шифр 07-001-09. 4 задачи по основам теории надежности

ПОЛНОЕ ЗАДАНИЕ ПРИКРЕПИЛ В ДЕМО ФАЙЛ

ЧАСТЬ ДЛЯ ПОИСКА ДУБЛИРУЮ НИЖЕ

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ЕЕ ВЫПОЛНЕНИЮ

Курсовой проект состоит из четырех задач. В качестве методических рекомендаций условия задач дополнены типовыми примерами решений аналогичных задач. Решения каждой задачи должны быть подробными, с корректной записью промежуточных и окончательных результатов. Для каждой задачи в соответствии с вариантом необходимо записать условие и при необходимости изобразить поясняющий рисунок. Решение каждой задачи следует начинать с новой страницы.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Вероятность безотказной работы или функция надежности P(t) выражает вероятность того, что невосстанавливаемый объект не откажет к моменту времени наработки t.

Дополнение вероятности безотказной работы до единицы

называется

вероятностью отказа или функцией ненадежности. Вероятность отказа Q(t) - вероятность того, что случайное время до отказа меньше заданного времени t. В результате испытаний можно определить P(t) лишь приближенно, в виде статистической оценки, обозначаемой тильдой, т.е.

где n(t) – количество объектов, отказавших к моменту времени t, при их исходном количестве N0.

Плотность распределения наработки до отказа называют частотой отказов. Экспериментально частота отказов определяется как отношение числа отказавших объектов в единицу времени к первоначальному числу объектов при условии, что все вышедшие из строя объекты не восстанавливаются. Согласно этому определению

где n(Dt) – число отказавших объектов в интервале времени от t - Dt/2 до t + Dt/2.

Средняя наработка до отказа

 определяется как математическое ожидание времени до первого отказа. Средняя наработка до отказа является средним показателем и не отражает характер распределения времени до отказа.

По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого отказа вычисляется по формуле

где ti – время безотказной работы i- го объекта.

Интенсивность отказов l(t) выражает интенсивность процессов возникновения отказов.

Статистическая интенсивность отказов определяется отношением числа отказавших объектов в единицу времени к среднему числу объектов, исправно работающих в данный отрезок времени.

где

 - среднее число исправно работающих объектов в интервале Dt; Ni – число объектов, исправно работающих в начале интервала Dt; Ni+1 – число объектов, исправно работающих в конце интервала Dt.

Вероятностная оценка этой характеристики находится из выражения

Наиболее распространенной статистической моделью надежности является экспоненциальная модель распределения времени до отказа, по которой вероятность безотказной работы объекта выражается зависимостью

,

где l - параметр модели (интенсивность отказов)

Пусть отказы элементов есть независимые друг от друга события. Так как система работоспособна, если работоспособны все ее элементы, то согласно теореме об умножении вероятностей вероятность безотказной работы системы Рс (t) равна произведению вероятностей безотказной работы ее элементов:

,

где

- вероятность безотказной работы i-го элемента.

Пусть для элементов справедлив экспоненциальный закон распределения надежности и известны их интенсивности отказов. Тогда и для системы справедлив экспоненциальный закон распределения надежности:

,

где

- интенсивность отказов системы.

         Интенсивность отказов нерезервированной системы равна сумме интенсивностей отказов ее элементов:

.

Если все элементы данного типа равнонадежны, то интенсивность отказов системы будет

,

где:

- число элементов i-го типа; r – число типов элементов.

Выбор

 для каждого типа элементов производится по соответствующим таблицам.

Среднее время наработки до отказа и частота отказов системы соответственно равны:

,

.

В резервированной системе отказ какого-либо элемента не обязательно приводит к отказу всей системы. Типичным случаем является логически параллельное соединение элементов (рис.2), при котором система отказывает тогда, когда отказывают все ее элементы. Такой тип резервирования называют постоянным или нагруженным (m-1)-кратным резервированием. В этом случае все элементы выполняют одну и ту же функцию, работают одновременно и равнонадежны. По теореме умножения вероятностей имеют место следующие выражения:

где q(t), p(t) – соответственно вероятности отказа и безотказной работы одного элемента.

Рис.2. Схема логического соединения элементов резервированной системы

         Если для элементов справедлив экспоненциальный закон распределения надежности, то

.

