Практическая работа заказчика

Функция: y=(x-1)√x Полное исследование функции 📌 Область определения: √x определён при x≥0 поэтому: D(y)=[0,+∞) 📌 Нули функции: Пусть y=0: (x−1) √x =0⇒x=0 или x=1 📌 Знак функции • При x∈(0,1) : x>0 , но x−1<0 → y<0 • При x∈(1,+∞) : оба множителя положительные → y>0 📌 Пределы и поведение у границ • При x→0^+:√x →0, x−1→−1, значит y→0^- • При x→+∞: y=x^(3/2)−x^(1/2)−→+∞ 📌 Производная Применим правило произведения: y=(x−1) x^(1/2)=x^(3/2)−x^(1/2)−x^(1/2)⇒y′=3/2 x^(1/2)−1/2 x^(-1/2) Найдём критические точки (производная = 0): 3/2 x^(1/2)-1/2 x^(-1/2)=0⇒3x−1=0⇒x=1/3 📌 Анализ производной При x∈(0,13): y′<0 → функция убывает При x∈(13,+∞): y′>0 → функция возрастает → Минимум в x = 1/3 Вычислим значение в этой точке: y(1/3)=(1/3−1)√(1/3)=−2/3⋅1/√3=−2/(3√3) 📌 Выпуклость и точка перегиба Вторая производная: y′′=3/4x^(-1/2)+1/4x^(-3/2) ⇒ y′′>0 при x>0 → Функция выпуклая вверх на всём интервале x>0 Вот график функции y=(x-1)√x : Красные точки — нули функции при x=0 и x=1 Зелёная точка — минимум функции при x=1/3