Решение двух задач. Построение и анализ моделей управления. Синтез оптимального управления

Формат сдачи: ОТЧЕТ С ПОДРОБНЫМ ПОЯСНЕНИЕМ ШАГОВ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

ОТЧЕТ ДОЛЖЕН БЫТЬ ОФОРМЛЕН ПО ГОСТ 7.32-2017

В том числе отчет должен включать:

1) ход решения задачи с пояснением

2) Почему здесь сделали так, а не так

3) Пояснить все, чем оперируете в работе.

Исходное задание - во вложении.

Шаблон отчета - во вложении. ГОСТ 7.32-2017 (но в пределах разумного). Например гриф Утверждения не нужен.

Просьба задание и отчет не просто закинуть в нейронку, а нормально расписать, как, что, зачем и почему

Задание 1. Построение и анализ моделей управления

Для линейной системы с передаточной функцией:

W(s) = (s + 2) / (s² + 3s + 2)

1. Постройте модель вход-выход в дифференциальной форме:

a₂·d²y(t)/dt² + a₁·dy(t)/dt + a₀·y(t) = b₁·du(t)/dt + b₀·u(t)

2. Преобразуйте модель в форму вход-состояние-выход:

ẋ(t) = A·x(t) + B·u(t), y(t) = C·x(t) + D·u(t)

3. Вычислите передаточную матрицу:

W(s) = C·(sI − A)⁻¹·B + D

Задание 2. Синтез оптимального управления

Рассматривается линейная система:

ẋ(t) = A·x(t) + B·u(t)

Необходимо найти оптимальное управление u*(t), минимизирующее функционал:

J = ∫₀^∞ (xᵗ(t)·Q·x(t) + uᵗ(t)·R·u(t)) dt

1. Найдите управление u*(t) на основе уравнения Беллмана.

2. Решите соответствующее матричное уравнение Риккати:

AᵗP + PA - PBR⁻¹BᵗP + Q = 0

3. По найденной матрице P вычислите усиление обратной связи:

u*(t) = -R⁻¹BᵗPx(t)

Используйте следующие данные:

A = [[0, 1], [-2, -3]], B = [[0], [1]], Q = I, R = 1