; г)
Решение.
а)
Чтобы раскрыть неопределенность типа
необходимо и в числителе и в знаменателе в каждом из сомножителей вынести старшие степени
=
;
б)
в)
;
Здесь использован первый замечательный предел:
.
г)
Здесь применен второй замечательный предел:
.
Пример 7.
Используя определение, найти производную функции
в точке
.
Решение.
По определению
.
Отсюда
.
Для решения примеров
задания 8
предполагается использование правил дифференцирования и таблицы производных основных элементарных функций:
Правила дифференцирования
1.
2.
3.
- производная суммы
4.
- производная произведения
5.
- производная дроби
6. Производная сложной функции:
(вначале производная внешней функции по промежуточному аргументу)
Таблица производных
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Особое внимание следует обратить на правило 6 для производных сложных функций. В примере 8в) необходимо вычислить производную
неявной
функции, а в примере 8г) - производную функции, заданной
параметрически.
(Можно использовать формулу
).
В задаче 9 требуется вычислить неопределенные интегралы. Предполагается знание табличных интегралов.
Таблица интегралов
Интегралы от степенных функций:
Интегралы от показательных функций:
Интегралы от тригонометрических функций:
Интегралы “группы 4-х”:
- “высокий логарифм”
- “длинный log”
При этом интеграл в примере 9а) вычисляется методом подведения выражений под знак дифференциала. Интеграл задания 9б) относится к интегралам «группы четырех». Для приведения таких интегралов к табличным необходимо выделять в знаменателе подынтегральных дробей полные квадраты и применить далее соответствующую подстановку. Можно, также, сразу выполнить замену переменной интегрирования по такому правилу: новая переменная интегрирования равна старой переменной интегрировании плюс половина коэффициента при первой степени старой переменной интегрирования в приведенном квадратном трехчлене. Для решения примера 9в) надо применить формулу интегрирования по частям:
.
В задании 9г) требуется проинтегрировать дробно-рациональную функцию. Если дробь под интегралом неправильная, надо выделить сначала целую часть. Это можно сделать, например, с помощью приема деление многочлена на многочлен «уголком». Затем правильную дробь следует представить суммой простых дробей в соответствии с корнями знаменателя. Неизвестные вначале коэффициенты простых дробей определяются методом неопределенных коэффициентов. Интеграл 9д) содержит тригонометрические функции и решается соответствующей подстановкой. Замену переменной интегрирования необходимо выполнить и для решения последнего примера этой группы заданий. Подстановка должна быть такой, чтобы избавиться от иррациональностей.
Приведем образцы решений примеров задачи 9, где более детально разъясняются вышеуказанные рекомендации.
Пример 8
.
Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение.
.
Пример 9. Вычислить неопределенный интеграл
Решение.
Пример 10. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение.
Пример 11. Вычислить неопределенный интеграл
Решение.
Выделяем сначала целую часть подынтегральной дроби:
.
Знаменатель правильной дроби имеет один простой корень
и один кратный корень
.
Поэтому дробь заменим суммой простых дробей вида:
.
Неизвестные вначале коэффициенты находим следующим образом (метод неопределенных коэффициентов). Просуммируем дроби в правой части, приводя их к общему знаменателю. Сравнивая числители дробей, справа и слева, имеем тождество
.
Поочередно задавая удобные значения
, составим уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов. Пусть
, тогда
. Пусть
, тогда
. Пусть
, тогда
. Таким образом,
. Следовательно,
Пример 12
.
Вычислить неопределенный интеграл
Решение.
Пример 13. Вычислить неопределенный интеграл
Решение.
В задаче 10 контрольной работы требуется вычислить определенные интегралы. Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
Здесь
,
- значения первообразной функции
, вычисленные на концах промежутка интегрирования. Отметим, также, при использовании подстановок в определенном интеграле заменяется не только «старая» переменная интегрирования и ее дифференциал, но и границы промежутка интегрирования. Однако, обратная замена при этом не нужна. При решении задачи 2 б) следует применить формулу интегрирования по частям:
.
Пример 14
.
Вычислить
Решение.
Пример 15. Вычислить определенный интеграл
Решение.
Интеграл можно вычислить, применяя тригонометрическую подстановку
. Однако, здесь будем использовать прием интегрирования по частям:
Итак, получено реккурентное соотношение для искомого интеграла:
Окончательно
Часто необходимо вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. Различают несобственные интегралы первого рода – интегралы на бесконечном промежутке и несобственные интегралы второго рода – интегралы от неограниченных функций. Эти интегралы являются обобщениями определенного интеграла: несобственный интеграл первого рода определяется как предел собственных интегралов, рассматриваемых на конечном промежутке, когда граница промежутка интегрирования устремляется в бесконечность
Если
- особая точка подынтегральной функции, то
В случае, когда найдена первообразная подынтегральной функции, исследование сходимости несобственных интегралов достаточно простое.
Пример 16.
Вычислить несобственный интеграл
, или установить его расходимость.
Решение.
Это несобственный интеграл первого рода. По определению,
Пример 17
.
Вычислить несобственный интеграл второго рода:
Интеграл расходится.
В заключение, приведем примеры решений заданий, касающихся приложений определенного интеграла.
Пример 18.
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
Решение.
Используем формулу
, где
- абсциссы точек пересечения граничных линий.
- уравнение «верхней» кривой (
),
- уравнение «нижней» кривой (
).
. Получаем
кв.ед.
Пример 19.
Вычислить длину дуги плоской кривой – цепной линии
от точки
до точки
.
Решение.
Используем формулу:
Далее,
Здесь
- соответственно косинус и синус гиперболический. Учитывая, что
,
Получаем
Пример 20.
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линией
Решение.
Т.к. переменные входят в уравнение в четной степени, то фигура симметрична относительно обеих координатных осей. Поэтому можно рассмотреть вращение «четвертинки» фигуры, которая ограничена линией от точки
до точки
и прямой
. Объем тела вращения вокруг оси абсцисс определяется формулой
. Поскольку в данном случае
, то половина искомого объема определяется соотношением
