12.11 в 15.30 по мск

Камрады, а вот и задачи первого отбора олимпиады Высшая проба по математике 😎😎 Их решения и подсказки можно найти на нашем канале с разборам

Задача 1

В пространстве размещён выпуклый 58-гранник, все грани которого являются треугольниками. У него провели все его рёбра и диагонали. Некоторая плоскость пересекает многогранник, но не проходит ни через одну его вершину. Какое наибольшее число проведённых отрезков она могла пересечь?

Задача 2

На круговой дорожке периметра 60 м стоит 30 красных и 30 чёрных муравьёв в вершинах правильного 60-угольника в шахматном порядке. Скорость каждого красного муравья равна 0,02 м/с, а скорость каждого чёрного муравья равна 0,01 м/с. По команде все муравьи начинают бежать вдоль дорожки со своими скоростями, красные — по часовой стрелке, чёрные — против часовой стрелки. В момент столкновения двух любых муравьёв (одноцветных или разноцветных) каждый из них мгновенно меняет направление бега и продолжает бежать в новом направлении со своей скоростью. Сколько всего столкновений между муравьями произойдёт за 60 минут?

Задача 3

Пароль состоит из пяти различных цифр. После ввода пароля показывается результат ввода, представляющий собой последовательность из пяти символов — галочка, стрелка или крестик. Крестик соответствует цифре, которая не встречается в пароле, стрелка соответствует цифре, которая встречается в пароле, но находится не на своём месте, а галочка соответствует цифре, которая встречается в пароле и стоит на своём месте. Было сделано пять попыток ввести пароль и имеются соответствующие им результаты, но неизвестно, какая попытка какому результату соответствует. Восстановите пароль по этим данным.

Задача 4

Разместите без наложений и пересечений 8 костяшек домино, изображённых справа, на поле, изображённом слева. В каждой выделенной области суммарное количество точек должно равняться числу, указанному в этой области. Для каждой клетки с буквой укажите, сколько точек в ней оказалось.

Задача 5

На рисунке изображены две карты одного и того же подземного лабиринта: комнаты в них расположены по-разному, но если между двумя комнатами на первой карте есть коридор, то и на второй он тоже будет. Установите соответствие между названиями комнат на двух картах.

Задача 6

Найдите количество 12-значных натуральных чисел, у которых найдётся пара соседних цифр, отличных ровно на 5, а последние четыре цифры образуют натуральное число, являющееся точной четвёртой степенью.

Задача 7

Найдите наибольшую натуральную степень числа 95!!, на которую делится число 285285!!. (Для натурального числа n запись n!! = n·(n−2)·(n−4)… обозначает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n и имеющих ту же чётность, что и n.)

Задача 8

Сколькими способами можно покрасить три клетки клетчатого поля 5×9 в красный цвет так, чтобы никакие две красные клетки не имели общих сторон или вершин?