ЗАДАЧА 1

Условие задачи. На испытание поставлено N0 изделий. За время t час вышло из строя n(t) штук изделий. За последующий интервал времени Δt вышло из строя n(Δt) изделий. Необходимо вычислить вероятность безотказной работы за время t и t+Δt, частоту отказов и интенсивность отказов на интервале Δt. Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 1.

Таблица 1

Предпоследняя цифра шифра

Последняя цифра шифра

N0

t, час

Δt

n(t)

n(Δt)

1

2

3

4

5

6

7

Четная или 0

1

1000

8000

1000

290

50

2

1000

14000

1000

540

50

3

100

5000

100

10

10

4

100

4000

200

20

20

5

100

3000

1000

20

20

6

1000

800

100

216

15

7

1000

2300

100

417

13

8

1000

1200

100

274

14

9

1000

900

100

231

14

0

1000

10000

1000

370

40

Нечетная

1

1000

15000

1000

590

40

2

1000

21000

1000

840

50

3

1000

11000

1000

410

40

4

1000

1300

100

288

13

5

1000

1900

100

368

12

6

1000

2700

100

480

25

7

100

6000

500

50

20

8

100

4000

1000

10

6

9

100

10000

1000

25

5

0

1000

1400

100

301

14

Типовой пример: На испытание поставлено N0=400 изде­лий. За время t=3000 час отказало n(t)=200 изделий, за интервал времени Δt=100 час отказало n(Δt)=100 изделий (рис. 3). Требуется определить

(3000),

(3100),

(3050),

(3050),

(3050).

Рис.3. Временной график.

Решение. 1. По формуле

 найдем вероятность безотказной работы:

для tн = 3000 час (начало интервала)

(3000)=

;

для tк = 3100 час (конец интервала)

(3100)=

.

Определим среднее число исправно работающих образ­цов в интервале Δt:

.

Число отказавших изделий за время t = 3050 час

п (3050) = N0 - Ncp = 400 - 150 = 250,

тогда   

(3050)=

.

2. По формуле

 определяем частоту отказа:

.

3. По формуле

 определяем  интенсивность отказа

.

Интенсивность отказа можно также определить по фор­муле

:

.

ЗАДАЧА 2

Условие задачи. Необходимо выполнить ориентировочный расчет надежности систем, состоящей из N элементов различного типа.

Требуется:

 1)вычислить вероятность безотказной работы системы в течение времени t и

2)среднюю наработку до первого отказа Тср.

Расчет следует выполнить по данным о надежности элементов, приведенным в Приложении 1 (стр.10).

Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 2. Количество силовых трансформаторов Nст соответствует последней цифре учебного шифра (цифра 0 соответствует Nст=10).

Типовой пример: Изделие состоит из 14 маломощных низкочастотных германиевых транзисторов, 4 плоскостных кремниевых выпрямителей, 56 керамических конденсаторов, 168 резисторов типа МЛТ мощностью 0,5 Вт, 1 силового трансформатора, 2 накальных трансформаторов, 6 дросселей и 3 катушек индуктивности. Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия в течение t=260час и среднюю наработку до первого отказа Тср.с.

Решение. Для выполнения ориентировочного расчета надежности составим и заполним табл.3, вычислив величину интенсивности отказов изделия. Значение интенсивностей отказов λi элементов (четвертая графа) выбирается из таблиц Приложения 1. Заполненная табл. 3 приведена ниже.

Таблица 3

Наименование и тип элемента

Обозначение по схеме

Количество элементов Ni

Интенсивность отказов, 10-5 1/час

Ni ∙ λi , 10-5 1/час

Примечание

Транзистор маломощный низкочастотный германиевый

14

0,3

4,2

Табл. П. 1.3

Выпрямитель плоскостной кремниевый

4

0,5

2

Табл. П. 1.3

Конденсатор керамический

56

0,14

7,84

Табл. П. 1.2

Резистор МЛТ, 0,5 Вт

168

0,05

8,4

Табл. П. 1.1

Трансформатор силовой

1

0,3

0,3

Табл. П. 1.4

Трансформатор накальный

2

0,2

0,4

Табл. П. 1.4

Дроссель

6

0,1

0,6

Табл. П. 1.4

Катушка индуктивности

3

0,05

0,15

Табл. П. 1.4

  ,   

1)По данным таблицы находим

2)

 час.

