1. В параллелепипеде ?????1?1?1?1 ?? = ?, ?? = ?, ??1 = ?

1. В параллелепипеде ?????1?1?1?1 ?? = ?, ?? = ?, ??1 = ?. Выразить через ?, ?, ? вектор ? = ??, где ? – середина ребра ??, а ? делит ребро ?1?1 в отношении 2 : 3. 2. Доказать, что векторы ?(3; ?1; ?2), ?(2; ?2; ?3), ?(?2; 0; 1) образуют базис. Разложить вектор ?(3; 1; 2) по этим векторам. 3. Найти косинус угла между векторами ? = 2? + 7? и ? = ?? ? ? при |?| =?3, |?| = 2, (?[, ?) = 5?/6 . 4. Найти пр??, при ? = ? + 3? и ? = ?, где ?(9; 10; 14), ?(6; ?7; ?4), ?(?5; ?4; ?3). 5. Найти координаты единичного вектора ?0, перпендикулярного плоскости ????, где ?(6; 4; 6), ?(?1; 5; 5), ?(2; 5; 6). 6. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах ? = ?4? ? 3? и ? = ?2? + 2? при |?| = 2, |?| = 1, (?[, ?) = 2?/3 . 7. Вычислить объем параллелепипеда ?????? ??, площадь грани ???? и высоту, опущен- ную на эту грань из вершины ?. ?(?2; 5; 5), ?(?1; 3; 3), ?(?4; 10; 8), ?(?3; 9; 11). 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ?(?10; 4; 3), ?(?11; 2; 3), ?(?11; 9; 2), и найти расстояние от точки ?(4; ?3; ?3) до этой плоскости. 9. Составить уравнение плоскости ?, проходящей через точку ?(?1; 1; ?1) параллельно прямым ?+2/1 =??4/1 =?+4/?2 и ?+2/5 =?+7/1 =?+5/?1 . 10. Составить уравнение прямой ?? и найти расстояние от точки ? до этой прямой, если ?(4; 1; 5), ?(6; 2; 10), ?(5; 2; 8). 11. Привести к каноническому виду общие уравнения прямой {? 2? + ? + 1 = 0 ? + ? + ? ? 3 = 0 . 12. Найти координаты точки ?1, симметричной точке ?(13; ?12; 1) относительно плоскости 7? ? 5? = ?34. 13. Найти угол между прямой ? : ??7/?5 =?+8/1 =??8/5 и плоскостью ? : ?? + ? ? ? + 7 = 0. 14. На плоскости дан треугольник ??? с вершинами ?(0; 2), ?(14; 0) и ?(?4; ?2). Требуется: (а) написать общие уравнения прямых ?? и ??; (б) найти длину медианы ??; (в) найти длину высоты, опущенной из вершины ?; (г) написать общее уравнение серединного перпендикуляра к стороне ??; (д) написать общее уравнение биссектрисы угла ???; (е) найти координаты точки ? – пересечения прямых (г) и (д); (ж) найти координаты точки ?, симметричной точке ? относительно прямой ??.