Методы оптимальных решений-Зух

Решить 5 задач:

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат области выпуклости и вогнутости

функции   3 3 f x, y  (x 1) 6xy  y . Выпуклы ли построенные области?

2. Задачу нелинейного программирования

     max 2

2

2

1 x 4 x при









  

 

, 0

привести к стандартному виду. Изобразить допустимое множество и линии уровня

целевой функции; решить задачу графически. Проверить, выполняются ли условия

теоремы Вейерштрасса о существовании решения. На рисунке проверить выполнение

условий Куна-Таккера в угловых точках допустимого множества (т.е. в точках, в которых

число активных ограничений не меньше числа переменных) и в точках касания линии

уровня целевой функции с границами допустимой области. Найти точки, в которых

условия Куна-Таккера выполняются, и определить, какие из ограничений являются

активными в таких точках. Выписать условия Куна-Таккера в найденных точках и

рассчитать значения двойственных переменных. Сделать обоснованный вывод о наличии

или отсутствии локального (глобального) максимума во всех рассмотренных точках.

3. Фабрика по производству мороженого может выпускать пять сортов мороженого. При

производстве мороженого используется два вида сырья: молоко и наполнители, запасы

которых известны. Известны также удельные затраты сырья, а также цены продукции.

Требуется построить план производства, который обеспечивает максимум дохода.

4. Рассмотреть задачу целевого программирования, в которой множество допустимых

решений задается неравенствами 2 4, 4 4 1 2 1 2 x  x  x  x  и 0 1,2 x  , критерии заданы

соотношениями 1 1 2 2 2 z  2x  x , z  2x , а целевая точка совпадает с идеальной точкой z*,

отклонение от которой задается функцией ( , *) max ( * ), ( * ) 1 1 2 2  z z  z z z z . Найти и

изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z)

и идеальную точку z*. Изобразить линии уровня функции  (z, z*) . Графически решить

задачу нахождения достижимой точки (z’1, z’2), дающей минимум отклонения от

идеальной точки; аналитически записать задачу минимизации отклонения от идеальной

точки в виде задачи линейного программирования.

5. Рассмотреть задачу двухкритериальной максимизации

1 1 1 2 3 z  F (x)  2x  5x  4x → max, 2 2 1 2 3 z  F (x)  5x  x  4x → max

на множестве допустимых решений 3 X  E

2 ( 1) 1 2

3

2

2

2

1 x  x  x   , x1≥0, x2≥ 0, x3≥ 0.

Найти Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев

( , ) 0,6 0,4 . 1 2 1 2  z z  z  z

Проверить, выполняется ли для возникающей задачи нелинейного программирования

условия теоремы Вейерштрасса и является ли эта задача задачей выпуклого

программирования. Проверить возможность использования условий Куна-Таккера в

данной задаче. Выписать и проверить выполнение условий Куна-Таккера в градиентной

форме для различных наборов активных ограничений. Найти решение рассматриваемой

задачи нелинейного программирования. Выписать функцию Лагранжа и условия Куна-

Таккера через функцию Лагранжа; проверить выполнение условий Куна-Таккера в

найденном решении.