9 заданий по линеной алгебре

1.(делать по аксиомам из прикрепленного фото)образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента a на любое действительное число альфа?

Множество всех прямоугольных матриц a=||aik||, b=||bik||, i=1,2,...,m; k=1,2,...,n; сумма: ||aik+bik||, произведение: ||alpha*aik||

2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов a={7,1,-3} b={2,2,-4} c={3,-3,5}

3. Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать его структуру(указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы).

(Система1) 3x1+2x2-2x3-x4+4x5=0 7x1+5x2-3x3-2x4+x5=0 x1+x2+x3-7x5=0

(Система2) x1-x2+4x3+3x4=0 3x1-2x2+x3+2x4=1 2x1-x2-3x3-x4=1

4.Найти координаты вектора x в базисе (é1,é2,é3), если он задан в базисе (e1,e2,e3).

x={1,7,-7}

(Система) é1=e1+e2-6e3

é2=6e1/7-e2

é3=-e1+e2+e3

5. Пусть x=(x1,x2,x3). Являются ли линейными следующие преобразования

Ax=(4x1-3x³2-2x3,x1+x3,0)

Bx=(4x1-3x2-2x3,x1+x3,2x1+3x2+4x3)

Cx=(4x1-3x2-2,x1+x3,2x1+3x2+4x3)

6. Пусть x={x1,x2,x3}, Ax={x2-x3,x1,x1+x3}, Bx={x2, 2x3, x1}

Найти: (AB²)x

7. Найти матрицу линейного оператора в базисе (é1,é2,é3), где é1=e1-e2+e3, é2= -e1+e2-2e3, é3=-e1+2e2+e3, если она задана в базисе (e1,e2,e3).

Матрица:

0 1 1

0 2 1

-1 2 1

8. Доказать линейность, найти матрицу( в базисе (i,j,k), образ и ядро оператора:

Проектирования на плоскость sqrt(3)*y+z=0

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

Матрица:

4 1 -1

2 3 -2

1 -1 2