ЗАДАЧА 3

Условие задачи. Схема расчета надежности резервированного устройства для различных вариантов приведена на рис. 4а-4г. Интенсивности отказов элементов имеют следующие значения:

λ1=n1∙10-4 1/час; λ2=n2∙10-4 1/час;

 1/час; 

1/час,

    где

 n1 – последняя цифра учебного шифра (цифра 0 соответствует n1=10);  

 n2 – предпоследняя цифра учебного шифра (цифра 0 соответствует n2=10). Предполагается, что последействие отказов элементов отсутствует. Необходимо найти

 1) вероятность безотказной работы устройства в течение 100 часов,

          2) среднюю наработку до первого отказа

Рис. 4

Типовой пример. Схема расчета надежности резервированного устройства приведена на рис. 5.

Рис. 5. Cxeмa расчета надежности

Интенсивности отказов элементов имеют следующие значения:

λ1=0,23∙10-3 1/час; λ2=0,5∙10-4 1/час; λ3=0,4∙10-3 1/час.

Предполагаем, что последействие отказов элементов от­сутствует. Необходимо найти

1) вероятность безотказной работы устройства в течение 100 часов,        2)среднюю наработку до первого отказа устройства.

Решение. 1)Найдем  выражение  для  вероятности  безотказной  ра­боты Рc(t) устройства. При последовательном соединении,  

                             Pc(t)=pI(t)pII(t)pIII(t),

где    

,

.

Тогда, подставляя значения pI(t) и pIII(t) в выраже­ние для Рс(t), получим

Так как 

,

,

, то

При t = 100 получим

Pc(100)= 0,9930

2)Для вычисления средней наработки до первого отказа устройства воспользуемся соотношением

.

После интегрирования получим

Подставляя в выражение для Тср.с значение интенсив­ности отказов из условия задачи, получаем

ЗАДАЧА 4

Условие задачи. Составить систему уравнений Колмогорова А.Н. для графа состояний резервированной системы, изображенного на рис. 6а-6г (в соответствии с вариантом). В данном случае G0 и G1 – работоспособные состояния системы; G2 – неработоспособное состояние; Рi – вероятность нахождения системы в i-ом состоянии; λ – интенсивность отказа; μ – интенсивность восстановления. Найти коэффициент готовности системы Кг(t)=Р0(t)+Р1(t), решив полученную систему уравнений.

λ=n1∙10-4 1/час;   μ=n2∙10-4 1/час;

где n1, n2 – соответственно последняя и предпоследняя цифра учебного шифра (для цифры 0 значения n1 и n2 соответственно равны 10). Найти предельный коэффициент готовности, применяя теорему А.А. Маркова. Сделать проверку, используя ранее найденный коэффициент готовности Кг(t). Построить график коэффициента готовности Кг(t).

Рис. 6.

         Процесс функционирования резервированной восстанавливаемой системы является марковским случайным процессом с дискретными состояниями. Случайный процесс называется дискретным, если его состояние можно пронумеровать и переход из состояния в состояние происходит скачком. Резервированная восстанавливаемая система может описываться, например, следующим графом состояний (рис. 7).

Рис.7. Граф состояний резервированной системы

         В отличие от нерезервированной системы резервированная система в общем случае имеет три состояния:

 - исправное,

 - неисправное, но работоспособное,

 - неработоспособное.

         Переход системы из состояния в состояние происходит под воздействием потоков отказов и восстановлений. Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс есть марковский процесс и задается системой дифференциальных уравнений.

         Система составляется по следующим правилам.

   1)Производная вероятности состояния равна сумме стольких слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием.

   2) Каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.

   3)Слагаемое имеет знак минус, если стрелка исходит из данного состояния, а знак плюс – если стрелка направлена в данное состояние.

      Система уравнений Колмогорова может быть записана также с помощью матрицы интенсивностей.

    Полученная система уравнений называется системой уравнений Колмогорова.

         Например, для графа состояний, показанного на рис. 7, получим следующую систему дифференциальных уравнений.

,

     Система дополняется нормировочным уравнением, которое выполняется для вероятностей состояний,

.

В начальный момент, если все элементы исправны, то

.

   Система решается   методом исключений либо  с помощью преобразования Лапласа либо численными методами.

      Предельная теорема А.А. Маркова: если все интенсивности потоков событий постоянны, а граф состояний таков, что из каждого СУЩЕСТВЕННОГО  состояния можно перейти в каждое другое СУЩЕСТВЕННОЕ за конечное число шагов, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы.

         В соответствии с теоремой  А.А. Маркова при 

 производные

 и система дифференциальных уравнений превращается в однородную систему линейных алгебраических уравнений

         Система дополняется

нормировочным уравнением, которое должно выполняться для вероятностей состояний,

.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица П.1.1

Номинальная интенсивность отказов резисторов при Тº=+20ºС и Кн=1

Тип резисторов

Номинальная мощность рассеяния Рном, вт

0,25

0,5

1

2

5

10

15

20

25

30

50

60

75

100

Интенсивность отказов λ0, 106 1/час

непроволочные

МЛТ

0,4

0,5

1,0

1,6

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

ТВО

0,4

0,45

0,8

1,4

2,2

3,0

-

4,0

-

-

-

6,0

-

-

МОУ

0,5

0,55

1,1

1,5

2,3

3,1

-

-

4,2

-

5,5

-

-

10

МУН

0,6

0,6

1,2

2,0

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

УНУ

0,6

0,7

1,2

1,7

2,3

3,0

-

-

4,8

-

8,0

-

-

12

КЭВ

0,6

0,75

1,3

1,75

2,4

3,1

-

-

5,0

-

-

-

-

-

ВС

0,7

0,8

1,35

1,8

2,5

3,3

-

-

-

-

-

-

-

-

УЛИ

0,6

0,65

1,3

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

БЛП

0,7

0,75

1,4

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

СПО

0,6

0,7

1,15

1,8

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

СП

0,7

0,8

1,3

2,0

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

проволочные

ПТН

-

1,1

1,4

1,8

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

ПКВ

-

1,2

1,5

2,0

2,5

-

-

-

-

-

-

-

-

-

ПЭВ

-

1,6

2,0

2,6

2,9

3,2

3,5

-

4,5

5,0

5,6

-

8,0

12

ПТП

-

-

2,2

2,6

3,0

-

-

-

-

-

-

-

-

-

РП

-

-

-

3,0

-

-

-

-

4,7

-

-

-

8,5

-

Таблица П.1.2

Номинальные интенсивности отказов конденсаторов при Тº=+20ºС и Кн=1

Тип конденсатора

Интенсивность отказов λ0, 10-6 1/час

бумажные

1,8

металлобумажные

2,0

слюдяные

1,2

стеклянные

1,6

керамические

1,4

пленочные

2,0

электрические алюминиевые

2,4

электрические танталовые

2,2

Таблица П.1.3

Номинальные интенсивности отказов полупроводниковых приборов при Тº=+20ºС и Кн=1

Полупроводниковые приборы

Интенсивность отказов λ0, 10-6 1/час приборов

германиевых

кремниевых

Диоды

Выпрямительные точечные

0,7

2

Выпрямительные микроплоскостные

-

0,7

Выпрямительные плоскостные

-

5

Выпрямительные плоскостные повышенной надежности

-

2,5

Выпрямительные повышенной мощности

-

5

Импульсные точечные

3

-

Импульсные плоскостные мезадиодны

2

2,5

Импульсные сплавные

-

0,6

Управляемые

-

5

Стабилитроны

-

5

Варикапы

-

5

Выпрямительные столбы

-

5

Микромодульные

4,2

4,5

транзисторы

Маломощные низкочастотные

3

4

Мощные низкочастотные

4,6

-

Маломощные высокочастотные

2,6

-

Мощные высокочастотные

5

1,7

Микромодульные

1

-

Таблица П.1.4

Номинальная интенсивность отказов трансформаторов и моточных изделий (дроссели, катушки индуктивности и др.) при Тº=+20ºС и Кн=1

Трансформаторы и моточные изделия

Интенсивность отказов λ0, 10-6 1/час

Автотрансформаторы

5,0

Силовые

3,0

Высоковольтные

4,0

Накальные анодные

2,0

Импульсные

0,5

Дроссели

1,0

Катушки индуктивности

0,5

Таблица П.1.5

Номинальные интенсивности отказов некоторых микроэлектронных элементов при Тº=+20ºС и Кн=1

Элемент

Интенсивность отказов λ0, 1/час

Интегральная схема

0,2∙10-7

Резистор

0,1∙10-7

Конденсатор керамический

0,3∙10-7

Паяные соединения ножек элементов на печатной плате

0,5∙10-7

Контакт разъема

0,2∙10-7

Печатная плата /на один слой/

10-7

Соединение накруткой

10-10

         Основная литература

1.    Сапожников В.В., Кравцов Ю.А., Сапожников Вл.В. Теоретические основы железнодорожной автоматики и телемеханики. М.: Транспорт, 1996.

2.    Горелик А. В., Ермакова О.П. Надежность информационных систем. Основы надежности устройств ЖАТС: Учебное пособие. М.: РГОТУПС, 2003.

3.    Лисенков В.М. Статистическая теория безопасности движения      поездов: Учебник для вузов. - М.: ВИНИТИ РАН, 1999.

4.    Надежность систем железнодорожной автоматики, телемеханики и связи: Учебное пособие для вузов ж.д. трансп. / В.В. Сапожников, Вл.В. Сапожников, В.И. Шаманов; Под ред. Вл.В. Сапожникова. – М.: Маршрут, 2003. – 263 с.

5.    Теория надежности: Учебник для вузов / В.А. Острейковский. – 2-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2008. – 463 с.: ил.

Дополнительная литература

1.    Сапожников В.В., Сапожников Вл. В., Христов Х.A., Гавзов Д.В. Методы по­строения безопасных микроэлектронных систем железнодорожной автоматики. М.: Транспорт, 1995.

2.    Ягудин Р.Ш. Надежность устройств железнодорожной автоматики и телемехани­ка. М.: Транспорт, 1989.

3.    Голинкевич Т А. Прикладная теория надежности. М.: Высшая школа, 1985.

4.    Доманицкий С. М. Построение надежных логических устройств. М.: Энергия, 1971.

5.    Лонгботтом Р. Надежность вычислительных систем. М.: Энергоатомиздат, 1985.

6.    Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных систем. М.: Энергия. 1977.

7.    Иыуду К.А. Надежность, контроль и диагностика вычислительных машин и систем: Учебное. пособие для вузов. - М.: Высшая школа., 1989.

8.    Лисенков В.М. Безопасность технических средств в системах управления движением поездов. - М.: Транспорт, 1992.

9.    Сапожников В.В., Сапожников Вл.В., Талалаев В.И. и др.; Под редакцией Вл.В. Сапожникова. Сертификация и доказательство безопасности систем железнодорожной автоматики. - М.: Транспорт, 1997.

10. Станционные системы автоматики и телемеханики: Учебник для ВУЗов железнодорожного транспорта /Вл.В. Сапожников, Б.Н. Елкин, И.М. Кокурин и др.; Под ред. Вл.В. Сапожникова. - М.: Транспорт, 1997.

11. Горелик А.В. Математическая модель для расчета периодичности техобслуживания устройств железнодорожной автоматики // Автоматика, связь, информатика. 2002. N 6. С. 40-41.

Перечень других методических материалов и пособий

1.    Ушаков А.И., Козлов Б.А. Справочник по расчету надежности устройств радиоэлектроники и автоматики. М.: Советское радио, 1985.

2.    Сборник задач по теории надежности/ Под ред. Половко А.М., Маликова И.М. М.: Советское радио, 1972.

3.    ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определе­ния.

4.    ГОСТ 19.640-74. Надежность в технике. Расчет показателей безопасности невосстанавливаемых объектов (без резервирования).

5.    ОСТ 32.17-92. Безопасность железнодорожной автоматика и телемеханики. Основные понятия. Термины и определенна.

6.    РТМ 32 ЦШ 1115842.02-94. Руководящий технический материал. Безопасность железнодорожной автоматики и телемеханики. Методы расчета показателей безотказ­ности и безопасности СЖАТ.

7.    РТМ 32 ЦШ 1115842.01-94. Безопасность железнодорожной автоматики и телемеханики. Методы и принципы обеспечения безопасности микроэлектронных СЖАТ.